Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.3. Развернутый конспект лекций
.pdf
61
E
dEEg0)(
3
34h
V
2
3
Q
N
)12()2(4
3
2/3
3
SmE
nh
Интегрируя (6.22) по энергии в пределах от 0 до E, получим
общее число состояний микрочастицы, соответствующее энергетическому диапазону от 0 до E:
Q
Полагая для идеального газа микрочастиц E
Q(T) T
3/2
(2mE)
(2S 1). (6.23)
kT, имеем
3/2
. (6.24)
Вспомним, что при N Q мы имели вырожденный газ, а при
N << Q – невырожденный. Ясно, что с увеличением температу-
ры можно существенно увеличить число квантовых состояний
Q, см. (6.24) и перевести вырожденный газ в невырожденный,
то есть перейти от квантовой статистики к статистике Максвелла-Больцмана. Если переписать условие невырожденности
газа микрочастиц в виде
1, (6.25)
и подставить Q из выражения (6.23), то критерий невырожденности приобретает развернутый характер:
1. (6.26)
Из (6.26) становится понятно, что невырожденное состояние
газа можно достигнуть и путем уменьшения концентрации
микрочастиц n = N/V.
Молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными. Электронный газ в металлах в реальных условиях – вырожден. В полупроводниках, где концентрация электронов существенно меньше, чем в металлах, электронный газ
– невырожден.
62
Вопросы для повторения
1. Сформулируйте принцип запрета Паули и продемонстрируй-
те, как можно использовать этот принцип при построении периодической таблицы элементов.
2. Какое взаимодействие называется спин-орбитальным? В чем
заключается его суть?
3. Какие статистические коллективы относятся к «вырожден-
ным», и какие – к «невырожденным»?
4. Какой смысл имеют функции распределения?
5. Какое пространство называется «фазовым»? В чём заключа-
ется причина его квантования?
6. Выведите выражение для функции плотности числа энерге-
тических состояний.
7. Каким образом вырожденный коллектив можно перевести в
невырожденный?
63
11
kTE
e
E
0
ЭЛ
EF
Энергия электрона
в вакууме
Дно зоны разрешённых
значений энергии
Рис. 7.1
Лекция № 7
7.1 Функция распределения Ферми-Дирака
Рассмотрим идеальный электронный газ (по аналогии мы
рассматривали идеальный газ молекул). Для такого коллектива
частиц очень важно определить количество частиц dN(E), обладающих энергией в интервале от E до E dE:
dN(E) f(E)dZ(E) f(E)g(E)dE, (7.1)
где f(E) – функция распределения, которая представляет собой
вероятность того, что квантовое состояние в данных условиях
занято микрочастицей. Для вырожденного идеального газа
фермионов функция распределения была впервые получена
Ферми и Дираком, носит их имя и имеет следующий вид:
где – химический потенциал.
ренней энергии системы при изменении числа частиц определенного сорта на единицу при постоянстве энтропии, объема
и числа частиц всех других типов.
туре T 0 K (рис. 7.1). Металл для свободных электронов представляет собой своеобразный потенциальный ящик, выход из
f(E)
, (7.2)
Химический потенциал численно равен изменению внут-
Рассмотрим для примера металл, находящийся при темпера-
которого требует работы по
преодолению сил связи,
удерживающих электроны в
металле.
Если бы электроны не
подчинялись принципу запрета Паули, то при Т 0 K
они бы скопились на дне
потенциального ящика. Являясь же фермионами, они
64
1
1
F
-
kT
EE
e
F0
F0
1
0
EE < при
> при EE
последовательно занимают все состояния, начиная с низшего,
отвечающего дну ящика.
Если в металле имеется N свободных электронов, то последним заполненным окажется энергетический уровень с номером N/2 (на каждом уровне могут размещаться только два
электрона с противоположными спинами). Этот уровень получил название уровень Ферми, а энергия ему соответствующая
называется энергией Ферми (EF). Таким образом, в наших условиях энергия Ферми представляет собой максимальную кине-
тическую энергию E
, которой обладает электрон в металле
F
при Т 0 К.
В схеме, показанной на рис. 7.1 важно договориться о начале отсчета. Иногда за нулевой уровень отсчета энергии (0 на
рис. 7.1) принимают энергию покоящегося электрона, вышедшего из металла и находящегося вне его полевого воздействия.
Химический потенциал для вырожденного газа нейтральных
частиц положителен и отсчитывается от нулевой точки на шкале энергии вверх. В случае коллектива электронов, который мы
рассматриваем, в уравнении (7.2) речь идет об электрохимическом потенциале ЭЛ, который с учетом наличия внутреннего
электростатического потенциала принимает отрицательные
значения.
