Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Выпуск 7. Электростатика. Учебное пособие
.pdf
111
сам. Поскольку напряжённость электростатического поля у поверхности заря-
0
С
1
12
С
1
3
С
1
312
312
СССС
8686
+
С1 С2 С
3
женного проводника равна Е =
, то вблизи малого шарика поле больше, чем
вблизи большого. Этим объясняется явление стекания зарядов с острия, так как
острие можно рассматривать как часть поверхности шара малого радиуса кривизны.
26. Три конденсатора ёмкостью С
= 2 пФ, С2 = 4 пФ и С3 = 8 пФ соедине-
1
ны по схеме, приведённой на рисунке и подключены к
источнику напряжения с ЭДС Е = 1 400 В. Определите
напряжения, заряды и энергии каждого конденсатора.
Определите электроёмкость системы.
Дано: С1 = 210
12
Ф; С2 = 410
12
Ф; С3 = 810
12
Ф; Е = 1 400 В.
С -? U1 ? U2 ? U3 ? q1 ? q2 ? q3 ? W1 ? W2 ? W3 ?
Решение. Напряжение U, поданное на схему, равно ЭДС источника, т.е.
U = E = 1 400 В. Конденсаторы С1 и С2 соединены параллельно, их эквивалент-
ная ёмкость С
равна:
12
С12 = С1 + С2 = 2 + 4 = 6 пФ = 610
12
Ф.
Согласно формуле последовательного соединения конденсаторов определим электроёмкость С системы:
=
+
С =
=
= 3,43 пФ = 3,4310
12
Ф.
Заряд, ушедший из источника в систему конденсаторов, определим по
формуле:
q = CU = 3,4310
12
1400 = 4,8109 Кл.
112
Учитывая, что при последовательном соединении конденсаторов q = q12 =
12
12
C
q
12
C
q
12
9
106
108,4
3
3
C
q
3
C
q
12
9
108
108,4
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
q3, определим напряжения на конденсаторах:
U1 = U2 = U12 =
U3 =
=
=
=
=
= 600 В.
= 800 В;
Теперь определим заряды конденсаторов:
q1 = C1U1 = 210
q2 = C2U2 = 410
q3 = C3U3 = 810
12
800 = 1,6109 Кл = 1,6 нКл.
12
800 = 3,2109 Кл = 3,2 нКл.
12
600 = 4,8109 Кл = 4,8 нКл.
Рассчитаем энергию электрического поля в каждом конденсаторе:
W1 =
W2 =
W3 =
C1U
C2U
C3U
2
=
1
2
=
2
2
=
3
210
410
810
12
8002 = 0,64 106 Дж = 0,64 мкДж;
12
8002 = 1,28106 Дж = 1,28 мкДж;
12
6002 = 1,44106 Дж = 1,44 мкДж.
27. Четыре конденсатора С1 = 3 пФ, С2 = 7 пФ, С3 = 6 пФ и С4 = 4 пФ соединены по схеме, приведённой на рисунке, и подключены к источнику напряжения с ЭДС Е = 1 000 В. Определите показания вольтметра, подключённого
между точками А и В схемы.
Дано: С
= 3 пФ; С2 = 7 пФ; С3 = 6 пФ; С4 = 4 пФ; Е = 1 000 В.
1
UV ?
113
Решение. Напряжение U, поданное на схему (между точками 1 и 2), равно
2112
С
1
С
1
С
1
21
21
СССС
21
21
СССС
1
1
C
q
1
12
C
q
1
C
1
21
21
СССС
21
2
ССС
Е
А В 1
2
С
2
С
1
С
3
С
4
+
V
ЭДС источника, т.е.
U = U12 = E = 1 000 В.
Рассмотрим участок цепи, со-
стоящий из последовательно соеди-
ненных конденсаторов С
и С
1
, к ко-
2
торому приложено напряжение U12 =
U. При последовательном соедине-
нии конденсаторов заряды их одина-
ковы и равны заряду системы из С
и С2:
1
q1 = q2 = q12.
Электроёмкость С
саторов С
и С2 найдём из известного соотношения для ёмкости батареи кон-
1
цепи из двух последовательно соединённых конден-
12
денсаторов при последовательном соединении:
, С12 =
.
