Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Выпуск 7. Электростатика. Учебное пособие
.pdf
31
Если поле неоднородно и поверхность, через которую определяется по-
S
n
dSE
S
)d,( SE
q
S
n
dSE
S
dScosE
2
0
R4q
S
dS
2
0
R4q
0
q
+q
E R n
S
Рисунок 7
E
E
E
ток, не является плоской, то эту поверхность можно разбить на элементарные
площадки dS, в пределах которой поле можно считать однородным, а саму
площадку плоской. Поэтому для любого электрического поля элементарный
поток вектора напряжённости электрического поля есть dФ = ЕndS. Полный
поток вектора Е через любую поверхность S в любом неоднородном электриче-
ском поле находят интегрированием по всей поверхности S:
Ф =
=
.
Поток вектора Е является алгебраической величиной: зависит не только
от конфигурации поля Е, но и от выбора направления n. Из определения потока
вектора напряжённости (Ф = ЕnS = EScos, где угол между Е и n)
следует, что он может быть как положительным (cos 0, острый угол), так
и отрицательным (cos 0, тупой угол). Знак потока вектора Е зависит и от
выбора направления нормали n. Для замкнутых поверхно-
стей за положительное направление нормали принимают
внешнюю нормаль, то есть нормаль, направленную наружу
области, охватываемой поверхностью. В остальных случаях выбор направления нормали n к площадке S часто
произволен.
Рассмотрим точечный положительный заряд
и вычислим поток вектора
напряженности через замкнутую сферическую поверхность радиуса R, охватывающую заряд q, находящийся в ее центре (см. рисунок 7). За положительное
направление нормали n выберем направление внешней нормали. В этом случае
напряжённость Е во всех точках сферы одинакова и везде cos = 1. Поэтому
Ф =
=
=
1
=
14R2 =
.
32
Полученный результат справедлив не только для сферической поверхно-
n1i
i
E
S
)d,( SE
S
i
d, SE
S
i
d, SE
SE d,
i
0
i
q
S
n
dSE
S
)d,( SE
S
i
d, SE
0
1
n1i
i
q
сти, но и для любой замкнутой поверхности и для любого произвольного расположения заряда внутри поверхности. Если же замкнутая поверхность S не
охватывает заряд, то поток вектора напряжённости через эту поверхность Ф =
0, так как число силовых линий, входящих и выходящих из поверхности равны
между собой.
Если же внутри произвольной замкнутой поверхности находят n зарядов,
то в соответствии с принципом суперпозиции результирующая напряжённость
E равна векторной сумме напряжённостей E
отдельности:
E =
Поэтому полный поток вектора напряжённости в этом случае равен:
Ф =
=
Так как каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы
то
Ф =
=
=
, создаваемых каждым из зарядов в
i
.
=
.
=
=
.
,
Полученная формула выражает теорему Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряжённости электростатиче-
ского поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгеб-
раической сумме всех зарядов, расположенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную 0.
Рассмотрим примеры вычисления напряжённости электростатических полей в вакууме с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.
33
1. Равномерно заряженная бесконечная плоскость. Для определённости
Sq
0
1
S
Рисунок 8
E
+ + + + +
n
n S E
положим, что плоскость заряжена положительным зарядом. Так как плоскость
заряжена равномерно, то поверхностная плоскость заряда =
одинакова
в любом месте плоскости. Линии напряжённости перпендикулярны плоскости и
направлены от неё в обе стороны. Такое же направление линии напряжённости
сохраняют на любом расстоянии от плоскости, и поле заряженной бесконечной
плоскости является однородным. На практике заряженную плоскость можно
принять за бесконечную, если расстояние от плоскости до рассматриваемой
точки поля значительно меньше размеров плоскости.
В качестве замкнутой поверхности выберем прямой цилиндр, перпенди-
кулярный к заряженной плоскости и ограниченный
двумя плоскими основаниями, перпендикулярными
к силовым линиям и расположенными по обеим
сторонам заряженной плоскости (см. рисунок 8).
Цилиндр вырезает из плоскости участок площадью
S, и такую же площадь имеют основания цилиндра.
Заряд, заключённый внутри цилиндра, равен q = S.
Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряжённости (cos = 0,
то поток вектора напряжённости через боковую поверхность цилиндра равен
нулю, и полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков через его основания:
Ф = 2ES.
Согласно теореме Остроградского-Гаусса:
2ES =
S,
откуда находим выражение для напряжённости электростатического поля в вакууме для равномерно заряженной бесконечной плоскости
34
E =
0
2
0
2
0
2
0
сфер
S
q
Рисунок 9
E=
0
+
E=0
E=0
.
