Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Выпуск 7. Электростатика. Учебное пособие
.pdf
21
ной; она относится к числу фундаментальных физических постоянных и равна
2
21
R
qq
2
21
0
qq
4
1
R
0 = 8,8510
-12 Кл2
/(Нм2), или 0 = 8,8510
-12
Ф/м, где фарада (Ф) единица элек-
трической ёмкости (определение единицы измерения 1 Фарада будет дано позже). Тогда k = 1/(40) = 9109 м/Ф.
Итак, закон Кулона можно записывать в виде:
F0 = k
или F0 =
.
Из опыта следует, что сила взаимодействия между двумя зарядами не зависит от присутствия других зарядов и определяется законом Кулона (принцип
независимости действия сил). Поэтому, если данный заряд q окружен системой
зарядов q1, q2, ..., qN, то по закону Кулона можно определить силы F1, F2, …, FN,
действующие на заряд q со стороны остальных зарядов. Следовательно, результирующая сила F, действующая на данный заряд q, равна векторной сумме сил
взаимодействия данного заряда с каждым из окружающих его зарядов: F = F1 +
F2 + … + FN. Из приведённой формулы, выражающей принцип суперпозиции
для силы, следует, что, зная закон взаимодействия между точечными зарядами,
можно вычислить силу взаимодействия между зарядами, сосредоточенными на
телах конечных размеров. Для этого каждое из заряженных тел мысленно раз-
бивают на элементарные куски так, чтобы каждый из них можно было принять
за точечный заряд. Затем по закону Кулона вычисляют силы взаимодействия
между каждой парой таких зарядов (элементарными – точечными зарядами)
двух тел, а затем векторно складывают все эти силы.
Иногда, когда заряженное тело конечных размеров нельзя принять за то-
чечный заряд, необходимо знать распределение зарядов внутри тела. При этом
для упрощения математических расчётов во многих случаях бывает удобно иг-
норировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, яд-
ра), и считать, что они «размазаны» определённым образом в пространстве.
Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дис-
22
кретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчёты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки. В
случае непрерывно распределенных по объёму (или поверхности) тела зарядов
суммирование элементарных кулоновских сил взаимодействия сводят к интегрированию. При переходе к непрерывному распределению вводят понятие
плотности зарядов – объемной , поверхностной и линейной (см. п.5, с. 29).
Область применимости закона Кулона. Закон Кулона справедлив не толь-
ко для точечных зарядов, но и для равномерно заряженных шаров, если за R
брать расстояние между центрами шаров. Закон Кулона выполняется очень
точно как на очень больших, так и на очень малых расстояниях, в том числе на
межатомных расстояниях вплоть до 10
-15
м. Закон Кулона описывает и взаимо-
действие зарядов, движущихся со скоростями, значительно меньшими, чем
скорость света.
4 Электростатическое поле. Напряжённость электрического поля
При исследовании взаимодействия электрических зарядов, естественно
возникают вопросы: почему появляются силы, действующие на заряды, как они
передаются от одного заряда к другому, возникают ли силы только при наличии
двух зарядов, происходят ли какие-либо изменения в окружающем пространстве при наличии только одного заряда?
В процессе развития физики существовали два взаимоисключающих под-
хода к ответу на поставленные вопросы. При одном из них предполагалось, что
телам присуще свойство действовать на другие тела на любых расстояниях, без
участия промежуточных тел и среды, т.е. предполагалось, что силы могут пере-
даваться от одного тела к другому через пустоту и притом мгновенно (теории
дальнодействия). С этой точки зрения при наличии только одного заряда ника-
ких изменений в окружающем пространстве не происходит.
Согласно теории близкодействия, все электрические явления определяют-
ся изменениями полей зарядов, причём эти изменения распространяются в про-
23
странстве последовательно от точки к точке с конечной скоростью. Даже при
наличии только одного заряда в окружающем пространстве происходят определённые изменения.
