Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
К . В. Лотов
ФИЗИКА
СПЛОШНЫХ СРЕД
Учебное пособие для студентов университетов
Москва Ижевск
2019
УДК 530.1 (075.8)
ББК 22.31
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
http://shop.rcd.ru
• техника
Лотов К. В.
Физика сплошных сред. — Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019, 144 стр.
Книга содержит конспективное изложение курса механики и физики сплошных сред, читаемого для студентов физического факультета. Он включает в себя основы электродинамики сплошных сред,
гидродинамикиитеорииупругости.
Для студентов и аспирантов физических специальностей университетов, преподавателей.
Рецензент: профессор И.А.КОТЕЛЬНИКОВ.
ISBN ББК 22.31
978-5-4344-0687-1
c
Институт компьютерных исследований, 2019
c
К.В. Лотов, 2019
Содержание
Предисловие ......................... 5
ЛАВА 1. Электродинамика сплошных сред ....... 6
Г
1.1. УравненияМаксвелладлясплошнойсреды....... 6
1.2. Материальноеуравнение ................. 9
1.3. Операторы ˆσ и ˆε вфурье-представлении ........ 10
1.4. Дисперсионноеуравнение................. 12
1.5. Частотнаяипространственнаядисперсия........ 14
1.6. Связь тензора диэлектрической проницаемости с обыч-
ными ε, μ и σ ....................... 15
1.7. Диссипацияэнергииволны ................ 17
1.8. Энергияиимпульсволны................. 18
1.9. Потокэнергииволны ................... 22
1.10. Свойства симметрии ε
изомерныхсредах ..................... 24
1.11.Естественнаяоптическаяактивность........... 25
1.12.Одноосныекристаллы ................... 27
1.13.ЭффектКерра ....................... 30
1.14.Магнитооптическиеэффекты............... 31
1.15. Аналитические свойства диэлектрической проницаемости 33
1.16.ТеоремаКрамерса—Кронига............... 36
1.17. Электромагнитные волны в средах с частотной диспер-
сией ............................. 38
1.18.Предвестник ........................ 41
1.19.Переходноеизлучение................... 43
1.20.Черенковскоеизлучение.................. 45
1.21.Нелинейнаяпроницаемость................ 51
1.22.Трехволновоевзаимодействие............... 52
1.23.Самофокусировка ..................... 57
ГЛАВА 2. Гидродинамика ................. 62
2.1. Уравненияидеальнойгидродинамики .......... 62
2.2. Лагранжевыпеременные ................. 68
2.3. ЗаконБернулли ...................... 69
2.4. ТеоремаТомсона...................... 70
в изотропных и зеркально-
αβ
4 Содержание
2.5. Потенциальноетечение .................. 72
2.6. Потенциальноеобтеканиетела .............. 73
2.7. Вихревоедвижениежидкости .............. 77
2.8. Вязкаяжидкость...................... 80
2.9. Уравнениетеплопереноса ................. 82
2.10.Звук............................. 84
2.11.Поверхностиразрыва ................... 87
2.12.Ударнаяадиабата...................... 88
2.13.Истечениегазачерезсопло................ 92
2.14.Простыеволны....................... 95
2.15.Слабаяударнаяволна ................... 98
2.16.Законподобия ....................... 102
2.17.Турбулентность....................... 103
2.18.Логарифмическийпрофильскоростей .......... 106
2.19.Достаточноеусловиеотсутствияконвекции....... 108
2.20.Свободнаяконвекция ................... 110
2.21.Мягкоеижесткоевозбуждениеконвекции ....... 116
2.22.Конвективныйпереностепла ............... 118
ГЛАВА 3. Теория упругости ................120
3.1. Тензордеформации .................... 120
3.2. Тензорнапряжений .................... 122
3.3. ЗаконГука ......................... 123
3.4. Простыедеформации ................... 124
3.5. Термодинамикадеформирования ............. 125
3.6. Звуквтвердомтеле .................... 127
3.7. Продольныеколебаниястержней............. 128
3.8. Изгибстержней ...................... 129
3.9. Поперечныеколебаниястержней............. 132
Приложениe .........................136
Дифференциальные операторы в цилиндрических координатах136
Дифференциальные операторы в сферических координатах . 137
Предметный указатель ...................140
Предисловие
По электродинамике сплошных сред, гидродинамике и теории упругости написано много больших и хороших книг. Однако изобилие материала слабо помогает студентам при подготовке к экзамену, поскольку за короткий срок прочесть много
толстых книг нереально. Поэтому при написании данного пособияглавнойцельюбылонетольколаконичноизложитьтемы,
традиционно читаемые в рамках данного курса, но и избежать
перегрузки текста избыточным материалом.
