Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика. Выпуск 7. Электростатика. Учебное пособие
.pdf
41
лы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов
оказывается обычно гораздо проще, чем вычисление напряжённостей электрического поля.
Из определения потенциала следует, что если в данной точке пространства известен потенциал , то потенциальная энергия W произвольного заряда
q в этой точке равна:
W = q.
Следовательно, работа, совершаемая силами электростатического поля
при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, может быть выражена через
разность потенциалов:
А
12
= W
W2 = q(1 2) = qU12,
1
где величину U12, равную разности потенциалов 1 2, в электростатике
часто называют напряжением между точками 1 и 2.
Таким образом, работа, совершаемая силами поля над зарядом, равна произведению величины перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и
конечной точках. Из сказанного следует, что физический смысл имеет только
разность потенциалов или напряжение между двумя точками поля, так как ра-
бота определена только тогда, когда заданы две точки – начало и конец пути.
Несмотря на это часто говорят просто о потенциале в данной точке, но всегда
имеют в виду, разность потенциалов, подразумевая, что одна из точек выбрана
заранее. Такую постоянную точку часто выбирают в «бесконечности», т.е. на
достаточном удалении от всех заряженных тел, где потенциал условно принимают равным нулю.
Если заряд q удаляется из точки с потенциалом в бесконечность, работа
сил поля будет равна:
А
= q .
42
Отсюда следует, что = А /q, т.е. потенциал численно равен работе, которую
совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении
его из данной точки в бесконечность. Эта работа численно равна работе, со-
вершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по пере-
мещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку
поля.
В атомной и ядерной физике широко используют внесистемную энергетическую единицу – электронвольт (эВ). Это такая энергия, которую приобре-
тает частица с зарядом, равным элементарному заряду е = 1,610
-19
Кл, при про-
хождении им ускоряющей разности потенциалов в 1 В:
1 эВ = 1,610
19
Кл1 В = 1,610
-19
Дж.
В электронвольтах обычно выражают энергию различных элементарных частиц
(электронов, протонов и др.). При этом применяют также более крупные единицы:
1 кэВ (килоэлектронвольт) = 10
1 МэВ (мегаэлектронвольт) = 10
1 ГэВ (гигаэлектронвольт) = 10
3
эВ,
6
эВ,
9
эВ.
7 Связь между напряжённостью электрического поля и раз-
ностью потенциалов. Понятие об эквипотенциальных поверхностях
Если известно распределение потенциала, т.е. его значение в каждой точке поля, то можно найти и напряжённость этого поля в каждой точке.
Допустим, что в пространстве существует электрическое поле системы
неподвижных зарядов. В общем случае направление и величина вектора напряжённости Е изменяется от точки к точке. Возьмём точки 1 и 2, находящиеся в
электрическом поле настолько близко друг к другу, что на этом участке про-
странства поле можно считать однородным с напряжённостью Е. Пред-
43
положим, что в этом однородном поле перемещаем еди-
E
Рисунок 14
E
ℓ
E
ℓ
1
2
ничный положительный заряд (q = +1) из точки 1 в точку
2 вдоль прямолинейного отрезка ℓ, причём угол между
векторами ℓ и Е положим равным (см. рисунок 14).
При этом работу А
при перемещении единичного по-
12
ложительного заряда можно выразить как через напряжённость поля (так как сила F, действующая в электро-
статическом поле на единичный положительный заряд, равна напряжённости
поля Е):
А = Еℓℓ,
где Е
проекция вектора Е на направление перемещения ℓ, так и через
ℓ
разность потенциалов:
А
= q(1 2) = 1 2.
12
Приравнивая оба выражения для работы:
А
= q(1 2) = qU
12
= qЕℓℓ),
12
получаем уравнение, связывающее напряжённость поля и разность потенциалов:
Е
ℓ = 1 2.
ℓ
В последнем соотношении разность потенциалов поменяем на приращение потенциала, т.е. на = 2 1 = (1
), и получаем для напряжённости элек-
2
трического поля выражение:
.
В общем случае неоднородного поля обе точки 1 и 2 нужно выбирать до-
статочно близко друг от друга, строго говоря, бесконечно близко, чтобы счи-
44
тать напряжённость поля на отрезке ℓ постоянной. Переходя к пределу при
0
limE
d
d
м
В
21
E
12
U
d
U
E
1
d
+
Рисунок 15
2
+
+
ℓ0, получим:
=
.
Производная, стоящая в правой части равенства, выражает быстроту из-
менения потенциала в данном направлении. Из этого равенства мы заключаем,
что быстрота изменения потенциала в данном направлении равна проекции
вектора напряжённости Е на это направление с обратным знаком. Знак
означает, что вектор Е направлен в сторону убывания потенциала . Данное равенство устанавливает связь между напряжённостью электростатического поля
(являющейся его силовой характеристикой) и потенциалом энергетической
характеристикой поля.
