Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Ч.3. Развернутый конспект лекций
.pdf
91
3. Объясните, что такое фононы. Какой статистикой описыва-
ется поведение этих частиц?
4. Объясните, как возникают зоны энергий в кристалле.
5. В чем заключается отличие зонных схем металлов, полупро-
водников и диэлектриков?
6. Дайте краткую характеристику приближений, которыми
пользуются для описания движения электрона в кристалле.
7. Что называется функцией Блоха?
8. Что называется зонами Бриллюэна?
92
E
F
E
dk
d
dk
dE
1
dt
dk
dEF
dt
dk
dt
d
Г
dt
dk
dk
Ed
2
2
1
F
dk
Ed
2
2
2
1
Лекция № 10
10.1 Движение электронов в кристалле под действием
электрического поля. Эффективная масса
При приложении к кристаллу внешнего электрического по-
ля напряженности
e
(здесь e 1,610
на электроны действуют силы этого поля
19
Кл – элементарный заряд) и силы
периодического поля кристаллической решетки.
Скорость движения электрона в кристалле определяется
групповой скоростью распространения электронных волн:
Г
, (10.1)
где E ħ. Наличие групповой скорости вытекает из соотношения неопределенности (электрон в кристалле хотя бы частично локализован в пространстве), то есть центр группы волн
задает наиболее вероятное положение электрона при его движении.
За время dt внешняя сила F совершит работу по перемеще-
нию электрона, которая численно будет равна изменению его
энергии:
dE F
dt
Г
. (10.2)
В результате:
F ħ
. (10.3)
С другой стороны ускорение электрона равно
a
, (10.4)
и, объединяя с (10.3), получаем
a
. (10.5)
93
22
2
E/dkd
22
2
E/dkd
E(k)
k
Г
(k)
0 k
m*(k)
0 k
Рис. 10.1
/a 0 /a
Соотношение (10.5) представляет собой второй закон Нью-
тона, если сомножитель
су, характеризующую электрон. Эта масса получила название
эффективной:
электрона (если поле решетки совпадает по направлению с
внешним электрическим полем, m* me, если наоборот, то
m* me), а по знаку принимать как положительные, так и отри-
цательные значения. Эффективная масса является параметром
данного материала. Общая ситуация показана на рис. 10.1.
представить как некую мас-
m*
. (10.6)
Ранее мы уже упоминали об ис-
кусственности применения к квантомеханическим объектам понятий
силы и ускорения. Тем не менее,
соотношение (10.5) очень полезно
для некоторых расчетов, так как
позволяет заменить действие сил
внешнего и кристаллического полей действием сил одного внешнего поля. То есть, электрон в периодическом поле кристалла двигается
под действием силы внешнего
электрического поля в среднем так,
как передвигался бы под действием силы внешнего поля свободный
электрон, обладающий введенной
эффективной массой.
Эффективная масса не дает
представления об инерционных или
гравитационных свойствах электрона. Это искусственный параметр,
который может быть больше или
меньше массы me покоящегося
94
10.2 Понятие о дырках
Электроны валентной зоны под действием ряда факторов
(электрическое поле, тепловая энергия и т.д.) могут переходить
в близлежащую свободную зону или занимать свободные состояния внутри валентной зоны, если таковые имеются. На
месте ушедшего электрона формируется вакантное состояние,
которое получило название «дырки». Образующееся вакантное
состояние может замещаться соседними электронами валентной зоны, и дырка как бы перемещается по кристаллу. Если
приложить внешнее электрическое поле, появится дырочный
ток (если цепь замкнута).
Таким образом, дырки – это квазичастицы, которые очень
удобны для описания различных кинетических явлений в твёрдых телах. Дырки являются вакансией электрона, поэтому их
энергию отсчитывают от потолка валентной зоны вниз. Согласно принципу «минимизации» энергии, основным состоянием дырки является потолок валентной зоны.
Дырка, подобно электрону обладает эффективной массой,
которая положительна и по абсолютной величине равна эффективной массе электрона, ранее занимавшего данное вакантное
состояние. Заряд дырки равен 1,610
19
Кл.