Автор приносит свою искреннюю благодарность Д. Д. Рютову, Г. Е. Векштейну, Б. Н. Брейзману, И. А. Котельникову и
В. Н. Худику, в разные годы читавшим «Физику сплошных
сред» и фактически сформировавшим этот курс в его настоящем виде, а также В. Б. Реве за многие полезные замечания.
ГЛАВА 1
Электродинамика сплошных сред
1.1. Уравнения Максвелла для сплошной
среды
Уравнения Максвелла известны из курса электродинамики:
4π
∂E
rotB =
Это — точные уравнения для точных значений полейE,B и
токаj. В среде, где создающих поле частиц очень много, точное значение тока, как правило, не известно, потому удобнее
пользоваться уравнениями Максвелла, усредненными по статистическому ансамблю, т. е. по всем возможным микроскопическим состояниям системы при заданном е¨емакроскопическом состоянии. Усредненные уравнения по форме совпадают
с (1.1), (1.2), но смысл входящих в них букв другой: теперь
E,
B иj — средние значения полей и тока. Далее мы будем
пользоваться только усредненными по ансамблю уравнениями.
Вторая пара уравнений Максвелла
1
c
∂t
rotE = −
+
j, (1.1)
c
∂B
1
. (1.2)
c
∂t
divB =0, (1.3)
divE =4πρ (1.4)
есть следствие первой пары (1.1), (1.2) и уравнения непрерывности
∂ρ
+ divj =0. (1.5)
∂t
1.1. Уравнения Максвелла для сплошной среды 7
Точнее, это начальные условия для уравнений (1.1) и (1.2).
Например, взяв дивергенцию (1.1)
∂ divE
1
c
∂t
+
4π
divj =0
c
ивоспользовавшись(1.5),получаем
∂
divE −4πρ=0.
∂t
Таким образом, если в какой-то момент времени равенства (1.3)
и (1.4) выполнены, то они выполняются всегда.
Полный токj удобно разделить на две части: ток сторонних зарядовj
итокjср,создаваемыйчастицамисреды:
стор
j =j
+jср. (1.6)
стор
Это деление не всегда является однозначным. Если среда является проводящей, т. е. при наличии стационарного электрического поля в ней течет постоянный ток, то ток проводимости
можно считать как сторонним, так и током среды. В свою очередь, ток и заряд среды всегда можно представить в виде
∂P
=
j
ср
+ c rotM, ρ
∂t
= −divP, (1.7)
ср
гдеP иM — некоторые векторы. Представление (1.7) неоднозначно: ток и заряд среды не изменятся при замене
1
P ←→P +rotX,
M ←→M −
∂X
c
∂t
, (1.8)
гдеX — произвольный вектор. Эта неоднозначность снимается
по-разному в квазистатических и динамических задачах.
В электро- и магнитостатике, когда поля во времени не
меняются или меняются медленно, в качествеP иM удобно
выбрать физически осмысленные величины: дипольный и магнитный моменты единицы объ¨ема среды. ВекторP называют
поляризацией среды, а векторM — намагниченностью. Вводя
8 Гла ва 1
напряженность магнитного поляH и электрическую индукциюD
H =B − 4πM,D =E +4πP, (1.9)
можно переписать первое уравнение Максвелла в обычной для
квазистатических задач форме:
rotB =
1
∂E
c
∂t
rotH =
4π
+
j
c
∂D
1
c
стор
∂t
4π
∂P
+
4π
+
+ c rotM,
c
∂t
. (1.10)
j
стор
c
Именнотакойподходобычноизлагаетсявкурсе«Электродинамика».
