Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Выпуск 7. Электростатика. Учебное пособие
.pdf
101
W = neU = 101,610
19
15
106,1
106,1
p
m
W2
p
m
neU2
27
319
1067,1
10106,1102
с
м
min
я
r
q
min
я
r
q
min
r
Ze
min
2
r
Ze
nU
kZe
3
199
1010
106,15109
-19
103 = 1,610
-15
Дж =
эВ = 10103 эВ = 10 кэВ.
v =
=
=
= 1,38106
.
Расчёт минимального расстояния, на которое протон может приблизиться
из бесконечности к ядру атома бора, произведём для двух приближений (для
двух случаев).
1) Ядро атома бора неподвижно.
При приближении протона к ядру бора его кинетическая энергия расходуется на совершение работы по преодолению сил электрического отталкива-
ния со стороны поля ядра бора, равной произведению заряда протона на потенциал точки этого поля, которой достигает протон:
А
= qpя,
я
где
я = k
.
В точке максимального сближения вся кинетическая энергия протона бу-
дет затрачена на работу, совершаемую протоном при его перемещении в поле
ядра: А
= W W0 = W, так как начальное значение энергии W0 = 0. С учётом,
я
что W = А, имеем:
nqpU = neU = qpk
= еk
= k
,
откуда находим
r1 = r
min
=
=
= 7,210
13
м.
102
2) Ядро атома бора первоначально находится в покое. Так как протон и
яp
p
mmm
яp
p
mmm
p
m
neU2
яp
p
mm
neUm2
min
я
r
q
min
2
r
Ze
2
umm
2
яp
2
mmяp
2
яp
p
mm
neUm2
яp
p
mm
neUm
min
2
r
Ze
яp
p
mm
neUm
яp
p
mm
m
1nU
kZe
nU
kZe
я
p
m
m
1
я
p
m
m
1
ядро имеют одноимённые (положительные) заряды, то по мере их сближения
всё возрастающая сила кулоновского отталкивания приводит в движение ядро.
В момент максимального их сближения ядро (вместе с протоном) приобретает
скорость u, определяемую из закона сохранения импульса:
mpv = (mp + mя)u,
откуда находим
u =
v =
=
.
В момент максимального сближения частиц кинетическая энергия протона W = neU будет затрачена на преодоление сил электрического отталкивания
со стороны поля ядра бора, равной
Ая = qpя = qpk
= k
,
и на сообщение кинетической энергии системе «протон + ядро»:
Wря =
=
=
,
т.е.
откуда находим
r2 = r
min
=
W = neU = k
=
+
= r
,
1
=
103
= 7,210
27
27
1066,18,10
1067,1
1
nU
kZe
1
12
r
rr
1
2
r
r
я
p
m
m
я
p
m
m
27
27
1066,18,10
1067,1
13
м
= 7,8810
13
м.
При расчёте учли, что множитель
ное расстояние r1, рассчитанное в предыдущем случае (было r1 = 7,210
Вычисление r
во втором случае выполнено с позиций более верных фи-
min
представляет собой минималь-
13
м).
зических предпосылок. Сделаем расчёт расхождения минимальных расстояний
r1 и r2, вычисленных в этих двух случаях:
=
=
1 = 1 +
1 =
=
= 0,093,
или в процентах, = 0,093100% = 9,3 %.
21. Точечный заряд q = 1 мкКл находится вблизи равномерно заряженной
пластины против ее середины. Вычислите поверхностную плотность заряда
пластины, если на точечный заряд действует сила F = 0,06 Н.
Дано: q = 106 Кл; F = 0,06 Н; = 1; 0 = 8,8510
12
Ф/м.
?
Решение. Величина силы, действующей на заряд в электрическом поле,
определяется по формуле:
F = qE,
где Е – напряжённость поля в той точке, в которой находится заряд q.
Определим модуль напряжённости поля Е. Поле данной пластины можно рас-
сматривать как поле, созданное заряженной бесконечной плоскостью. Оно однородно и Е в любой точке поля равна
104
0
2
0
2
q
F20
6
12
10
1085,8106,02
0
41
x
q
2
0
41
0
2
q
где поверхностная плотность заряда;
0 электрическая постоянная;
диэлектрическая проницаемость среды (для вакуума = 1).
С учётом этого имеем:
Е =
,
F = qE = q
=
.
