Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.3. Развернутый конспект лекций
.pdf
51
n 2
l = 0
m 0
mS ½
1s22s
1
Li
8 состояний
1s22s
2
Be
l 1
m 1
mS ½
1s22s22p
1
B
1s22s22p
2
C
m 0
mS ½
1s22s22p
3
N
1s22s22p
4
O
m 1
mS ½
1s22s22p
5
F
1s22s22p
6
Ne
1s1 – водород H
n 1, l 0, m 0, mS ½ два состояния
1s2 – гелий He
Лекция № 6
6.1 Многоэлектронные атомы. Принцип Паули
В квантовой механике в случае многоэлектронных атомов
действует не имеющий аналога в классической физике принцип, сформулированный в 1925 году швейцарским физиком В.
Паули и получивший название принципа Паули: в данный мо-
мент времени в определенном квантовом состоянии в атоме
может находиться лишь один электрон. Иными словами у
каждого электрона в атоме имеется свой индивидуальный набор
квантовых чисел n, l, m и mS. В дальнейшем принцип был выведен теоретически в рамках релятивистской квантовой механики
и распространен на все фермионы. Работы В. Паули в этом
направлении были удостоены Нобелевской премии 1945 года.
Рассмотрим водородоподобный атом. На его низшем (основном) энергетическом уровне могут располагаться только
два электрона, поскольку этот уровень двукратно вырожден:
В принятых атомных обозначениях цифры вверху показывают число электронов в каждом состоянии (s, p и т. д.).
Если n 2, то имеем 8 возможных квантовых состояний:
Таким образом, состоянию с n 2 отвечают четыре различных пространственных атомных орбиталей с различными
52
E
4s
3p
3s
Рис. 6.1
4p
3d
наборами орбитальных и магнитных квантовых чисел. С учетом спина в этих состояниях может размещаться восемь электронов – по два на каждую атомную орбиталь. Появляющаяся
периодичность заполнения состояний с различными n приводит к возможности систематизации элементов по их физическим и химическим свойствам и созданию так называемой периодической таблицы (периодической системы элементов Д.И.
Менделеева).
принцип «минимизации» энергии. В качестве примера рассмотрим относительное расположение уровней с n 3 и 4s
уровня в атоме натрия, рис. 6.1.
тий электрон уже располагается на уровне 3d и т.д. Сильное
отщепление уровня 3d связано с тем, что у многоэлектронных
атомов существует кулоновское и магнитное взаимодействие
между электронами, которое вносит заметный вклад в реальные значения их энергии.
добного атома равна 2n2. Так, если n 3, то число возможных
квантовых состояний будет равно 18.
электронов, полагают, что каждый из электронов движется в
усредненном поле ядра и остальных электронов. Это поле уже
не будет чисто кулоновским, но обладает центральной симметрией, зависит только от r. Решение уравнения Шредингера для
электрона, движущегося в этом поле, дает результат, аналогич-
При заполнении различных квантовых состояний работает
В данном случае 3d- уровень натрия не
сгруппирован с 3s и 3p уровнями, а расположен среди уровней с n 4. В третьей строке периодической таблицы (первым стоит Na) уровни 3s и 3p заполняются по принципу, который мы только
что рассмотрели. А вот у калия появляется отклонение: его электрон попадает
не на уровень 3d, а на 4s1 (меньше энергия). Кальций даст 4s2, а у скандия тре-
Степень вырождения энергетического уровня водородопо-
В более сложных, чем водород, атомах, имеющих несколько
53
L
0
L
S
L
0
S
)1( jj
ный результату, полученному для атома водорода, но с тем
характерным отличием, что положение энергетического уровня
зависит не только от n (главного квантового числа), но и от l
(орбитального квантового числа).
Отличие в энергии между состояниями с различными l и
одинаковыми n меньше, чем между состояниями с различными
n. С увеличением l энергия уровней с одинаковыми n возрастает. Для того, чтобы наблюдать переходы электронов с одного
энергетического уровня на другой необходимо выполнение
правила отбора l 1.
6.2 Спин-орбитальное взаимодействие
В реальной ситуации полный момент импульса электронов в
атоме определяется суммой орбитального и собственного (спи-
нового) моментов:
;
. Сложение орби-
тального и спинового момента импульса электронов проводится по квантовым законам L ћ
, где j – внутреннее
квантовое число, j l S или l S.
Энергия взаимодействия орбитального и спинового магнитных моментов импульса электрона (спин-орбитальное взаимодействие) зависит от взаимной ориентации орбитального и
собственного моментов. Следовательно, состояния с разными j
должны обладать различной энергией:
E En ES0, (6.1)
где ES0 – энергия спин-орбитального взаимодействия (ES0 << En).
