Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Выпуск 7. Электростатика. Учебное пособие
.pdf
71
А в однородном поле с другой стороны,
d
U
0
d
S
q
0
Sqd
U
q
d
S0
d
S
0
12
21
rrrr
Сравнивая оба выражения, находим
где =
, т.е.
Из последнего выражения находим:
Е =
U =
U =
C0 =
=
.
,
.
.
Если средой между обкладками является не воздух (вакуум), а вещество с
диэлектрической проницаемостью , заполняющее всё пространство между обкладками, то ёмкость С будет в раз больше:
С = C0 =
.
Получили что, ёмкость плоского конденсатора увеличивается с уменьшением расстояния между обкладками d и увеличением площади обкладок. Ём-
кость конденсаторов также пропорциональна диэлектрической проницаемости
диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками. Поэтому при-
менение сегнетоэлектриков в качестве диэлектрика значительно увеличивает
ёмкость конденсаторов.
Ёмкость сферического (шарового) конденсатора определяется формулой:
С = 4
0
,
72
где r1 и r2 радиусы внутренней и внешней концентрических обкладок.
1
2
0
r
r
ln
2
n1i
i
q
n1i
i
C
+
Рисунок 29
С1 С
2
С
n
Ёмкость цилиндрического конденсатора определяется формулой:
C =
,
где r1 и r2 радиусы внутренней и внешней концентрических цилиндров
(обкладок), ℓ длина (высота) обкладок.
17 Последовательное и параллельное соединение конденсаторов
Если напряжение на конденсаторе увеличит до пробивного напряжения
(напряжение пробоя), то между его обкладками возникает искра (внутри ди-
электрика или по его поверхности) и конденсатор выходит из строя вследствие
нарушения изоляции. Поэтому основными характеристиками конденсаторов
являются их электроёмкость и максимальное рабочее напряжение. Для получе-
ния требуемой ёмкости при заданном рабочем напряжении конденсаторы соединяют в батареи.
1. Параллельное соединение конденсаторов (см. рисунок 29). При парал-
лельном соединении общим для всех конденсаторов является напряжение U = 1
конденсаторов равны С
, С2,…, C
1
. Если ёмкости отдельных
2
, то заряды на отдельных
n
конденсаторах равны:
q1 = C1U, q2 = C2U,…, qn = CnU.
Суммарный заряд q, находящийся на батарее, равен:
q =
= U
.
Ёмкость батареи равна:
73
С =
U
q
n1i
i
C
1
C
q
2
C
q
n
C
q
n1i
i
U
n1i
i
C
1
C
q
C
1
n1i
i
C
1
+
Рисунок 30
С1 С2 С
n
=
,
т.е. при параллельном соединении конденсаторов, ёмкость батареи равна сумме
ёмкостей отдельных конденсаторов, входящих в эту батарею, и ёмкость батареи
больше ёмкости любого из конденсаторов, входящих в батарею. Так как при
параллельном соединении напряжение на каждом конденсаторе равно напря-
жению на батарее, то и допустимое рабочее напряжение равно рабочему
напряжению на отдельном конденсаторе.
2. Последовательное соединение конденсаторов (см. рисунок 30) . При
последовательном соединении для всех конденсаторов одинаков заряд q, равный полному заряду батареи конденсаторов. Если ёмкости отдельных конден-
саторов равна С1, С
,…, Cn, то напряжения на отдельных конденсаторах равны:
2
U1 =
, U2 =
, …, Un =
.
А напряжение U на клеммах такой батареи равно сумме напряжений на всех
последовательно соединенных конденсаторах:
U =
= q
.
С другой стороны, для батареи
U =
.
Сравнивая два последних выражения, получаем:
т.е. при последовательном соединении конденсаторов величина, обратная ём-
кости батареи конденсаторов, равна сумме величин, обратных ёмкостям каждого из конденсаторов, входящих в батарею. В этом случае электроёмкость батареи меньше ёмкости любого из отдельных конденсаторов. При последователь-
=
,
74
ном соединении конденсаторов допустимое рабочее напряжение батареи будет
больше, чем у отдельного конденсатора, так как напряжение батареи равно
сумме напряжений на отдельных конденсаторах.
3. Смешанное соединение конденсаторов представляет собой комбина-
цию последовательного и параллельного соединения конденсаторов в батарею.
Используя формулы, полученные для ёмкости батареи конденсаторов при параллельном и последовательном соединениях, можно рассчитать ёмкость батареи при смешанном соединении конденсаторов.
18 Энергия электрического поля. Объёмная плотность энер-
гии электрического поля
Если обкладки заряженного конденсатора подключить к выводам элек-
трической лампочки, то в лампочке возникнет электрический ток, а конденса-
тор разрядится. При этом мы наблюдаем кратковременную вспышку света, а
спираль нити накала лампы нагревается. Это означает, что заряженный конденсатор обладает энергией.