Для того чтобы не усложнять ситуацию, в физике твердого
тела энергия обычно отсчитывается от дна потенциального
ящика (0* на рис. 7.1), и положительная энергия EF имеет в
этом случае смысл химического потенциала. В этом варианте
уравнение (7.2) приобретает следующий вид:
f(E)
. (7.3)
При Т 0 К все состояния с энергией E EF0 заняты электронами, а состояния с энергией E EF0 свободны. Другими
словами,
f(E)
, (7.4)
65
F0
0
)(EEdN
F0
0
)()()(
E
EdEgEf
0
F0
E
E
0,5 T 0 K
T 0 K
kT
f(E)
1
Рис. 7.2
что следует и из соотношения (7.3). График функции f(E) для
этого случая показан на рис.7.2. Заметим: при E EF0 и Т > 0
функция f(E) ½ независимо от значения температуры. Таким
образом, со статистической точки зрения уровень Ферми
представляет собой энергетический уровень, вероятность
заполнения которого при любой температуре равна ½.
При Т > 0 K часть электронов за счет теплового движения
сможет перейти в состояния с E EF, и, соответственно, такая
же часть состояний, расположенных ниже уровня Ферми, окажется свободной (происходит «размывание» распределения
f(E) на глубину kT, заштрихованные площади примерно равны,
рис. 7.2).
7.2 Положение уровня Ферми в металле
Рассмотрим положение уровня Ферми в металле в зависимости от параметров электронного газа. При температуре абсолютного нуля общее число N свободных электронов в объеме
металла V равно
N
откуда с учетом f(E) 1 (при T 0 K) и полученного ранее выражения для g(E) вида (6.22) имеем
, (7.5)
66
3
3 8h
V
*28
3
2
3
2
m
hn
k
E
F0
F0
2mE
F0
p
m
p
F0
N
В конечном итоге получаем
(2m*)
3/2
3/2
E
. (7.6)
F0
EF0
, (7.7)
где n – концентрация электронов, m* – их эффективная масса.
Согласно проведенным оценкам EF kT (так, например, у
EF0(Ag) 5,5 эВ, EF0(Cu) 7,1 эВ, в то время как при T 300 К
величина kT составляет всего около 0,025 эB).
В этом плане становится понятным низкий вклад электронного газа в теплоемкость металлов. Причина кроется в принципе Паули, согласно которому электроны не скопились на дне
потенциального ящика, а практически непрерывно распределены в широком энергетическом интервале от 0 до EF0. Поскольку
EF0 kT, то тепловая энергия способна возбудить только электроны, расположенные на самых верхних уровнях (вблизи EF0).
Основной массе электронов переходить некуда, так как более
высокие для них энергетические состояния уже заняты электронами. В результате вклад в теплоемкость обеспечивает
лишь незначительная часть электронного газа.
Оценочная температура TF
получила название темпе-
ратуры Ферми. В звездной материи TF может достигать миллионов градусов, в металлах имеет порядок 105 К, а в полупроводниках 103 К.
При Т 0 K все состояния с импульсами p pF0
заняты электронами, а с p pF0 свободны. Импульс
ется ферми-импульсом (по аналогии
F
называ-
– ферми-
скорость). Представив в импульсном пространстве сферу радиусом pF0 (ферми-сферу), получим изоэнергетическую поверхность, которая отделяет заполненные квантовые состояния от
67
EF0
T
EF,
0
T3
Q N
Рис. 7.3
Q >> N
T1 T2
f
Ф-Д
(E)
T1 0 К
1 T2 T1
T3 T2 0 К
T4 T3
0 EF E
Рис. 7.4
T6 T5 0 К
kT
kT
0,5 T5 T
4
незаполненных. Эта сфера получила название поверхности
Ферми.
В общем случае при T 0 К оценить положение EF довольно
сложно. Действительно, в выражении (7.5) функция f(E) 1, и
оно сводится к расчетам довольно сложного интеграла, приближенные вычисления которого в области низких температур
позволяют оценить EF, как
EF EF0 ConstT2. (7.8)
В области высоких тем-
ператур EF линейно зависит
от Т, рисунок (7.3). Переход к новой зависимости
EF(T) связан с тем, что с
ростом Т, согласно выражению 6.24, увеличивается
общее число квантовых
состояний Q, и электронный газ становится невы-
рожденным (Q >> N).
Графики зависимости f(E) для трех характерных температур
Т
, Т2 и Т3 показаны на рисунке (7.4); из графиков следует, что с
1
ростом температуры «ступенька» функции f(E) размывается и
смещается влево.
