Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.3. Развернутый конспект лекций
.pdf
71
что представляет собой формулу Планка для распределения
плотности энергии в спектре излучения абсолютного черного
тела. Статистика Бозе-Эйнштейна, как и ожидалось, дает правильный результат.
1. Какой физический смысл имеет функция распределения
Ферми-Дирака?
2. Что называется энергией Ферми и уровнем Ферми в метал-
ле?
3. От каких параметров зависит положение уровня Ферми в
металле?
4. Что называется поверхностью Ферми?
5. Какой физический смысл имеет функция распределения Бо-
зе-Эйнштейна?
6. Чем обусловлено возникновение явления сверхтекучести?
7. Выведите формулу Планка для распределения плотности
Вопросы для повторения
энергии в спектре излучения абсолютного черного тела.
72
11
kTE
e
kT
E
kT
ee
3
2hV
kT
E
kT
ee
f(E)
dE
dN
E
1/2
kT
E
e
kT
E
e
0 E 0 E
Рис.8.1
Лекция № 8
8.1 Распределение Максвелла-Больцмана
В случае, если Q >> N, то есть < 0, мы переходим от вырожденного газа к невырожденному.
При условии E >> kT:
f(E)
функция распределения Ферми-Дирака f
Эйнштейна f
велла-Больцмана f
(E) переходит в классическую функцию Макс-
Б-Э
(E).
М-Б
f
(E), (8.1)
М-Б
(E) и Бозе-
Ф-D
Таким образом, статистика Максвелла-Больцмана, полу-
ченная на основе классических представлений, может быть
предельным случаем обеих квантовых статистик.
Для получения закона распределения классических частиц
по состояниям запишем
и, подставляя (6.22) и (8.1), имеем
dN(E) (2S 1)
dN(E) f(E)g(E)dE (8.2)
(2m)
3/2
1/2
E
dE. (8.3)
Представим графически f(E) и dN(E), рис. 8.1.
Наибольшую вероятность заполнения имеют состояния с
низкими энергиями.
73
)(0ENd
3
2hV
kT
e
dEEe
kT
E
2/1
0
dEEe
kT
E
2/1
0
2
2/3
2
2
hmkT
kT
e
V
N
2/3
2
2)12( m kT
h
S
n
kT
E
e
mkT
h
S
n
2/3
2
2)12(
Общее число частиц системы N равно:
N
(2S 1)
(2m)
3/2
, (8.4)
или, с учетом того, что
3/2
(kT)
, (8.5)
имеем
N (2S 1)
V
. (8.6)
Эта формула позволяет найти химический потенциал невырожденного идеального газа как функцию температуры и кон-
центрации n
:
kTln
. (8.7)
Объединяя (8.1) и (8.6) получаем:
f
М-Б
(E)
. (8.8)
Обратим внимание на то, что предэкспоненциальный множитель, представляющий собой значение функции распределения при E 0, неограниченно возрастает с уменьшением температуры.
74
E
E
n
r
b
0 r0 r
E0 E
r
a
Рис. 8.2
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТВЕРДОТЕЛЬНОЙ
8.2 Связь атомов в молекулах и кристаллах
8.2.1 Химические виды связи
Ионная связь
Ионный вид связи в большинстве случаев образуется в результате соединения металлов с металлоидами.
Например – NaCl, поваренная соль.
При образовании NaCl атом натрия отдает валентный электрон хлору, в результате чего оба атома приобретают устойчивые внешние электронные оболочки и становятся соответственно положительным и отрицательным ионами. Равновесное состояние такой связи обеспечивается уравниванием кулоновской силы притяжения разноименных ионов силой отталкивания внутренних электронных оболочек, что соответствует
минимальной потенциальной энергии системы (см. рис. 8.2).
ние между ионами обозначим r0.
Пример:
В молекулах NaCl: r0 2,4 Å, E0 5,5 эВ.
В кристаллах NaCl: r0 2,8 Å, E0 8,9 эВ.