Теперь найдём заряд, ушедший из источника в систему из конденсаторов
С
и С2:
1
q12 = C12U12 = C12U =
Определим напряжение U1 на конденсаторе С1:
U1 =
=
=
U =
U.
U.
114
Повторяя приведённые выше рассуждения для цепи, состоящей из после-
43
4
ССС
43
4
ССС
21
2
ССС
21
2
4
СС
С
СС
С
73
7
46
4
21
2
4
СС
С
СС
С
довательно соединённых конденсаторов С
конденсаторе С
:
3
U3 =
и С
3
, можно найти напряжение на
4
U.
Напряжение U3 есть разность потенциалов 1 В (см. рисунок):
U3 = 1 В,
и, соответственно,
U1 = 1 А.
Вычитая почленно два последних уравнения, имеем:
U3 U1 = А В.
Но (А В) – есть разность потенциалов (напряжение) между точками А
и В и будет равно показанию вольтметра, подключённого между этими точками:
UV = UAB = А В = U3 U1 =
=U
= 1 000
U
U =
= 300 В.
Знак указывает на то, что А В 0, т.е. А В.
Теперь исследуем случай, когда показание вольтметра будет нулевое, т.е.
когда
UV = А В = U
Поскольку U 0, то должно быть:
= 0.
115
43
4
ССС
21
2
ССС
43
4
ССС
21
2
ССС
1
С
С
1
1
С
С
1
2
1
4
3
2
1
4
3
С
С
С
С
4
2
3
1
С
С
С
С
4
2
3
1
С
С
С
С
2
1
4
3
С
С
С
С
= 0, т.е.
=
.
Последнее равенство выполняется при выполнении условия:
.
Эту пропорцию можно привести к виду
.
, или
Таким образом, при выполнении следующих соотношений между ёмко-
стями приведённой схемы:
, или
,
будет А В = 0, т.е. А = В.
В этом случае:
- показания вольтметра, подключённого между точками А и В будут нулевыми, т.е. UV = А В = 0;
- подключение между точками А и В приведённой схемы конденсатора
любой ёмкости (также любого резистора) или наличие между этими точками
разрыва или перемычки (шунта) никак не повлияет на распределение зарядов и
напряжений на конденсаторах С1, С2, С
и С4;
3
- полученные результаты можно использовать при расчёте подобных
схем.
116
28. Плоский конденсатор имеет ёмкость С. На одну из пластин конденса-
d
S0
S
q4
S
q
0
1
2
S2
q4
0
0
2
2
S2
q
0
S2
q4
0
S2
q
0
S2
q3
0
E
1
1
2
E1 E
1
E2 E2 E
2
тора поместили заряд +q, на другую – заряд +4q. Определите разность потенциалов между платинами конденсатора.
Дано: С; +q; +4q.
U ?
Решение. Ёмкость плоского конденсатора
равна:
С =
,
где S – площадь обкладки;
d – расстояние между обкладками.
Поверхностные плотности зарядов на обкладках равны:
1 =
и 2 =
.
И напряжённости электростатических полей, создаваемых обкладками конденсатора равны:
Е
1
=
=
; и Е
2
=
=
.
Напряжённость электростатического поля в некоторой точке внутри кон-
денсатора согласно принципу суперпозиции определяется выражением
Е = Е
Е2 =
1
=
.
Разность потенциалов между обкладками плоского конденсатора с учётом выражения для его ёмкости равна:
117
U = Ed =
S2
q3
0
2
q3
S
d
0
C2
q3
x
S0
xd
S
0
С
1
1
С
1
2
С
1
S
х
0
S
хd
0
S
d
0
d
S
0
x
d-ℓ-x
ℓ
d
d =
=
.
29. В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S и рассто-
янием между ними d вставлена параллельно обкладкам металлическая пластина
(см. рисунок), размеры которой равны размерам обкладок. Определите ёмкость
получившегося конденсатора после внесения
пластины, если толщина пластины ℓ.
Дано: S; d; ℓ.
С ?
Решение. Введение проводящей пластины между обкладками конденса-
тора приводит к образованию двух последовательно включённых конденсаторов с расстояниями между обкладками х и (d ℓ х) и ёмкостями:
С
1
=
и С2 =
,
где х – расстояние между пластиной и одной из обкладок конденсатора.