Из полученных уравнений следует, что единицей напряжённости электрического поля в СИ является:
Е =
=
.
Теперь, используя понятие напряжения, можем переписать уравнение,
связывающее напряжённость поля и разность потенциалов:
=
.
Если электростатическое поле является однородным, то
есть во всех его точках E = const (например, поле между пластинами плоского конденсатора, расстояние между пластинами
равно d, и разность потенциалов между пластинами равно 1
2 = U; см. рисунок 15), то
Е =
.
45
Получили, что напряжённость однородного электростатического поля
численно равна разности потенциалов, приходящейся на единичное расстояние,
взятое вдоль линии напряжённости этого поля.
Преимущество использования потенциала для описания электрического
поля заключается в том, что
- рассчитать распределение потенциала в пространстве значительно легче,
чем распределение вектора напряжённости;
- зная значения потенциала в двух точках по формуле А12 = q(1 2)
можно найти работу перемещения заряда между этими точками;
- зная распределение потенциала в пространстве, можно легко рассчитать
напряжённость поля в любой точке пространства;
- есть простые в исполнении приборы для измерения разности потенциа-
лов (напряжения).
Как и напряжённость, потенциал в каждой точке пространства можно за-
давать как аналитически в виде его зависимости от пространственных координат (x, y, z), так и графически. Для графического изображения распределе-
ния потенциала электростатического поля используют поверхности равного по-
тенциала или эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальная поверх-
ность есть такая поверхность, на которой потенциал остаётся постоянным. Он
может меняться только при переходе от одной эквипотенциальной поверхности
к другой. Пользуясь эквипотенциальными поверхностями, можно изображать
электрические поля графически, подобно тому, как это делают с помощью си-
ловых линий. Пересекаясь с плоскостью чертежа, эквипотенциальные поверх-
ности дают эквипотенциальные линии. Прочерчивая эквипотенциальные ли-
нии, соответствующие различным значениям потенциала, мы получаем наглядное представление о том, как изменяется потенциал в данном поле.
Силовые линии всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхно-
стям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одина-
ковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверх-
46
ности равна нулю, т.е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда
Рисунок 16
направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно,
вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.
Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно
проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними
эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипо-
тенциальных поверхностей наглядно характеризует напряжённость поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряжённость поля
больше.
Таким образом, зная расположение линий напряжённости электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот,
по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно всегда
построить силовые линии данного поля. Поэтому любое электрическое поле
можно графически изобразить при помощи эквипотенциальных поверхностей
так же хорошо, как и при помощи силовых линий. На рисунке 16 для примера
показан вид линий напряжённости (сплошные линии) и эквипотенциальных по-
верхностей (пунктирные линии) поля двух разноимённо заряженных металлических шаров.
Эквипотенциальные по-
верхности точечного заряда
представляют собой концентри-
ческие сферы, в центре которых
расположен заряд. Эквипотенци-
альные поверхности однородного
электрического поля, например, в
пространстве между обкладками плоского конденсатора, представляют собой
плоскости, параллельные обкладками (если не учитывать искажение однородности поля на краю пластин).
47
Так как обычно эквипотенциальные поверхности (линии) прочерчивают
21
R
=
r
q
4
1
0
, (r R)
r
0
0
Рисунок 17
0=
R
q
4
1
0
так, чтобы они соответствовали одинаковым приращениям потенциала, то
быстрота изменения потенциала в направлении силовых линий будет обратно
пропорциональна расстоянию между соседними эквипотенциальными поверх-
ностями (Е
ℓ
=
). Это означает, что густота эквипотенциальных поверх-
ностей пропорциональна напряжённости поля, т.е. где эквипотенциальные поверхности расположены гуще, там и напряжённость поля больше.
После изучения рисунка 16, где нарисованы силовые линии и эквипотен-
циальные линии для простейшего случая распределения зарядов, создающих
поле, можно заключить, что, зная расположение эквипотенциальных поверхностей, можно построить силовые линии и наоборот.
Заряды в проводнике находятся в равновесии, если в нём нет электрического поля, то есть напряжённость поля Е внутри проводника в любой его точке равна нулю. Равенство Е = 0 возможно только тогда, когда все точки про-
водника имеют одинаковый потенциал. Таким образом, в отсутствие электри-
ческого тока (в электростатике!) поверхность заряженного проводника пред-
ставляет собой одну из эквипотенциальных поверхностей, и вектор напряжён-
ности электрического поля направлен нормально к его поверхности. Поэтому,
например, для равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R,
несущей положительный заряд (q 0, следовательно, 0), распределение по-
тенциала (r) имеет вид (см. рисунок 17).
Некоторые справочные данные.