На рис 6.2 представлен пример расщепления спектральных
линий излучения (как бы внутренний эффект Зеемана), обусловленный наличием внутреннего магнитного поля. В данном
случае также выполняется правило отбора, переходы электронов разрешены только при j 0, 1.
54
H
Без учёта С учётом
спин-орбитального спин-орбитального
взаимодействия взаимодействия
j 3/2
l 1
j ½
l 0
Рис. 6.2
Проекция орбитального момента импульса на заданное
направление
также квантуется:
LH mjћ, (6.2)
где mj – полное магнитное квантовое число, которое принимает
значения j, j 1, ... , 1, 0, 1, ... , j 1, j.
В заключение заметим, что в многоэлектронном атоме надо
учитывать взаимодействие орбитальных и спиновых моментов
всех электронов атома.
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Статистическая физика занимается описанием систем, состоящих из большого числа частиц. Существует две статистики
(классическая и квантовая):
– классическая Максвелла-Больцмана;
– квантовая Ферма-Дирака (объекты, ей описываемые, принято называть фермионами);
– квантовая Бозе-Эйнштейна (справедлива для объектов, которые принято называть бозонами).
Для фермионов справедлив принцип Паули и спиновое
квантовое число у них принимает полуцелые значения. Ферми-
55
онами являются: электроны, протоны, нейтроны, нейтрино и
целые ядра, состоящие из нечетного числа нуклонов.
Бозоны – это частицы, которые могут неограниченно заселять одно и то же квантовое состояние и имеют целое значение
спинового квантового числа. Бозонами являются: фотоны, фононы (кванты энергии колебаний атомов в кристаллической
решетке), мезоны и ядра, состоящие из четного числа нуклонов.
Специфическое «отталкивание» фермионов и «притяжение»
бозонов обычно называют обменным взаимодействием.
6.3 Невырожденные и вырожденные коллективы
Пусть на N одинаковых микрочастиц приходится Q различных квантовых состояний, в которых может находиться отдельная микрочастица. Если N << Q, то подобные коллективы
называют невырожденными. Так как в невырожденных коллективах частицы находятся далеко друг от друга, их трудно
спутать, они являются в значительной мере классическими и
подчиняются классической статистике Максвелла-Больцмана.
Если Q N, то специфика фермионов и бозонов проявляется в
полной мере, и такие коллективы называют вырожденными.
Вырожденные коллективы могут образовываться только квантовомеханическими объектами.
6.4 Функция распределения. Фазовое пространство
Допустим, что частица движется вдоль оси x («одномерный»
случай). Нас интересует вероятность того, что она находится в
интервале (x, x dx), см. рис. 6.3:
dW(x) f(x)dx. (6.3)
56
V
dVa
3
x x dx x
Рис. 6.3
y
y dy
y
0 x x dx x
Рис. 6.4
В данном случае f(x) – функция распределения (функция
плотности вероятности или сокращённо плотность вероятно-
сти), которая показывает вероятность того, что частица находится в единичном интервале вдоль оси x при данном x.
Если частица движется в плоскости x, y (рис. 6.4), и нас интересует вероятность ее попадания в область, задаваемую интервалами (x, x dx) и (y, y dy) («двумерный» случай), то
ном случае:
где dV – элемент объема.
Если частицы равномерно распределены по объему:
Суммарная вероятность, что частица обнаружится в объеме
V, равна
dW(x, y) dw(x)dw(y). (6.4)
Это и понятно, так как
оба события, что частица
окажется в интервале (x, x
dx) и (y, y dy) являются
случайными и независимыми, а общая их вероятность
равна произведению:
dW(x, y) f(x)dxf(y)dy
f(x, y)dxdy. (6.5)
По аналогии в трехмер-
dW(x, y, z) f(x)f(y)f(z)dxdydz
f(x, y, z) f(x)f(y)f(z); dV dxdydz;
dW(x, y, z) f(x, y, z)dV, (6.6)
f(x) f(y) f(z) a, то
dW(x, y, z) a3dV. (6.7)
W
1. (6.8)
57
V
dV
px px
Равномерное Классический
движение вдоль оси x гармонический осциллятор
0 x
0 x
Рис. 6.5
В результате, с учётом того, что a3 1/V,
dW(x, y, z)
. (6.9)
Обратимся теперь к рассмотрению фазового пространства.