Подставив значения в последнюю формулу и выполнив вычисления,
найдём:
=
= 1,06106 Кл/м2 = 1,06 мкКл/м2.
22. К концам непроводящей пружины, коэффициент упругости которой
k = 104 Н/м, присоединены два металлических шарика. Пружина лежит на
гладком горизонтальном столе и имеет в недеформированном состоянии длину
ℓ
= 10 м. Определите минимальное расстояние между шариками, если шарикам
0
сообщаются заряды q
= 5 нКл и q2 = 10 нКл.
1
Дано: k = 104 Н/м; ℓ0 = 10 м; q1 = 5109 Кл; q2 = 10109 Кл.
x
min
?
Решение. При сближении шариков рассмотрим движение первого шарика
в поле второго шарика из точки с потенциалом 1 =
в точку 2 =
.
Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении
заряда q
равна
1
105
А =
0
41
0
22
q
x
q
x4
xqq
00
021
2
xk
2
0
x4
xqq
00
021
2
xk
2
0
0
41
2
2
21
x
qq
q
1
=
.
При этом пружина сжимается на расстояние ℓ
х, приобретая энергию
0
W =
.
Если х – минимальное расстояние между шариками, то скорость шариков
должна быть равна нулю, и работа сил поля равна энергии сжатой пружины. В
этом случае
=
.
Решая это квадратное уравнение, находим х
= 102 м и х2 = 9102 м. При х2 =
1
9102 м действующая на шарики результирующая сила равна
F = k(ℓ
х2)
0
= 5,5105 Н.
Она направлена, как упругая сила пружины, поэтому при х
= 9102 м шарики
2
будут отталкиваться. Следовательно, минимальное расстояние между шариками будет равно x
= х2 = 9102 м.
min
23. Какая работа совершается при перенесении точечного заряда q0 =
7 нКл из точки, находящейся на расстоянии ℓ = 0,9 м от поверхности шара ра-
диуса R = 0,1 м, в точку, расположенную на расстоянии r = 2 м от центра шара?
Поверхностная плотность заряда на поверхности шара = 30 мкКл/м
2
. Элек-
трическая постоянная 0 = 8,8510
12
Ф/м.
106
Дано: q0 = 7109 Кл; ℓ = 0,9 м; R = 0,1 м; r = 2 м; = 3105 Кл/м2.
r4
q
0
А0
r4q
R4
R4
0
2
R
R
0
2
В0
r4q
r4
R4
0
2
r
R
0
2
А
В r ℓ
R
А ?
Решение. Так как заряд q0 перемещается в неоднородном электрическом
поле заряда шара, то удобно для вычисления работы по перемещению этого заряда воспользоваться формулой:
А = q0(1 2),
где 1 и 2 соответственно потенциалы точек А
и В электрического поля заряженного шара (см. рисунок).
Потенциал любой точки поля заряженного шара равен
где q – заряд шара;
r – расстояние от центра шара до той точки, в которой определяется
потенциал.
Расстояние от центра шара до точек А и В, соответственно, равны r
R +ℓ, r
= r. Зная поверхностную плотность заряда шара и его радиус R, легко
В
найти заряд шара:
Тогда
=
,
q = S = 4R2, так как S = 4R2.
=
А
А =
=
=
,
В =
=
=
.
107
Подставляя полученные выражения потенциалов в формулу работы, по-
R
R
0
2
r
R
0
2
r
1
R
1
Rq
0
2
0
2
1
9,01,0
1
1085,81
1031,0107
12
529
лучаем:
А = q0(А В) = q
(
0
) =
.
Подстановка численных значений даёт:
А =
= 120106 Дж = 120 мкДж.
Анализ ответа показывает, что работа, совершаемая силами электрическо-
го поля по перемещению точечного заряда, является положительной величиной. Это очевидно из расчётной формулы. Так как заряд q0 положителен, по-
тенциал А В, а следовательно, разность потенциалов (А В) 0, то А 0.
24. Две металлические концентрические сферы, расположенные в воздухе
(=1), имеют радиусы 0,2 и 0,4 м. На внутренней сфере находится заряд 3 нКл,
а на внешней сфере заряд 9 нКл. Найдите напряжённость и потенциал поля в
точках А, В и С, расположенных на расстоянии 10, 30 и 60 см от центра сфер.
Дано: q1 = 3109 Кл; q2 = 9109 Кл; R1 = 0,2 м; R2 = 0,4 м;
k = 9109 Н/(м2Кл2); r1 = 0,1 м; r2 = 0,3 м; r3 = 0,6 м; = 1.
