Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Выпуск 7. Электростатика. Учебное пособие
.pdf
91
даемого положительным зарядом, есть величина положительная, а потенциал
3
4
2
x
q
2
3
x
х
3
4
3
4
2
x
Q
2
3
x
R
3
4
3
R43
2
x
1
0 О А В х
Ех
R
R
Е1/х
2
Е1/х
2
Ех
поля, возбуждаемого отрицательным зарядом, есть величина отрицательная.
11. Определите напряжённость электростатического поля внутри и вне
однородного шара радиуса R, заряженного с объёмной плотностью .
Дано: ; R.
Е(х) ?
Решение. Так как
объёмная плотность зарядов определяет величи-
ну заряда единицы объё-
ма, то полный заряд шара
равен:
Q = V =
R3.
Напряжённость поля в точке А определяется расстоянием от центра О до точки
А и величиной заряда q шара радиуса ОА = х, поскольку оставшаяся (внешняя)
часть шара поля внутри не создаёт.
Таким образом, при 0 х R
Е
= k
А
= k
= k
х.
Вне шара, в точке В, напряжённость поля определяется обычным выражением
для поля точечного заряда, т.е. при х R
Е
= k
В
= k
= k
.
92
Графически всё сказанное выше представлено на рисунке.
x
mg
E
v
0
F
k
Fksin
F
k
cos
y
0
E
E
12. Определите максимальную дальность полёта и максимальную высоту
подъёма заряженного тела массы m, брошенного под углом к горизонту с
начальной скоростью v0. Движение тела происходит одновременно в поле тяго-
тения и однородном электростатическом поле с напряжённостью Е, силовые
линии которого направлены под углом к вертикали. Заряд тела q. Ускорение
свободного падения g.
Дано: m, q, g, , , E, v0.
x
max
? y
?
max
Решение. На тело действуют сила тяжести mg и электростатическая сила
Fk = qE. Уравнение движения тела имеет вид:
ma = mg + Fk.
В проекциях на оси координат 0х и 0у имеем:
93
m
q
cosE
m
q
g
m2
sinqE
2
cosE
m
q
g
cosE
m
q
g
cosE
m
q
g
sinv
0
2
cosE
m
q
g
Следовательно, вдоль направлений 0х и 0у движения равнопеременные с
ускорениями:
max = qEsin,
may = mg qEcos.
ax =
ay =
Esin и
.
Уравнения движения заряженного тела:
x = v0tcos +
y = v0tsin
t2,
t2.
Скорость тела по оси 0у меняется следующим образом:
vy = v0y + ayt = v0sin
t.
В наивысшей точке траектории vy = 0. Отсюда время движения до
наивысшей точки
Полное время полёта t
дения, т.е.
Используя t1 и t2, получаем искомые результаты:
t1 =
= 2t1 определим из соотношения у = 0 в точке па-
2
y = 0 = v0t2sin
.
2
t
.
2
94
x
cosqEmg
sinqEtg
1
cosE
m
q
g
2sinv
2
0
cosE
m
q
g2
sinv
2
2
0
0
r
q
r
q
=
max
y
=
max
13. Определите потенциал электростатического поля внутри и вне заря-
женного проводящего шара радиуса r0.
Дано: q; r0.
?
Решение. В случае проводящего шара заряд q будет равномерно распре-
,
.
делён по поверхности шара радиуса r0. Потенциал такой заряженной бесконечно тонкой оболочки равен:
= k
.
Внутри себя данная оболочка поля не создаёт. Следовательно, потенциал
во всех точках внутри будет одинаковым и равным потенциалу поверхности. В
противном случае, работа А = q
2) по перемещению заряда q0 из одной
0(1
точки шара в другую была бы отлична от нуля. Так как внутри шара имеется
огромное количество носителей заряда (например, электронов), то в этом слу-
чае возникнет их направленное движение, т.е. электрический ток, что противоречит условию задачи. Вне шара (r r0) выражение для потенциала будет идентично выражению для потенциала поля, создаваемого точечным зарядом, по-
мещённым в центре шара:
= k
.