При рассмотрении движения электрических зарядов теория дальнодей-
ствия оказывается несостоятельной. Поэтому современной теорией взаимодей-
ствия заряженных частиц является теория близкодействия. Выдающийся ан-
глийский физик М.Фарадей первым высказал идею теории близкодействия. Он
предполагал, что взаимодействие зарядов осуществляется через создаваемые
ими в пространстве электрические и магнитные поля. Идеи Фарадея в реальности полей получили развитие в трудах Максвелла.
Рассматривая взаимодействие покоящихся зарядов, приходим к понятию
электрического поля. А при рассмотрении магнитного взаимодействия движу-
щихся зарядов (токов) приходим к понятию магнитного поля. Причём электри-
ческое и магнитное поля могут взаимно превращаться друг в друга, и каждое из
них представляет собой частный случай общего электромагнитного поля. Та-
ким образом, взаимодействие зарядов осуществляется посредством электро-
магнитного поля. При изменении положения зарядов изменения электромаг-
нитного поля (электромагнитная волна) распространяется с конечной скоростью – скоростью света (скоростью распространения электромагнитной волны)
в данной среде.
Электрический заряд изменяет свойства окружающего его пространства,
или, говорят, возбуждает вокруг себя электрическое поле, являющееся особым
видом материи, посредством которого осуществляется взаимодействие между
зарядами на расстоянии. Электрическое поле является физической реальностью
и так же, как материя в виде вещества, обладает энергией, массой, плотностью
и т.д.
Электрическое поле, возбуждаемое неподвижными зарядами, называют
электростатическим. Оно не меняется с течением времени. Помимо электроста-
тического существует переменное (вихревое) электрическое поле, возбуждае-
мое переменным магнитным полем. Многие свойства статического и перемен-
24
ного полей совпадают, хотя между ними имеются существенные различия. Го-
воря о свойствах поля, будем называть его просто электрическим, если данное
свойство в равной мере присуще как статическим, так и переменным полям.
Заряд, помещаемый в электрическое поле с целью обнаружения и иссле-
дования его свойств, не должен вызывать перераспределение зарядов, создаю-
щих это поле. Поэтому его значение должно быть как можно меньше. Такой
очень маленький по значению точечный положительный заряд, вносимый в поле для изучения его свойств, называют пробным зарядом. Пробный заряд не искажает исследуемое поле.
Обнаружение электрического поля осуществляется по силовому воздей-
ствию, которое оно оказывает на помещаемые в него электрические заряды.
Для количественной характеристики электрического поля служит специальная
физическая величина – напряжённость электрического поля (напряжённость
электростатического поля в случае поля, созданного неподвижными зарядами).
Возьмём точечный электрический заряд q и будем вносить в электрическое поле этого заряда точечный пробный заряд qпр. На пробный заряд qпр будет
действовать сила F, различная в разных точках поля, которая, согласно закону
Кулона, будет пропорциональна заряду q
. Поэтому отношение этой силы к
пр
величине пробного заряда F/qпр не зависит от выбора пробного заряда и харак-
теризует электрическое поле в той точке, куда поместили пробный заряд. Эта
величина называется напряжённостью и является силовой характеристикой
электростатического поля.
Итак, напряжённость электростатического поля в данной точке есть векторная физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный
положительный заряд, помещённый в эту точку поля:
Е = F/q.
Из этой формулы следует, что единица напряжённости электростатического поля ньютон на кулон (Н/Кл). 1 Н/Кл напряжённость такого поля, ко-
25
торое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл = 1 В/м, где
пр
q
F
2
R
q
0
41
2
R
q
q
1
3
R
q
0
41
3
R
q
q
+q
Рисунок 2
Е
Е
В (вольт) единица потенциала электростатического поля (см. п.6, с. 40).
Из определения напряжённости электрического поля следует, что если
известна напряжённость поля Е в какой-либо точке пространства, то тем самым
определена и сила F, действующая на произвольный точечный заряд q, помещённый в эту точку:
F = qЕ.
Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на
положительный заряд, помещённый в рассматриваемую точку поля. Если поле
создается положительным зарядом, то вектор Е
направлен вдоль радиус-вектора от заряда во
внешнее пространство (отталкивание пробного по-
ложительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду
(см. рисунок 2).