ЭЛЕКТРОНИКИ
Заметим, что если молекулы существуют, то это
энергетически выгодно, то
есть при объединении
атомов в молекулу выделяется энергия (молекула
находится в потенциальной яме). Энергия E0, вы-
делившаяся при образовании молекулы называется
энергией связи, рис. 8.2.
Равновесное расстоя-
75
r
a
n
r
b
E
Спины параллельны
0 r0 r
Спины
антипараллельны
Рис. 8.3
Так как kT 0,025 эВ (Т 300 К), то энергия теплового дви-
жения не разрушает молекулы (возможно при действии квантов излучения с энергией больше E0).
Общая потенциальная энергия взаимодействия определяется
выражением:
E E
где n 9 10 для NaCl.
Ковалентная связь
При этом типе связи часть электронов становится общей для
двух атомов. То есть при переходе от изолированных атомов к
молекуле каждый электрон перестает соответствовать определенному ядру, а обобществляется, совершая симметричные
движения относительно обоих ядер.
С квантовомеханической точки зрения причиной возникно-
вения ковалентной связи является обменное взаимодействие,
которое возникает при перекрытии электронных оболочек и
проявляется в том, что электроны с параллельным направлением спина отталкиваются, а при антипараллельной ориентации –
притягиваются друг к другу (рис. 8.3).
ПРИТЯЖ
E
ОТТАЛК
, (8.9)
С квантовомеханиче-
ской точки зрения силы
отталкивания в этой системе появляются при
объединении электронных оболочек, когда увеличивается число электронов, которые стремятся занять одинаковое
состояние, что противоречит принципу запрета
Паули.
76
Твердые тела с ковалентной связью имеют высокую температуру плавления и очень прочные: алмаз, кварц, кремний и
т.д.
Металлическая связь
В металлах валентные электроны не локализуются у соседних атомов, а становятся свободными и принадлежат всему
кристаллу.
Металлическая связь представляет собой взаимодействие
совокупности положительных ионов, окутанных электронным
газом, состоящим из коллективизированных валентных электронов.
Помимо химической существует и так называемая физическая или молекулярная связь. Эта связь не связана с обменом
электронами, а определяется электростатическими силами притяжения между диполями. Энергия молекулярной связи существенно меньше, чем при химической связи.
8.2.2 Физическая связь
Ориентационная связь
Атомы и молекулы обладают дипольным моментом, что
приводит к их взаимодействию.
Индуцированная связь
Появляются наведенные дипольные моменты, притягивающие или отталкивающие атомы в зависимости от мгновенных
положений электронов на орбитах.
Дисперсионная связь
При согласованном движении электронов атомы притягиваются.
В реальной ситуации обычно реализуются смешанные виды
связей.
77
2
1
JL2
2
)1( jj
Jjj2
)1(2
8.3 Энергетические уровни молекул. Спектры излучения
Оптические спектры излучения усложняются при объединении атомов в молекулы, то есть изменяется положение энергетических уровней. Связано это с расщеплением энергетических
уровней электронов на ряд компонент. Такое расщепление понятно с квантовомеханической точки зрения, так как ядра атомов, образующие молекулы, могут различным образом колебаться и вращаться относительно общего центра масс. В первом приближении будем считать отдельные виды молекулярного движения независимыми. Тогда общая энергия E:
где EЭЛ, E
E EЭЛ E
, EВР – соответственно электронная, колебательная
КОЛ
EВР, (8.10)
КОЛ
и вращательная энергия системы (пренебрегаем кинетической
энергией поступательного движения молекул, так как она не
проявляется в спектрах излучения).
Согласно нашим предыдущим рассмотрениям энергия квантового гармонического осциллятора квантуется, то есть
E
(
КОЛ
)h, (8.11)
где 0, 1, 2, ... .
При больших колебания в молекулах будут негармоническими, формула (8.11) нарушается.