Вычислим энергию заряженного конденсатора. Для этого представим се-
бе, что конденсатор заряжается. Обозначим u мгновенное значение напряжения на обкладках, dq элементарный заряд, прошедший между обкладками при
заряде. Тогда работа, совершаемая по перемещению электрического заряда
против сил электрического поля равна
dA = udq,
но q = Cu, и
dA = Cudu.
Для зарядки конденсатора от 0 до U нужно совершить работу:
75
А = С
U
0
duu
2
1
2
1
2
1
C2
q
2
2
qU
d
S
0
2
1
2
1
d
S
0
2
1
2
d
U
d
U
=
СU
2
.
Эта работа идёт на увеличение энергии W заряженного конденсатора, и по закону сохранения энергии:
A = W =
СU
2
.
Пользуясь соотношением q = CU, можно представить выражение для
энергии заряженного конденсатора в любой из приведённых форм записи:
W =
СU
2
=
=
.
Где же сосредоточена эта энергия – на зарядах или в электрическом поле?
В электростатике на этот вопрос трудно ответить, так как постоянные поля и
заряды существуют всегда совместно. Меняющиеся во времени поля могут су-
ществовать без электрических зарядов, первоначально породивших эти поля.
Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию, и эту энер-
гию мы используем в разнообразных радиотехнических устройствах. Это поз-
воляет заключить, что энергия сосредоточена в электрическом поле. Учитывая
этот результат, преобразуем выражение для энергии заряженного конденсатора
через напряжённость поля. Для простоты рассмотрим случай однородного поля
в плоском конденсаторе ёмкостью С =
СU
2
=
Но
W =
= Е напряжённость поля, Sd = V объём, занимаемый полем. Получи-
:
U2 =
0
Sd.
ли, что энергия однородного поля пропорциональна объёму, занимаемому по-
76
лем. Поэтому можно ввести понятие энергии единицы объёма или объёмной
V
W
2
1
2
2
R
e
2
2
R
m
плотности энергии электрического поля:
w =
=
0E2.
Итак, объёмная плотность энергии электрического поля пропорциональна
квадрату напряжённости поля. Этот вывод справедлив не только для однород-
ного поля, но и для любых полей, локализованных в любых однородных изотропных диэлектриках.
19 Примеры решения задач
1. Вычислите отношение силы электрического отталкивания двух протонов к силе их гравитационного притяжения.
Дано: m = 1,672 . 10
-27
кг; e = 1,610
G = 6,6710
19
-11
Нм2/кг2.
Кл; k = 9109 Нм
2
/Кл
2
;
Fк / Fгр ?
Решение. Для решения задачи необходимо знание следующих величин:
массы протона m; заряда протона, q, равного элементарному заряду e; постоян-
ной в законе Кулона k, гравитационной постоянной G. Сила электрического от-
талкивания двух неподвижных протонов, находящихся на расстоянии R в вакууме, равна:
Fк = k
.
Сила гравитационного притяжения равна:
Fгр = G
.
77
Искомое отношение сил будет равно:
2
гр
к
m
e
G
k
F
F
11
9
1067,6
109
27
19
10672,1
106,1
2
21
r
qq
=
= 1,241036.
Аналогичные расчёты для электронов дают Fк / Fгр = 4,171042.
Кулоновские силы медленно убывают с расстоянием и принадлежат к
дальнодействующим, как и гравитационные. Электрические силы между от-
дельными элементарными частицами, как показано выше, неизмеримо больше
гравитационных сил. Если бы удалось передать 1 % электронов от одного чело-
века другому, то на расстоянии вытянутой руки сила притяжения между ними
превышала бы вес земного шара. Однако взаимодействие между заряженными
частицами настолько велико, что создать у небольшого тела очень большой за-
ряд невозможно. Отталкиваясь друг от друга с большой силой, частицы не смо-
гут удержаться на теле. Других сил, которые были бы способны в данных усло-
виях компенсировать кулоновское отталкивание, в природе не существует.
Именно поэтому в природе не встречается заметное притяжение или отталкивание больших заряженных тел.
2. Два одинаковых заряженных шарика, находящиеся в вакууме на расстоянии r = 20 см, притягиваются с силой F1 = 4 мН. После соприкосновения
они разведены на прежнее расстояние и отталкиваются с силой F
Определите первоначальные заряды q
и q2 шариков.
1
= 2,25 мН.
2
2
Дано: F1 = 4103 Н; F2 = 2,25103 Н; k = 9109 Нм
2
/Кл
; r = 0,2 м.
q1 ?; q2 ?