2. Напряжённость электрического поля между двумя бесконечными па-
раллельными разноимённо заряженными плоскостями. Предположим, что
плоскости заряжены равномерно разноимёнными зарядами с поверхностными
плотностями + и . Результирующее поле найдём, используя принцип супер-
позиции полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке 9 верхние стрел-
ки соответствуют направлениям силовых линий
от положительно заряженной плоскости, нижние – от отрицательно заряженной плоскости. В
пространстве между плоскостями линии напряжённости от разноимённо заряженных плоскостей направлены в одну сторону и
результирующая напряжённость поля между пластинами равна:
E = E+ + E =
+
=
.
Вне пластин линии напряжённости электрического поля разноимённо заряжен-
ных пластин имеют противоположные направления, и результирующая напряжённость электрического поля вне пластин Е = 0.
Полученные результаты можно использовать для расчёта полей внутри и
вне плоского конденсатора, когда напряжённость поля рассчитывается вдали от
краёв пластин.
3. Поле равномерно заряженной сферической проводящей поверхности.
Допустим, что сферическая поверхность радиуса R0 заряжена положительным
зарядом q. Из условий симметрии задачи очевидно, что заряд на сферической
поверхности равномерно распределён с поверхностной плотностью =
=
35
2
0
R4q
, и что линии напряжённости направлены радиально
0
q
0
41
2
R
q
0
41
2
0
R
q
R
0
Е
Е=
2
0
R
q
41
R
Е
0
0
Рисунок 11
R
0
+
Рисунок 10
E + +
+
(см. рисунок 10). При построении сферы радиуса R, име-
ющую общий центр с заряженной сферой, при R R
, весь
0
заряд q, создающий поле, попадает внутрь этой сферы.
Поэтому по теореме Остроградского-Гаусса:
ES = E4R2 =
,
и откуда находим
Е =
, R R0.
Получили, что при R R0, напряжённость поля убывает с расстоянием R
по тому же закону, что и для точечного заряда.
При построении сферы радиуса R, имеющую общий центр с заряженной
сферой, при R R0, внутри сферы нет никаких зарядов, поэтому напряжённость
поля:
Е = 0, при R R0.
График зависимости напряжённости Е электростатического поля для рав-
номерно заряженной сферической поверхности от расстояния R от центра сферы приведён на рисунке 11. На рисунке 11 значение
Е
0
=
.
4. Поле равномерно по объёму заря-
женного шара. Допустим, что шар из диэлек-
трика радиуса R0 заряжен положительным зарядом q равномерно по объёму с
объёмной плотностью:
36
=
шар
V
q
3
0
R4q3
0
41
2
R
q
3
4
0
q
0
1
3
4
0
1
3
0
R4q3
3
4
0
41
3
0
R
q
0
41
2
0
R
q
R
0
Е
Е=
2
0
R
q
41
R
Е
0
0
Рисунок 12
ЕR
=
.
Из условий симметрии задачи следует, что как и в предыдущем пункте
(п.3) напряжённость Е поля вне шара (при R R
мость от расстояния R от центра сферы:
Е =
, R R0.
Внутри шара (R R0) сфера радиуса R охватывает заряд:
q =
R3,
и согласно теореме Остроградского-Гаусса:
ES = E4R2 =
=
R3 =
) имеет подобную же зависи-
0
R3.
.
Из последнего уравнения находим:
Е
0
=
R, R R0.
Получили, что напряжённость Е поля внутри шара линейно растёт с расстоянием R от центра шара.
График зависимости напряженности Е
электростатического поля для равномерно по
объёму заряженного шара в зависимости от R
представлен на рисунке 12. На рисунке 12
значение Е
0
=
.
37
6 Работа сил электрического поля по перемещению зарядов.
Рисунок 13
F
dℓ
dR
R
1
R
R
q1 q
2
2
1
Потенциал. Принцип суперпозиции для потенциала
Под влиянием сил электрического взаимодействия заряженные тела могут
перемещаться. При этом совершается механическая работа. Известно, что тела,
способные совершать работу за счёт сил взаимодействия друг с другом, обла-
дают потенциальной энергией. Взаимодействие электрических зарядов осу-
ществляется посредством электрического поля. Следовательно, находящийся в
электростатическом поле заряд обладает потенциальной энергией, которую
называют электростатической энергией.
Поскольку работа является мерой изме-
нения энергии, для определения потенциаль-
ной энергии заряда в электростатическом по-
ле необходимо сначала подсчитать работу,
совершаемую силами такого поля при пере-
мещении заряда (для краткости слово сила
часто опускают и говорят о работе поля).
Для понимания свойств электрического
поля большое значение имеет понятие разно-
сти потенциалов или электрического напряжения. К этому понятию мы также
приходим, рассматривая работу сил электрического поля.