Рассмотрим теперь вращательную энергию молекулы:
EВР
, (8.12)
где L и J – соответственно момент импульса и момент инерции
системы. С учётом условия квантования момента импульса,
согласно которому L ћ
(здесь j – квантовое число
момента импульса, j 0, 1, 2, ... .), имеем:
EВР
, (8.13)
78
J
2
J
2
2 j 2
. . .
j 1
1 j 0
. . .
j 2
0 j 1
EЭЛ j 0
Рис. 8.4
где EВР 0 (при j 0), EВР
ляющая спектра наблюдается в далекой инфракрасной области
спектра, а также на границе этой области с диапазоном коротких радиоволн. Наблюдаемые электронные переходы подчиняются правилу отбора: 1, j 1. Полученные результаты показывают также, что с увеличением температуры мо-
лекулярного газа его теплоемкость должна меняться скачкообразным образом.
В твердых телах расположение атомов можно представить
как периодическое повторение определенного «узора» в трех
измерениях. Такие твердые тела называют кристаллами, а
расположение атомов в них кристаллической структурой. Порядок, свойственный расположению атомов в кристалле, часто
приводит к симметрии его наружной формы. Если рисунок в
расположении атомов многократно повторяется в определенной последовательности, то в нем можно выделить мельчайшие
«строительные блоки» (элементарные ячейки), путем переноса
(при j 1), EВР 3
и т.д.
ления энергетических
уровней молекул показана на рис. 8.4. Создание
новых энергетических
уровней приводит к появлению дополнительных линий в спектрах
поглощения и излучения
молекул в сравнении с
атомами. Вращательная
и колебательная состав-
8.4 Кристаллы
(при j 2)
Общая схема расщеп-
79
Рис. 8.5
которых в трех направлениях (трансляции) можно построить
весь кристалл. Элементарные ячейки разнообразны:
Простая кубическая решетка, рис. 8.5
В элементарном кубе такой структуры атомы расположены
только в вершинах куба. В этой структуре каждый атом имеет
шесть ближайших соседей. Такая структура встречается только
у одного элемента – полония и то лишь в ограниченной области температур.
Объемноцентрированная кубическая структура
Элементарная ячейка представляет собой куб с атомами в каждой
вершине и в центре куба. Каждый
атом окружен восемью ближайшими
соседями, более плотная упаковка
атомов.
Кубическая гранецентрированная
структура
В этой элементарной ячейке атомы занимают все вершины
куба и центр каждой грани. Эта ячейка не является минимальной, но очень удобна, так как представляет собой куб. Это еще
более плотная упаковка, каждый атом окружен 12 соседями.
Возможны и более сложные элементарные ячейки, например, гексагональная.
Структура алмаза представляет собой сочетание двух гранецентрированных кубических подрешеток, вставленных друг в
друга. При этом начало координат одной подрешетки сдвинуто
относительно начала координат другой подрешетки вдоль диагонали куба на четверть ее длины.
Если при этом две вспомогательные гранецентрированные
кубические решетки заняты атомами разных элементов, то возникает новая структура, которая получила название «цинковой
обманки» (ZnS, GaAs, InSb и т.д.).
80
kT
E
e
V
2
1
Рис. 8.6
В кристаллах возможен полиморфизм: способность некоторых веществ существовать в состояниях с различной кристаллической структурой.
Пример: Углерод: алмаз – структура алмаза,
графит – гексагональная структура.
В 1985 году в университете Райса обнаружена возможность
атомов углерода соединяться в оболочки с 60 гранями (напоминают футбольный мяч). За открытие и исследование «нового
углерода», обладающего уникальными физическими свойствами, химикам Г. Крото, Р. Смолли и Р. Керлу присуждена Нобелевская премия 1996 года.
8.5 Дефекты кристаллической решетки
Дефекты кристаллической решетки можно в основном разделить на
три группы: точечные, линейные и
поверхностные.
Точечные
В определенных условиях атомы
могут покидать кристаллическую
решетку, образуя вакансии-дефекты
по Шоттки, рис. 8.6 (1). Энергия образования вакансии EV 1 эВ.
Равновесное число таких дефектов определяется соотноше-
нием
NV N
, (8.14)
1
где N1 – число узлов кристаллической решетки в данном объеме (атомы одного сорта).
Возможен и переход атомов в междоузельные положения с
генерацией так называемых дефектов Френкеля. Энергия образования таких дефектов Ei обычно больше, чем дефектов
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]