Решение. Модули зарядов обозначим через q1 и q
. Первоначально разно-
2
имённые заряды притягиваются, согласно закону Кулона:
F1 = k
.
78
Для определённости положим, что q1 q2, т.е. q1 q2 и что q1 0,
2
r
k
2
21
2
qq
1
2
F
F
Н104
Н1025,2
33
21
2
21
qq4
qq
1
2
2
1
q
q
2
q
q
4
1
4
25,2
1
2
2
1
q
q
2
q
q
4
1
2
1
q
q
2
21
r
qq
2
22
r
qq4
2
2
Кл
мН
2
2
2
м2,0
q4
3
2
3
2
3
2
3
8
3
200
3
800
q2 0. Отрицательное значение заряда q2 учтём его записью « q
» в формулах.
2
После соприкосновения заряженных шариков алгебраическая сумма зарядов
равна (q1 q2). А после разведения шариков из-за того, что шарики одинаковы,
эта алгебраическая сумма зарядов поровну по (q1 q2)/2 поделится между шариками. Тогда сила Кулоновского отталкивания окажется равной:
F2 =
.
Найдём отношение кулоновских сил:
=
=
=
.
Решая уравнение
=
этом случае
F1 = k
Решая уравнение 4103 Н = 9109
q2 = q2 =
тельный, имеем q
заряд q1 = 4q2 = 4q2 = 4
107 Кл. Исходя из нашего предположения, что заряд q2 отрица-
=
2
107 Кл. А положительный по нашим предположениям
107 Кл =
, находим, что
= k
.
относительно q2, находим
107 Кл.
= 4, или q1 = 4q2. В
Итак, имеем q
=
2
109 Кл = 67 нКл, а q1 =
109 Кл = 267 нКл.
79
3. Определите кулоновскую силу притяжения двух кусочков свинца по
m
m
2
21
R
qq
2
2
R
q
2
R
k
m
2
A
R
emN
m = 1 г каждый, находящихся на расстоянии R = 1 км друг от друга в вакууме,
если у каждого атома в одном кусочке свинца отнять по одному электрону и
перенести на второй кусок свинца. Молярная (атомная) масса свинца равна =
207 г/моль. Число Авогадро N
е = 1,610
19
Кл.
= 6,021023 моль1. Элементарный заряд равен
A
2
Дано: k = 9109 Нм
NA = 6,021023 моль1; е = 1,610
2
/Кл
; m = 1 г; R = 103 м; = 207 г/моль;
19
Кл.
F ?
Решение. Определим число N атомов свинца, содержащихся в массе m:
N =
NA.
Так как от каждого атома отнимаем по одному электрону, то заряд q всех
электронов, переносимых с одного куска на другой равен:
q = Ne =
NAe.
Первоначально электрически нейтральный кусок свинца, с которого сняли N
отрицательных электронов, приобретает положительный заряд q = Ne (по закону сохранения заряда).
Сила кулоновского притяжения двух заряженных равными по модулю и
противоположными по знаку точечными (размеры кусочков свинца несравнимо
малы по сравнению с расстоянием R между ними) зарядами определяется согласно закону Кулона:
F = k
= k
=
(
NAe)2 = k
=
80
= 910
2
3
1923
10207
106,11002,61
gF
3/1
3
9
1010
1095,1
2
01
x
qq
2
02
xRqq
9
= 1,95109 Н.
Это – очень большое число; столько весит заполненный водой куб ребром
ℓ =
=
= 58 м. Этот пример весьма поучителен – несмотря на
незначительную массу взаимодействующих тел (m = 1 г), находящихся на зна-
чительном удалении друг от друга (R = 1 км), между ними возникла громадная
сила кулоновского взаимодействия F. На практике это означает, что с одного
тела на другое невозможно переносить большие заряды. Полученный результат
также объясняет появление значительных сил электрического взаимодействия
между телами, имеющими незначительные (небольшие) заряды. Огромная ве-
личина силы взаимодействия, рассчитанная в данном примере, ещё раз под-
тверждает, что изучаемые в обычных условиях электрические явления возни-
кают от малейшего нарушения баланса положительных и отрицательных зарядов.
4. Два точечных отрицательных q
друга. Куда необходимо поместить третий заряд q
и q2 находятся на расстоянии R друг от
1
, чтобы все заряды оказались
0
в равновесии?
Дано: q1; q2; R.
х ?
Решение. Заряд q0 должен находиться между зарядами q1 и q2 на прямой,
соединяющей эти заряды. Кроме того, знак заряда q должен быть положительным, так как только в этом случае кулоновские силы, действующие на каждый
из зарядов со стороны двух других зарядов, будут уравновешены. Условие рав-
новесия заряда q
: F01 = F02. Отсюда следует
0
k
= k
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]