Рассмотрим электрическое поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q1. Предположим, что электрический заряд q2 перемещается из некоторой точки 1 в другую точку 2 вдоль произвольной траектории (см. рисунок 13).
Так как на заряд q2 в электрическом поле действует кулоновская сила, то при
таком перемещении совершается работа А12. Предположим для определённости, что оба заряда положительные. Тогда на заряд q2 со стороны q1 действует
кулоновская сила отталкивания. Обозначим через dℓ – элементарное перемеще-
ние заряда q2 на произвольном участке траектории, R1 и R2 радиус-векторы,
проведённые от заряда q1 к начальной 1 и конечной 2 точкам траектории пере-
38
мещения q2, угол между кулоновской силой F и перемещением dℓ в произ-
2
21
0
R
qq
41
2
1
R
R
dA
0
21
4qq
2
1
R
R
2
R
dR
0
21
4qq
21
R
1
R
1
L
dA
вольной точке траектории с радиус-вектором R, dR = dℓcos – приращение модуля радиус-вектора.
Запишем выражение для элементарной работы перемещения заряда q2:
dA = Fdℓ = Fdlcos = FdR =
dR.
Работа, совершаемая силами поля над зарядом q2 при перемещении из
точки 1 в точку 2 равна:
А
12
=
=
=
.
Получили, что работа А12 не зависит от траектории перемещения, а опре-
деляется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно,
электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными.
Из полученного выражения для А
следует, что работа перемещения
12
электрического заряда во внешнем электрическом поле по любой замкнутой
траектории L равна нулю (в этом случае начальная и конечные точки совпадают и R1 = R2):
=0.
Как известно, работа консервативных сил совершается за счёт убыли по-
тенциальной энергии. Поэтому работу А
сил электростатического поля можно
12
представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q2 в начальной и конечной точках поля, создаваемого зарядом q1:
А
= W1 W
12
. Из анализа выражения для работы А
2
приходим к следующему
12
соотношению для потенциальной энергии заряда q2 в поле заряда q1:
39
W =
R
qq
4
1
21
0
R
qq
4
1
21
0
2
q
W
+ const.
Значение константы в выражении потенциальной энергии обычно выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т.е. при
R) потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что потенциальная энергия равна
W =
.
Для одноимённых зарядов q1q2 > 0 и потенциальная энергия их взаимодействия положительна, для разноимённых зарядов q1q
< 0 и потенциальная
2
энергия их взаимодействия отрицательна.
Воспользуемся зарядом q2 в качестве пробного заряда для исследования
поля (q
торой обладает пробный заряд, зависит не только от его величины q
= q2). Согласно последнему выражению потенциальная энергия W, ко-
пр
, но и от
2
величин q1 и R, определяющих поле. Следовательно, эта энергия может быть
использована для описания поля подобно тому, как была использована для этой
цели сила, действующая на единичный положительный заряд, помещённый в
эту точку поля.
Разные пробные заряды q2, q2 и т.д. будут обладать в одной и той же
точке поля различной энергией W, W и т.д. Однако отношение W/q2, как вид-
но из выражения для потенциальной энергии, будет для всех зарядов q2 одним и
тем же. Величина
=
называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряжённостью поля E для описания электрических полей. Из данного выражения
определяется единица измерения потенциала вольт (В): 1 В есть потенциал
такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией
40
1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, можно показать, что вве-
R
q
4
1
1
0
R
q
4
1
0
N1i
i
W
N1i
i
i
0
R
q
4
1
N
1i
i
i
0
R
q
4
1
N
1i
i
N
1i
i
дённая ранее единица напряжённости электростатического поля действительно
равна 1 В/м: 1 Н/Кл = 1 (Нм)/(Клм) = 1 Дж/(Клм) = 1 В/м.
Из выражения для следует, что потенциал численно равен потенциаль-
ной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. Подставив в это выражение значение потенциальной энергии W, получим следующую
формулу для потенциала поля точечного заряда q = q1 в вакууме (индекс 1 в
произвольном случае можно опустить):
=
=
.
Если поле создается системой N точечных зарядов q1, q2, ..., q
, то работа
N
электростатических сил, совершаемая над пробным зарядом равна алгебраиче-
ской сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия W пробного заряда q
ле, равна сумме его потенциальных энергий W
, создаваемых каждым из заря-
i
, находящегося в этом по-
пр
дов в отдельности:
W=
= q
пр
.
Отсюда следует, что
=
=
.
Полученная формула ( =
) определяет принцип суперпозиции для
потенциала электрического поля: потенциал поля, создаваемого системой не-
подвижных точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности в данной точке. В то время как
напряжённости поля складываются при наложении полей векторно, потенциа-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]