В динамических задачах, когда зависимость поля от времени становится существенной, в качествеP иM уже нельзя
брать дипольный и магнитный моменты единицы объ¨ема. Формально, разумеется, эти моменты вычислить можно, но при
их подстановке в правые части (1.7) ток среды не получается.
Поэтому неоднозначность (1.8) устраняется иначе:
M ≡ 0. (1.11)
Соответственно различия междуB иH не делается, а электрической индукцией называется такой векторD,длякоторого
∂t
∂E
=
+4πj
∂t
. (1.12)
ср
∂D
Первое уравнение Максвелла принимает вид
rotB =
1
c
∂D
∂t
4π
+
j
стор
c
(1.13)
с начальным условием
divD =4πρ
. (1.14)
стор
Везде далее мы будем пользоваться именно таким определениемD и такой формой уравнения Максвелла. Индекс «ср»у
тока и заряда среды будем опускать.
1.2. Материальное уравнение 9
1.2. Материальное уравнение
Уравнения Максвелла определяют, какими будут поля при
заданном распределении зарядов и токов, т. е. как среда влияет на поле. Чтобы замкнуть систему уравнений, надо также
указать, как поле влияет на среду, т. е. задать материальное
уравнение. В качестве материального уравнения может выступать зависимостьj(E,B) илиD(E,B).
Поскольку из уравнения Максвелла (1.2) полеB легко выражается черезE,томожносчитатьj иD функциями только
отE. При малой напряженности поляE зависимостиj(E) и
D(
E) будут линейными (можно их разложить по степенямE
и оставить линейные члены как наибольшие).
Электрическое поле можно считать малым, когда оно мало по сравнению с характерными значениями электрического
поля в среде. Обычно эти характерные значения очень большие (например, в диэлектрике напряженность внутриатомного
поля порядка ГВ/м), потому область применимости линейной
электродинамики сплошных сред очень широка. Везде далее,
где не оговорено особо, мы будем считать зависимостиj(E)
иD(E) линейными.
Самый общий вид линейной связи между двумя векторными величинамиj иE имеет вид
(r, t)=Eβ(r,t) σαβ(r, r,t,t) drdt
j
α
(2.1)
или в операторной форме
j =ˆσE. (2.2)
Здесь ˆσ — оператор проводимости. Ядро оператора проводимо-
сти σ
(r, r,t,t) обладает рядом универсальных свойств:
αβ
σ
=0, если t>t (2.3)
αβ
(будущее не влияет на прошлое),
σ
=0, если |r −r| >c(t −t) (2.4)
αβ
10 Гла ва 1
(быстрее скорости света возмущение не распространяется),
= σαβ(r −r,t,t) воднороднойсреде (2.5)
σ
αβ
(в среде нет выделенной точки),
σ
= σαβ(r, r,t− t) встационарнойсреде (2.6)
αβ
(нет выделенного момента времени). Всюду далее мы будем
рассматривать только однородные стационарные среды.
Аналогичными свойствами обладает ядро оператора диэлектрической проницаемости ˆε,связывающегоD иE:
D =ˆεE. (2.7)
1.3. Операторы ˆσ и ˆε вфурье-представлении
Будем пользоваться симметричной формой преобразования Фурье, обозначая функции и их фурье-образы одинаковыми буквами:
E(r, t)=
1
(2π)
2
E(k, ω) e
ikr−iωt
dkdω =
1
=
(2π)
iqξ
E(q) e
2
dq, (3.1)
E(k, ω)=
1
(2π)
2
E(r, t) e
−ikr +iωt
drdt=
1
=
(2π)
2
E(ξ) e
где для сокращения записи введены векторы
ξ =(r, t),q=(k, −ω). (3.3)
Найдем фурье-образ от материального уравнения
D
(ξ)=Eβ(ξ) εαβ(η) dξ,η= ξ −ξ. (3.4)
α
−iqξ
dξ, (3.2)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]