Каждая частица в идеальном газе может характеризоваться
координатами x, y, z и составляющими импульса по каждой из
осей px, py, pz. Формально можно представить шестимерное
пространство с соответствующими осями, которое называется
фазовым. В этом шестимерном пространстве каждая частица
должна изображаться точкой, которая называется фазовой точкой. С течением времени координаты и импульс частицы будут
изменяться, получим цепочку точек или фазовую траекторию.
Вспомним типичные фазовые траектории, которые мы уже
обсуждали в прошлом семестре для классических частиц,
рис.6.5.
В квантовой механике возможны отличия, например, энергия квантового осциллятора квантуется, поэтому для квантового гармонического осциллятора надо рисовать систему эллипсов.
Если перейти к шестимерному пространству, то вероятность
обнаружить частицу в элементе объема этого пространства:
dW(x, y, z, px, py, pz) f(x)f(y)f(z) f(px)f(py)f(pz) dxdydzdpxdpydpz, (6.10)
где dФ dxdydzdpxdpydpz – элемент объема шестимерного пространства.
Если частицы равномерно распределены по объему, то, согласно (6.9),
58
V
d
p
x
px dp
x
p
x
0 x x dx x
Рис. 6.6
Если координаты частиц не имеют значения,
dW(x, y, z, px, py, pz) 1/V f(px)f(py)f(pz) dФ. (6.11)
dW(x, y, z, px, py, pz) f(px)f(py)f(pz) dФp, (6.12)
где dФp – элемент объема в пространстве импульсов.
При таких ограничениях, сопоставляя (6.11) и (6.12), имеем
dФp
. (6.13)
Если частица подчиняется законам квантовой механики, то
в соответствии с соотношением неопределенностей ее состояние нельзя изобразить точкой в фазовом пространстве.
Фазовая плоскость одномерно движущейся
микрочастицы распадается на отдельные элементарные ячейки площадью
dxdpx h, рис. 6.6. В этом
случае говорят, что фазо-
вое пространство микрочастицы квантуется.
Элемент объема шестимерного фазового пространства определяется
dФ dxdydz dpxdpydpz h3. (6.14)
выражением:
59
mp2
2
p
p
2
4ddpp
dp
h
Vp
3
2
4
2
1
py
dp
p
0 px
Рис. 6.7
6.5 Плотность состояний
Определим число квантовых состояний dZ(E), которым об-
ладает микрочастица в интервале энергий от E до E dE.
В случае идеального газа потенциальной энергией взаимо-
действия микрочастиц можно пренебречь, и тогда
E
, (6.15)
поэтому можно сначала подсчитать число квантовых состояний
dZ(p), которые соответствуют микрочастице в импульсном
интервале p, p dp, а уже потом перейти к энергии.
Рассмотрим пространство импульсов. Проведем в этом про-
странстве две сферы радиусом p и p dp, рис. 6.7. На рисунке
для простоты изобразим двухкоординатную систему, так
как нас не интересует направление вектора
, а только его
величина. Все частицы с импульсами, лежащими в интервале от p до p dp, находятся в
шаровом слое с объемом
4p2dp. Число квантовых состояний для частиц с такими
импульсами:
С учетом соотношений (6.13) и (6.14) перепишем уравнение
(6.16) в виде
Перейдем теперь к dZ(E), записав
и подставим полученные выражения в (6.17). В результате:
p2 2mE; p (2mE)
dZ(p)
dZ(p)
1/2
; dp
. (6.16)
. (6.17)
1/2E1/2
(2m)
dE, (6.18)
60
3
2/12/3
)2(2
h
EmV
dE
EdZ )(
3
2/12/3
)2(2
h
EmV
3
2/12/3
)2(2
h
EmV
*
g(E)
0 E
Рис. 6.8
dZ(E)
dE. (6.19)
Плотность числа квантовых состояний g(E) определяется
выражением
g(E)
, (6.20)
поэтому
g(E)
. (6.21)
Плотность числа состояний g(E) – это число квантовых со-
стояний микрочастицы, приходящихся на единичный интервал
энергии.
Из уравнения (6.21) и рис. 6.8 следует, что с ростом E плот-
ность состояний увеличивается пропорционально E
1/2
. Влияет
на g(E) масса частицы m и объем пространства V (6.21)*.
Следует отметить, что полученный результат нуждается в
некотором уточнении.
Строго говоря, с каждой
элементарной ячейкой фазового пространства необходимо отождествлять не
одно, а несколько состояний
микрочастицы (2S 1), учитывающих наличие у неё
спина. В результате выражение для функции g(E)
следует записать в виде
Для электрона, например, учет спина (S ½) увеличивает
число состояний в 2 раза.
При необходимости выражение (6.21) для плотности числа
состояний можно привести к единице объёма, разделив его на V.
g(E)
(2S 1). (6.22)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]