95
14. Восемь одинаковых шарообразных уединённых капелек ртути, заря-
r
q
R
Q
3
4
3
4
R
Q
3/1
NrqN
r
q
женных до одинакового потенциала в = 0,1 В каждая, сливаются в одну шарообразную каплю. Каков потенциал Ф большой капли?
Дано: N = 8; = 0,1 В.
Ф ?
Решение. Запишем выражения для потенциалов маленькой () и большой
(Ф) капелек:
= k
; Ф = k
,
где r и R радиусы маленькой и большой капелек, соответственно;
q и Q заряды маленькой и большой капелек, соответственно.
По закону сохранения заряда, заряд Q большой капли складывается из зарядов отдельных малых капелек, т.е. Q = Nq, (заряды одинаковых по размерам
капелек с равными потенциалами одинаковы).
Радиус R большой капли найдём из условия, что объём V большой капли
складывается из объёмов v малых капелек, т.е. V = Nv, или
R3 = N
r3,
откуда находим, что R = rN
1/3
.
Итак,
Ф = k
= k
= k
N
2/3
= N
2/3
= 0,18
2/3
= 0,4 В.
15. До какого потенциала заряжен каждый из двух одинаковых шариков,
находящихся на расстоянии R = 99 см (между центрами) друг от друга, если
96
шарики взаимодействуют друг с другом с силой F = 10
2
21
R
qq
k
F
r
q
r
R
kF
R
q
kF
kF
r
R
1
79
10109
01,0
99,0
1
7
Н? Шарики, заряжен-
ные одинаковыми одноимёнными зарядами, имеют радиус r = 1 см.
Дано: F = 107 Н; R = 0,99 м; r = 0,01 м.
?
Решение. По закону Кулона сила взаимодействия между заряженными
шариками
Учитывая, что q
F = k
= q2 = q определим заряды шариков:
1
q = R
.
.
Потенциал в любой точке, в том числе и на поверхности шарика, склады-
вается из потенциалов полей, создаваемых зарядами обоих шариков. Потенциал
поля, создаваемый зарядом q, находящимся на шарике радиуса r, на поверхности этого шарика, равен:
1 = k
=
.
В том месте, где находится шарик, заряд другого шарика создаёт поле,
потенциал которого
2 = k
=
.
Таким образом, потенциалы шариков будут равны:
= 1 + 2 =
=
= 3 000 В = 3 кВ.
97
16. В точке 1 помещён точечный положительный заряд q, который создаёт
2
2
r
q
2
3
r
q
2
r
q
2
kqE
3
r
q
3
kqE
kq
32
ЕЕ
в точках 2 и 3 электростатическое поле с напряжённостями Е2 и Е
ственно. Определите работу поля по перемещению заряда q
из точки 2 в точку
0
3.
Дано: q; q0; E1; E2.
А ?
Решение. Напряжённости поля в точках 2 и 3 равны:
E2 = k
и E3 = k
,
где r2 и r3 расстояния от точек 2 и 3 до точки 1.
Потенциалы в точках 2 и 3 определяются следующими выражениями:
, соответ-
3
2 = k
3 = k
Отсюда работа по перемещению заряда q
=
=
,
.
из точки 2 в точку 3 будет рав-
0
на
А = q
(2 3) = q0
0
.
17. Диполь длины ℓ с зарядами q находится в состоянии устойчивого
равновесия в однородном внешнем электростатическом поле напряжённости Е.
Определите работу, которую необходимо совершить для поворота диполя на
1800.
Дано: q; ℓ; E.
А ?
98
Решение. Если потенциальная энергия в начальном и конечном положе-
0
+q
x
x
0
+
+ + + + + + +
q
А
В
С
D
E
1
E
2
ниях равна, соответственно, U
и U
1
работа равна
А = U
U1.