Если электрическое поле вызвано одним точечным зарядом q, выражение
для напряжённости поля получается непосредственно из закона Кулона путём
деления обеих частей равенства на величину второго (пробного) заряда qпр:
Е =
= k
=
.
Получили, что напряжённость электрического поля точечного заряда
убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда. В векторной
форме выражение для напряжённости поля E точечного заряда q можно получить, если закон Кулона записан в векторной форме:
E =
F = k
R =
R,
26
где R – расстояние от заряда до рассматриваемой точки поля, а
Рисунок 3
Е
Е
R радиус-вектор, направленный от заряда в точку пространства, в
которой определяют напряжённость E.
Векторы E и R направлены вдоль одной прямой. Так, для положительного
заряда q (q 0) вектор E направлен от заряда q; для отрицательного заряда q
(q 0) вектор E направлен к заряду q.
Для описания электрического поля нужно задать вектор напряжённости E в каждой точке поля.
Это можно сделать аналитически, выражая зависи-
мость вектора напряжённости поля от координат в
виде формул. Совокупность этих векторов образует
поле вектора напряжённости электрического поля.
Другой способ описания электрического поля – графический: с помощью линий
напряжённости (силовых линий) воображаемых линий, касательные к кото-
рым в каждой точке совпадают с направлением вектора E (см. рисунок 3). Ли-
ниям напряжённости приписывается направление, совпадающее с направлени-
ем вектора напряжённости. Так как в каждой точке пространства вектор напряжённости имеет вполне определённое направление, то линии напряжённости
нигде не пересекаются. При этом силовую линию можно провести через всякую
точку поля. Силовые линии непрерывны, они начинаются на положительных
зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность.
Распределение линий напряженности можно визуально наблюдать с по-
мощью мелких крупинок диэлектрика (например, крупинок манной крупы,
взвешенных в трансформаторном масле), которые, электризуясь в исследуемом
поле, и взаимодействуя с полем и друг с другом, выстраиваются цепочкой
вдоль силовых линий.
Если во всех точках поля на помещенный в него заряд действует одина-
ковая по величине и направлению сила, т.е. если напряжённость поля Е во всех
точках поля одинакова, то такое поле называют однородным. Однородным
27
является электрическое поле между двумя разноименно за-
Рисунок 5
а)
б)
+q
E = const
q
+ + +
+
Рисунок 4
ряженными плоскими металлическими пластинами вдали
от их краев, если расстояние между пластинами значительно меньше их размеров (см. рисунок 4). В однородном
поле силовые линии параллельны друг другу и отстоят
друг от друга на равных расстояниях. На краю пластин поле уже неоднородно.
Чтобы при помощи силовых линий изображать не только направление, но
и величину напряжённости поля, условились на графиках поля проводить сило-
вые линии с такой густотой, чтобы число силовых линий, проходящих через
единицу поверхности, перпендикулярной к силовым линиям, было пропорционально модулю вектора Е в данном месте.
Линии Е поля точечного заряда представляют собой совокупность ради-
альных прямых, направленных от заряда, ес-
ли он положителен, и к заряду, если он отрицателен (рисунок 5, случаи а) и б), соот-
ветственно). Силовые линии начинаются и
заканчиваются лишь на зарядах либо уходят
в бесконечность.
По картине распределения силовых линий можно судить о конфигурации
данного электрического поля, т.е. о направлении и модуле вектора Е в разных
точках поля. Вследствие большой наглядности графический способ представления электрического поля широко применяется в электротехнике.
Отметим в заключение, что силовые линии перпендикулярны к поверхно-
сти металлических проводников. Это и понятно. Если бы напряжённость поля
была не перпендикулярна к поверхности проводника, то существовала состав-
ляющая поля, направленная вдоль поверхности. Под действием этой составляющей электроны проводимости пришли бы в движение вдоль поверхности проводника, и это движение продолжалось до тех пор, пока оно не прекратится с
исчезновением касательной составляющей напряжённости поля.