10.3 Основные типы энергетических уровней в кристаллах
Любые кристаллы всегда содержат точечные дефекты (соб-
ственные или примесные), которые создают локальные энергетические уровни. Эти уровни локальны, так как точечных дефектов намного меньше, чем атомов основного вещества. Они
могут располагаться как в разрешённой, так и в запрещенной
зонах кристалла, существенно влияя на его оптические и электрофизические свойства.
10.3.1 Донорные уровни
Донорные уровни образуют точечные дефекты, имеющие
лишний электрон (или электроны), который не участвует в
95
Si Si Si
Si As Si
Si Si Si
EC
Ed
E
V
Полупроводник
n-типа
Рис. 10.2
связях для образования решетки. Энергетический уровень такого электрона обычно находится около дна свободной зоны.
Примером может служить примесь мышьяка (As) в германии
(Ge) или кремнии (Si), рис. 10.2.
В кристаллической решетке кремния каждый атом окружен
четырьмя ближайшими соседями, образуя с ними прочные валентные связи. Примесь мышьяка (донорная примесь замещения) имеет пять валентных электронов (V группа периодической таблицы), четыре из них будут находиться в химической
связи с соседними атомами кремния, а пятый в образовании
такой связи не участвует. Этот «лишний» электрон слабо связан с ядром и изображается на зонной схеме кремния локальным энергетическим уровнем, заполненным электроном и расположенным вблизи свободной зоны, рис. 10.2. При сообщении
электронам таких донорных уровней совсем небольшой энергии Ed (в нашем примере Ed 0,05 эВ) они переходят в свободную зону, которая из-за их появления, превращается в зону
проводимости. Образующиеся при этом положительные заряды
локализуются на неподвижных атомах примеси и в электропроводности не участвуют.
96
Si Si Si
Si In Si
Si Si Si
EC
E
a
E
V
дырка Полупроводник
p-типа
Рис. 10.3
10.3.2 Акцепторные уровни
Акцепторный уровень создает точечный дефект (акцептор),
у которого не хватает электронов для осуществления всех связей в кристаллической решетке. Примером может служить
примесь индия (In) в германии или кремнии, рис. 10.3.
Для образования связи с четырьмя ближайшими атомами
кремния у индия не хватает одного электрона. В результате на
зонной схеме кремния образуется пустой локальный энергетический уровень (акцепторный уровень), расположенный вблизи
валентной зоны, рис. 10.3. При сообщении кристаллам кремния
достаточно низкой энергии Ea (в нашем примере Еа 0,16 эВ)
электроны валентной зоны переходят на свободные локализованные акцепторные состояния. В валентной зоне образуются
дырки, и может наблюдаться дырочная проводимость, при
этом атомы индия превращаются в отрицательно заряженные
ионы.
Возможна ситуация, когда доноры и акцепторы присутствуют одновременно, тип проводимости (электронная или
дырочная) в этом случае зависит от соотношения концентрации
доноров и акцепторов и положения их энергетических уровней
в запрещенной зоне.
97
Рис. 10.4
EC
E
V
Рис. 10.5
EC
E
V
10.3.3 Центры рекомбинации
При достаточно высокой тем-
пературе возможен переход
электронов из валентной зоны в
свободную, что при малой концентрации точечных дефектов
задает так называемую собственную проводимость. Возможны и
обратные переходы (из свободной зоны в валентную), что приведет к соединению электрона с
дыркой (их рекомбинации). В
равновесных условиях скорость
генерации таких электронно-дырочных пар (число переходов в
единицу времени в единице объема) равна скорости их рекомбинации. Рекомбинация может происходить и через локальные
уровни (обычно глубокие), образованные точечными дефектами в запрещенной зоне (рис. 10.4).
Эти дефекты в этом случае называются центрами рекомби-
нации носителей заряда.
10.3.4 Уровни прилипания
В промежутках времени между генерацией и рекомбинацией
электрон (и дырка) может захватиться на уровни прилипания
(ловушки), время пребывания на
которых зависит от их расположения в запрещенной зоне,
рис.10.5.