ЕА ?; ЕВ ?; ЕС ?; А ?; В ?; С ?
Решение. Для решения задачи воспользуемся тем, что заряд, распреде-
лённый по поверхности сферы, создаёт вне сферы поле, подобное полю точечного заряда, расположенного в центре сферы (см. рисунок).
В точке С, расположенной вне сфер, заряд q
жённость и потенциал:
малой сферы создаёт напря-
1
108
Е
2
3
1
r
q
3
1
r
q
2
3
2
r
q
3
2
r
q
2
3
2
r
q
2
3
1
r
q
2
3
r
k
3
2
r
q
3
1
r
q
3
r
k
2
3
r
k
2
9
6,0
109
3
r
k
6,0
1099
0
R
1
А x B
R
2
C
r
1
r
r
2
EA E
1B E2C
E
1C
1С
= k
, 1С = k
.
Заряд q
большой сферы создаёт в той же точке напряжённость и потенциал:
2
Е
= k
2С
2С = k
На основании принципа суперпозиции полей напряжённость и потенциал
в точке С, вне сфер:
,
.
Е
= Е1С + Е2С, С = 1С + 2С,
С
или в проекции векторов напряжённости на направление оси 0х:
Е
= Е2С Е1С = k
С
С = 2С + 1С = k
k
+ k
=
=
(q2 |q1|),
(q2 + q1).
Подставляя численные значения, получаем:
Е
С
=
(q2 |q1|) =
(910-9 310-9) = 150 В/м.
С =
(q2 + q1) =
(910-9 310-9) = 90 В.
109
Внутри большой сферы заряд q
2
2
R
q
2
2
1
r
q
2
1
r
q
2
2
1
r
q
2
2
R
q
2
1
r
q
2
1
2
2
r
q
R
q
2
2
1
r
q
2
9
3,0
103
2
1
2
2
r
q
R
q
3,0
103
4,0
109
99
1
1
R
q
2
2
R
q
создаёт напряжённость поля Е2В = 0, и
2
потенциал поля этого заряда будет одинаков для всех точек и равен:
Заряд q
2В = k
создаёт в этих же точках напряжённость и потенциал:
1
Е
1В
= k
, 1В = k
.
.
Поэтому в пространстве между сферами результирующая напряжённость и потенциал (для точки В) равны:
Е
= Е2В Е1В = k
В
,
В = 2В + 1В = k
Подставляя численные данные, получаем:
Е
= k
В
В = k
Соответственно внутри малой сферы (точка А) напряжённости полей
обоих зарядов Е
+ k
= 910
9
= 910
= Е2А = ЕА = 0, а потенциалы постоянны и равны:
1А
= k
= 300 В/м.
9
.
= 112,5 В.
1А = k
, 2А = k
.
Поэтому
110
Е
1
1
R
q
2
2
R
q
2
2
1
1
R
q
R
q
4,0
109
2,0
103
99
1
1
R
q
2
2
R
q
1
1
R
q
2
2
R
q
1
2
2
1
R
R
= 0, А = 1А + 2А = k
А
+ k
= k
.
А = 910
9
= 67,5 В.
25. Определить зависимость величины напряжённости электростатиче-
ского поля от кривизны поверхности проводника.
Решение. Как указывалось ранее, заряды в проводнике произвольной
формы распределяются по его поверхности, причём из-за взаимного отталкива-
ния они стремятся расположиться как можно дальше друг от друга, поэтому
поверхностная плотность зарядов на выступах окажется больше, чем на впади-
нах. В результате вблизи выступов поверхности проводника линии напряжённости будут располагаться гуще.
Рассмотрим два шарика с радиусами R
и R
1
. Шары несут на себе элек-
2
трические заряды q1 и q2 и соединены между собой тонким проводником. По-
тенциал каждого шара в первом приближении можно определить по формулам
для уединённых шаров:
1 = k
, 2 = k
.
При равновесии зарядов потенциалы шаров равны друг другу:
1 =
2
или
=
.
Заряды шаров распределяются по поверхностям с поверхностными плот-
ностями 1 и 2:
q1 = 4R
2
1, q2 = 4R
1
2
2
2.
Таким образом, поверхностные плотности зарядов двух шаров, соединённых
между собой, (
= 2R2 или
1R1
) обратно пропорциональны их радиу-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]