2
Пусть, начальная координата заряда q равна х
тогда
U1 = qEx0 qE(x0 + ℓ) = qEℓ,
U2 = qEx0 + qE(x0 + ℓ) = qEℓ.
Следовательно, для поворота необходимо совершить работу
, то искомая
2
,
0
А = U
U1 = 2qEℓ.
2
18. Возможно ли существование такого электростатического поля, у кото-
рого силовые представляют собой сгущающиеся параллельные прямые?
Дано: q; ℓ; E.
А ?
Решение. Определим работу А электроста-
тического поля по перемещению единичного по-
ложительного заряда q по замкнутому контуру в
виде прямоугольника ABCD. На участках AB и
CD работа равна нулю, так как вектор напряжён-
ности на этих участках перпендикулярен вектору
перемещения.
На участке ВС работа равна:
99
АВС = qE2ℓ,
2
mv
2
0
2
mv
2
0
r4
q
0
2
r4
q
0
0
2
r4
qq
0
21
На участке DA работа равна:
АDA = qE1ℓ,
где ℓ длина участков ВC и AD.
Так как Е
Е2 (линии напряжённости сгущаются), А = АВС + АDA 0. По-
1
этому такое электростатическое поле существовать не может.
19. Электрон летит на отрицательный ион. Заряд иона равен трём зарядам
электрона. В начальный момент электрон находится на очень большом рассто-
янии от иона и имеет скорость, равную 10
5
м/с. На какое наименьшее расстоя-
ние электрон может приблизиться к иону?
Дано: q1 =1,610
19
Кл; q2 =3q1; 0 =8,8510
12
Ф/м; v0 =105 м/с; m =9,110
31
кг.
r ?
Решение. На электрон при его движении в электрическом поле иона дей-
ствует со стороны поля кулоновская сила, работа которой равна изменению кинетической энергии электрона:
A = Wк = Wк Wк0 = 0
=
.
Но A = q1(1 2), где 1 и 2 потенциалы, создаваемые ионом в точках,
между которыми перемещается электрон. Полагая 1 = 0 (в начальный момент
электрон находился на очень большом расстоянии от иона) и 2 =
, полу-
чим:
A = q
1
=
.
100
Наименьшее расстояние, на которое приблизится электрон к иону, опре-
r4
qq
0
21
2
mv
2
0
r4
q3
0
2
1
2
mv
2
0
2
00
2
1
mv2q3
103112
2
19
10101,91085,814,32
106,13
2
vm
2
p
делим из условия:
=
=
,
откуда
r =
=
= 150109 м = 150 нм.
20. Протон, разгоняясь в циклотроне, n = 10 раз прошёл ускоряющую
разность потенциалов U = 1 кВ. Определите кинетическую энергию и скорость,
с которой протон вылетит из циклотрона, а также минимальное расстояние, на
которое он может приблизиться из бесконечности к ядру атома бора. Масса
протона m
= 1,6710
p
-27
кг. Элементарный заряд е = 1,610
номер атома бора в Таблице Менделеева Z= 5. Масса ядра бора m
(1 а.е.м. = 1,6610
-27
кг). Постоянная k = 9109 м/Ф.
19
Кл. Порядковый
= 10,8 а.е.м.
я
Дано: n = 10; е = 1,610
k = 9109 м/Ф; mя = 10,81,6610
19
Кл; U = 103 В; mp = 1,6710
-27
-27
кг; Z= 5;
кг.
v ? W ?
Решение. Заряд qp протона равен элементарному заряду, т.е. qp = е. Заряд
ядра атома бора q
= Ze. Масса ядра бора mя = 10,81,6610
я
-27
кг.
В предположении, что протон первоначально покоился (v0 = 0), работа,
совершаемая при перемещении протона в ускоряющем поле, равна приобретаемой протоном кинетической энергии: А = W.
Учитывая, что
А = nqpU = neU и W =
,
получаем выражения для расчёта кинетической энергии и скорости протона:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]