После снятия синтетического белья или
при шаркании по ворсистому ковру мы
можем приобрести потенциал до 20 кВ.
После этого, касаясь, например, руки со-
беседника или секций отопительной ба-
тареи, мы замечаем появление искры
при разряде и ощущаем заметный «укол». Несмотря на такую большую раз-
48
ность потенциалов (напряжение), никаких трагических последствий при разря-
см
кВ
см
кВ
Рисунок 18
ℓ
р
+q
q
де мы не испытываем потому, что энергия, выделяющаяся при разряде бывает
менее 1 мДж.
В сухом воздухе при нормальных условиях пробой (проскакивание искры) наступает при напряжённости E 30 кВ/см.
При грозе разность потенциалов между облаком и Землей (или другим
облаком) достигает нескольких сот миллионов Вольт.
Вблизи высоковольтной линии электропередачи напряжённость поля до-
стигает до 10
лов между конечностями может достичь 15 кВ, что уже представляет значи-
тельную угрозу жизни. Поэтому небезопасно находиться близко к высоковоль-
тным линиям электропередач, особенно, в сырую погоду. В сырую погоду
напряжённость, при которой наступает пробой, уменьшается с 30
сколько раз.
. Таким образом, при росте человека 1,5 м разность потенциа-
в не-
8 Поле диполя. Диполь в электрическом поле
Электрический диполь – система, состоящая из двух рав-
ных по модулю разноимённых точечных зарядов +q и q, жёстко связанных между собой и смещённых на расстояние ℓ друг
от друга. Смещение зарядов характеризуют плечом диполя ℓ вектором,
направленным от отрицательного заряда к положительному (см. рисунок 18).
Вектор p = qℓ, совпадающий по направлению с плечом диполя ℓ, называют
электрическим моментом диполя или дипольным моментом. Единица измере-
ния дипольного момента: p = qℓ = Клм, т.е. кулон, умноженный на метр.
тельно меньше расстояния R до рассматриваемых точек поля, т.е. при ℓ R,
по определению.
Расчет поля диполя проводят для случаев, когда плечо диполя ℓ значи-
49
Согласно принципу суперпозиции напряжённость Е поля диполя равна:
0
41
22
2
R
q
2
R
q
0
41
22
2
R
2
R
qR2
0
41
4
R
qR2
0
41
3
R
q2
3
0
R4p2
2
0
41
2
2
2
R
q
Рисунок 19
ℓ
р
+q
q
R
ℓ/2
ℓ/2
A
E
E
E
Рисунок 20
+q
q
R
ℓ/2
ℓ/2
В
E
E
E
0
р = qℓ
Е = Е+ + Е
, где Е
и Е напряженности полей, создаваемых, соответственно,
+
положительным и отрицательным зарядами в данной точке пространства. Используя принцип суперпозиции, рассчитаем напряжённость поля на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.
Напряжённость поля на продолжении оси диполя. Если точка А располо-
жена на оси диполя, то векторы Е
и Е направлены также вдоль этой оси, но
+
только во взаимно противоположные стороны. Как видно из рисунка
19, напряжённость поля диполя в
точке А направлена по оси диполя и
по модулю равна:
Е = Е
где при выводе учтено, что
Е =
+
=
R и, что
=
=
p = qℓ.
Напряжённость поля на перпендикуляре,
восстановленном к оси диполя из его середины.
Точка В (см. рисунок 20) равноудалена от зарядов, поэтому
Е
= Е =
+
.
,
Из рисунка 20 видно, что
Е = Е+ + Е= 2Е+cos =
50
= 2Е+
2/1
2
2
2
R2
0
41
2/3
2
2
2
R
q
0
41
2/3
2
2
2
R
р
0
41
3
R
р
Рисунок 21
ℓ
р
+q
q
F
E
F
=
=
.
причём вектор Е = Е+ + Е параллелен дипольному моменту p и направлен в
противоположную сторону. С учётом того, что ℓ
2
R2, получаем, что в точке В
Е
.
Таким образом, получили, что напряженность поля диполя уменьшается
обратно пропорционально кубу расстояния (для точечного заряда напряжён-
ность поля обратно пропорциональна квадрату расстояния).
Диполь в электрическом поле. Найдём силу, действующую на диполь в
однородном электрическом поле с напряжённостью Е. На концы диполя действуют равные по величине силы F = qE. Эти силы направлены в противоположные стороны и образуют пару сил (см. рисунок 21). Момент М этой пары
сил равен:
M = qEℓsin = pEsin,
где p = qℓ дипольный момент;
угол между плечом диполя ℓ и напряжённостью поля Е.
На диполь в однородном электрическом
поле действует пара сил F, которая стремится
повернуть диполь таким образом, чтобы p и Е
были параллельны (т.е. электрический диполь в
однородном электрическом поле под действием
этого момента пары сил стремится ориентироваться по полю).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]