Общую ёмкость двух последовательно включённых конденсаторов нахо-
дим из соотношения:
=
+
=
+
=
.
Отсюда
С =
.
118
Таким образом, ёмкость С не зависит от положения вносимой металлической
d
S0
x
S0
xd
S
0
S
0
С
1
1
С
1
2
С
1
3
С
1
d
S
1
0
пластины и при ℓ 0 (очень тонкая пластина) ёмкость С0 =
равна перво-
начальной ёмкости воздушного конденсатора.
30. В плоский воздушный конденсатор с расстоянием d между обкладка-
ми вводится диэлектрическая пластина толщиной ℓ d. Определите ёмкость
конденсатора с диэлектрической пластиной, если известна площадь пластин
конденсатора S. Диэлектрическая проницаемость материала пластины .
Дано: S; d; ℓ; .
С ?
Решение. В предыдущей задаче было показано, что внесение тонкой про-
водящей пластины в пространство между обкладками не изменяет ёмкость кон-
денсатора. Поэтому в нашем случае можно считать, что на поверхности диэлек-
трической пластины как бы нанесены тонкие проводящие слои. В этом случае
образуются три конденсатора с ёмкостями:
С
=
1
, С
2
=
и С3 =
,
соединённые последовательно. Как видно из рисунка к предыдущей задаче, в
нашем случае расстояния между обкладками воздушных конденсаторов равны
х и (d ℓ х). Общую ёмкость батареи трёх последовательно включённых конденсаторов находим из соотношения:
=
+
+
=
.
Следовательно:
119
С =
d
S
0
d
U
m
F
m
eE
md
eU
.
31. Электрон влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам со
скоростью v
= 2107 м/с. Расстояние между пластинами d = 10 мм, длина пла-
0
стин ℓ = 5 см. На электроды конденсатора подано постоянное напряжение U =
50 В. На какое расстояние сместится электрон от первоначального направления
к положительно заряженной пластине в момент его вылета из конденсатора?
Какова будет скорость электрона в этот момент? Элементарный заряд е =
1,610
19
Кл. Масса электрона m = 9,110
31
кг.
Дано: v0 = 2107 м/с; е = 1,610
g = 9,8 м/с
2
; U = 50 В; ℓ = 5102 м.
19
Кл; m = 9,110
31
кг; d = 102 м;
v ? у ?
Решение. Считая поле между электродами однородным, найдём его
напряжённость:
Е =
.
На электрон, влетевший в электрическое поле конденсатора, со стороны поля
действует сила:
F = eE (см. рисунок).
Векторы F и E антипараллельны, так как электрон отрицательно заряженная
частица. Сила F сообщает электрону ускорение:
а =
=
=
.
Уравнения движения электрона имеют вид:
120
по оси 0х: х = v0t;
2
at
2
md
eU
2
t
2
md
eU
2
t
2
0
md2
eU
2
0
v
231
19
10101,92
50106,1
2
7
2
102
105
2
t
md
eU
2
md
eUt
E
d
y
+
x
v
ℓ
y
0
+
+
E
E
v
0
v
y0 Fэ
по оси 0у: у =
=
.
Согласно принципу суперпозиции движение электрона внутри конденса-
тора складывается из двух одновременно и независимо друг от друга происхо-
дящих перемещений: равномерного движения по оси 0х и равноускоренного
движения без начальной скорости по оси 0у. Из кинематики нам известно, что
траектория такого движения представляет собой параболу, т.е. внутри конденсатора траектория движения электрона – парабола.
Определим время движения t
электрона внутри конденсатора на основа-
0
нии уравнения движения
вдоль оси 0х (х = v0t), за-
писанной для момента
вылета электрона из конденсатора: ℓ = v0t0, откуда
находим t0 = ℓ/v0.
Подставляя выраже-
ние для времени движения электрона в конденсаторе t
в формулу для коорди-
0
наты у, получим значение смещения у электрона в момент его вылета из конденсатора:
у =
=
=
= 0,00275 м = 2,75 мм.
Зная уравнение движения y(t), определим составляющую скорости дви-
жения электрона по оси 0у:
vy(t) = y(t) =
=
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]