98
n
E
E
EdnC)(
10.3.5 Экситоны
Электрон зоны проводимости и дырка валентной зоны при
близком пространственном расположении могут образовывать
связанную кулоновскими силами временно существующую
систему, которая получила название – экситон. В предположении слабого взаимодействия, когда размеры экситона велики
по сравнению с постоянной решетки кристалла, экситон можно
представить как электрон и дырку, связанные кулоновскими
силами и медленно двигающимися по большим орбитам относительно их центра масс. В такой модели экситон ведет себя
аналогично атому позитрония и имеет водородоподобную схему расположения энергетических уровней, которые иногда
изображают в запрещенной зоне кристалла.
10.4 Распределение электронов по энергетическим уровням
10.4.1 Собственный полупроводник
Рассмотрим сначала собственный полупроводник. Электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака, поэтому перенесем
основные выкладки, которые были получены для газа фермионов, к нашей ситуации, рис. 10.6.
Поскольку концентрация электронов, обладающих энергией
в интервале E, E dE определяется выражением
dn(E) f(E)g(E)dE, (10.7)
то концентрация электронов в зоне проводимости равна
n
. (10.8)
При обычных температурах энергия электронов в зоне проводимости не превышает kT, поэтому они в основном сосредоточены в нижней части этой зоны. В таких условиях уравнение
(10.8) можно переписать в виде (начало отсчета по шкале энергий ЕC 0):
99
0
)(Edn
1
1
F
kTEE
e
kT
E
kT
E
ee
F
kT
E
*
e
kT
E
kT
E
*
e
ekT)m
h
dEEeem
h
F
2
3
3
2
1
0
F
2
3
3
(2
2
)(2
4
*
e
m
2
3
*
3
)(22kTm
h
e
E
g(E)
kT
dE
dn
f(E)g(E)
EF
f(E)
f(E)
1 0,5 0
Рис. 10.6
g(E)
0
dE
dn
En
EC
E
V
n
. (10.9)
У нас EC EF kT (как увидим, в дальнейшем EF в собственном полупроводнике находится примерно посередине
запрещенной зоны) или E EF kT, поэтому функция распределения Ферми-Дирака f(E) в уравнении (10.7) перейдет в классическую функцию Максвелла-Больцмана
f(E)
Объединяя уравнения (6.22), (10.8) и (10.10), получаем
n
где
– эффективная масса электрона, а выражение вида
NC называют эффективной плотностью числа
. (10.10)
, (10.11)
100
kT
EE
e
FC
kT
EE
e
VF
2
3
*
3
)(22kTm
h
p
*
p
m
kT
EE
e
FC
C
V
N
N
kT
EE
e
VF
)(
4
3
2
)(
22
VC
C
VVC
*
e
*
p
m
m
kTln
EE
N
N
ln
kT
EE
2
VC
EE
2
E
*
*
p
m
*
e
m
состояний. Принимая за начало отсчёта уровень энергии Е
0,
C
выражение (10.11) обычно переписывают в виде
n N
C
. (10.12)
Уравнение (10.12) выглядит так, как будто мы работаем
только с одним уровнем энергии EC и число состояний, соответствующих этой энергии, равно NC (при температуре
T300К, N
2,510
C
19
см3).
Вернемся к рассмотрению положения уровня Ферми в собственном полупроводнике, которому соответствует условие n
p, где р – концентрация дырок.
Вводя, по аналогии с (10.12) уравнение
где
p N
V
– эффективная масса дырки, и, учитывая условие n p,
, NV
, (10.13)
получаем:
. (10.14)
Логарифмируя (10.14) и преобразуя полученное выражение,
переходим к формуле для расчёта положения уровня Ферми
EF
. (10.15)
Из (10.15) следует, что при T0К равновесный уровень
Ферми в собственном полупроводнике находится посередине
запрещённой зоны*, то есть
EF
, (10.16)
где Е – ширина запрещенной зоны. В результате
С повышением температуры уровень Ферми немного подни-
мается, так как обычно
. Но для подавляющего боль-
шинства полупроводников это смещение при обычных температурах мало, и им можно пренебречь.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]