28
Опыт показывает, что напряжённость поля системы точечных неподвиж-
3
i
i
R
q
0
41
3
i
i
R
q
ных зарядов равна векторной сумме напряжённостей полей, которые создавал
бы в данной точке каждый из зарядов в отдельности:
E = Ei = k
Ri =
Ri.
Последняя формула выражает принцип суперпозиции (наложения) элек-
трических полей. Результирующую напряжённость Е можно определить путём
сложения векторов по правилу многоугольника. Поскольку вектор E определяется своими компонентами, то поле определяется тремя функциями Ex, Ey, Ez,
зависящими, соответственно, от координат x, y, z. Принцип суперпозиции означает, что электрические поля при наложении не влияют друг на друга.
Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряжённость поля любой
системы зарядов. В случае заряженного тела, размерами которого нельзя пренебречь, это тело мысленно разбивают на сколь угодно малые части с зарядами
qi и определяют напряжённость Ei поля, создаваемого каждым из зарядов qi.
Затем по формуле E = E
определяют результирующую напряжённость, со-
i
здаваемого заряженным макроскопическим телом. В случае непрерывного рас-
пределения зарядов внутри и на поверхности макроскопического тела суммирование заменяют интегрированием по объёму тела.
5 Поле непрерывно распределённых зарядов: плоскости,
шара. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического
поля в вакууме
Если тела нельзя принять за материальные точки, то при расчёте полей,
создаваемых заряженными телами, необходимо знать распределение зарядов
внутри тела. Распределение зарядов характеризуют плотностью электрических
зарядов.
29
Обозначим через q величину электрического заряда, находящегося
V
q
lim
0V
dV
dq
V
q
3
м
Кл
S
q
lim
0S
dS
dq
S
q
2
м
Кл
q
lim
0
d
dq
q
м
Кл
внутри элементарного объёма V заряженного тела. Объёмной плотностью
электрических зарядов в данной точке называют предел отношения:
=
=
; =
=
.
В случае непрерывного равномерного распределения заряда с плотностью
по телу объёмом V, его заряд равен
q = V.
Если заряды распределяются в телах внутри тонкого слоя, прилегающего
к поверхности, вводят понятие поверхностной плотности заряда , которая по
определению равна:
=
=
; =
=
.
Здесь q величина заряда, находящегося на участке поверхности S. В
случае непрерывного равномерно распределенного заряда с плотностью по
поверхности S тела, его заряд равен
q = S.
Если заряды распределяются в тонких линейных проводниках, вводят понятие линейной плотности заряда , которая по определению равна:
=
=
; =
=
.
30
Здесь q величина заряда, находящегося на участке длиной ℓ. В случае
м
В
Рисунок 6
S
n
E
E
n
непрерывного равномерно распределенного заряда с плотностью по длине ℓ
тела, его заряд равен
q = ℓ.
Вычисление напряжённости электрического поля во многих случаях значительно упрощается применением теоремы Остроградского-Гаусса. Эта теорема была выведена М.В. Остроградским для векторного поля любой природы,
а К. Гауссом – применительно к электростатическому полю. Чтобы сформулировать эту теорему, введём понятие потока вектора напряжённости электрического поля.
Рассмотрим в однородном электрическом поле
элементарную плоскую поверхность S и выберем
определенное направление нормали n к ней (рису-
нок 6). Предположим вначале, что поле в пределах
площадки однородное.
Скалярную величину
Ф = ЕnS = EScos = (E,S)
называют потоком вектора напряжённости через площадку S. Здесь через Еn
обозначена проекция вектора Е на направление нормали n, S = Sn вектор,
модуль которого равен S, а направление совпадает с направлением нормали n
к площадке, угол между Е и n. Выбор направления вектора n (а, следовательно, и S) условен, так как его можно направить в любую сторону.
Так как число линий напряжённости (силовых линий) равно модулю вектора Е, то поток вектора Е через данную поверхность равен числу линий
напряжённости, проходящих через эту поверхность. Размерность потока векто-
ра напряжённости электростатического поля Ф = ЕS =
м2 = Вм.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]