При очень высоких температурах, при которых электронный газ становится невырожденным, функция Ферми-Дирака
68
11
kTE
e
kT
E
kT
ee
11
kTE
e
kT
Ee
dEEgEf )()(
переходит в классическую функцию Максвелла-Больцмана.
Действительно, при EF 0 (точнее, при < 0), E EF kT, и
f
F-D
(E)
f
(E). (7.9)
M-B
Таким образом, условие невырожденности можно записать
в виде f(E) 1.
7.3 Распределение Бозе-Эйнштейна
Рассмотрим теперь применение статистики Бозе-Эйнштейна
к системе частиц с целым или нулевым спином, то есть к бозо-
нам.
Функция распределения в этом случае (функция БозеЭйнштейна) имеет вид
f(E)
(7.10)
и соответствует среднему числу частиц, обладающих в данном
квантовом состоянии энергией Е.
Вспомним, что бозоны не связаны принципом Паули, и в
одном квантовом состоянии может находиться любое число
частиц. Химический потенциал , входящий в распределение
(7.10), может быть только отрицательным или равным нулю.
Действительно, если > 0, то при E 0 выражение
1 и
f(E) 0, что лишено физического смысла.
Запишем условие нормировки полной функции распределения Бозе-Эйнштейна:
N
, (7.11)
откуда, воспользовавшись (6.21) и (7.10), получаем
69
0
2
1
3
2
3
1
)2(2
dE
e
E
h
mV
kT
E
T
He
4
2
He
3
2
N
. (7.12)
Из условия (7.12) в принципе находится выражение для .
При этом можно показать, что производная
всегда отрица-
тельна, то есть возрастает с уменьшением Т, все время оставаясь отрицательной величиной. При T T0 > 0 химический
потенциал становится равным нулю. Если понижать температуру при условии T < T0, то, как показывает анализ, для выполнения уравнения (7.12) необходимо, чтобы либо > 0, либо N
должно уменьшаться. Поскольку не может принимать положительные значения, а частицы из замкнутой системы уйти не
могут, то остается предположить, что при T < T0 бозоны начинают скапливаться на нулевом энергетическом уровне (происходит «бозe-конденсация»). Таким образом, при T < T0 часть
бозе-газа будет «сконденсирована» на уровне с нулевой энергией, а остальные распределятся по другим уровням по закону
Бозе-Эйнштейна.
Примером возникновения бозе-конденсации является явление сверхтекучести, которое наблюдается в жидком гелии
при T 2,19 К. Эффект обнаружен в 1938 г. П.Л. Капицей (Но-
белевская премия 1978 г.), объяснён Л.Д. Ландау Нобелевская
премия 1962 г.).
Фермионы при определенных условиях могут взаимодействовать, объединяясь в группы, являющиеся уже бозонами
(переход Бардина-Купера-Шриффера при сверхпроводимости),
в этом плане при очень низких температурах Д. Ли, Р. Ричардсон, Д.Ошерофф (США) обнаружили в 1971 году сверхтеку-
честь в гелии
(атомы этого изотопа гелия сами по себе
являются фермионами). Данное открытие и исследования этих
ученых в этой области отмечены Нобелевской премией 1996
года.
70
11
kT
E
e
11
kTh
e
c
h
d
c
h
3
2
4cVd
Vd
dz )(2
3
2
8c
)1(
8
3
3
kTh
ec
h
7.4 Фотонный газ
В прошлом семестре мы рассматривали тепловое излучение
абсолютно черного тела, моделируемого непрозрачным сосудом с небольшим отверстием, стенки которого имели одинаковую температуру. В основе рассмотрения лежала формула
Планка, устанавливающая закон распределения энергии в
спектре равновесного излучения при определенной температуре.
С квантовой точки зрения тепловое излучение можно представить как равновесный фотонный бозе-газ, заключенный в
моделируемом ранее сосуде. Химический потенциал такого
газа равен нулю, и функция распределения Бозе-Эйнштейна
имеет вид (с учетом E h):
f(E)
. (7.13)
Подставляя в (6.17) выражения для импульса фотона p
с учётом того, что dp
яний в объеме V для фотонов с частотой , d:
, получим число квантовых состо-
dz()
. (7.14)
В этом случае плотность числа состояния для единицы объема (с учетом, что каждой частоте соответствуют два состояния
с разными поляризациями) будет равна:
g()
. (7.15)
В результате энергия, излучаемая в единице объема и приходящаяся на единичный интервал частот, определяется, как
(, T) hf()g()
, (7.16)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]