Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
1.23. Самофокусировка 61
Рис. 17. Нелинейная самофокусировка пучка. Стрелками по-
казано направление потока энергии.
Второе слагаемое в правой части (23.15) описывает нелинейную фокусировку (η>0)илидефокусировку(η<0)вол-
ны. При большой напряженности поля нелинейная фокусировка может полностью подавить дифракционную расходимость:
фазовая скорость волны оказывается в области пучка меньшей,
нежели на периферии, волновые фронты становятся сходящимися и энергия пучка концентрируется у оси (рис. 17). Условие
полного подавления дифракции можно получить, сравнив слагаемые в правой части (23.15):
2ηE3
E
kR
Aω
0
<
2
0
, (23.16)
2
kc
где R — характерный радиус пучка, а A — коэффициент порядка единицы, зависящий от распределения энергии пучка по
радиусу. Переписав неравенство (23.16) в форме
E
8π
2
0
2
R
c>
3
c
8πAω2η
,
легко видеть, что нелинейная фокусировка доминирует, когда
мощность пучка превышает некое критическое значение:
P>P
. (23.17)
crit
Это явление и называется самофокусировкой.
ГЛАВА 2
Гидродинамика
2.1. Уравнения идеальной гидродинамики
Гидродинамика — это наука о движении жидкостей и газов. Законы движения этих двух сред оказываются одинаковыми, потому всюду далее мы будем говорить о жидкостях, имея
в виду также и газы.
В гидродинамике жидкость всегда рассматривается как
сплошная среда. Это значит, что, даже говоря о бесконечно малом элементе объ¨ема, мы подразумеваем объ¨ем с большим число частиц. Соответственно гидродинамикой описываются только явления с характерным масштабом, много большим длины
свободного пробега частиц.
Идеальной называется жидкость, в которой нет диссипативных процессов (вязкости и теплопроводности).
Состояние жидкости полностью характеризуется е¨еплотностью ρ,скоростьюv идавлениемp как функциями координат
(r) и времени (t).
Движение жидкости подчиняется уравнению непрерывности
∂ρ
+ div ρv =0 или
∂t
которое есть прямое следствие закона сохранения массы:
∂
ρdV = −
∂t
V
∂ρ
∂t
ρvdS. (1.2)
S
= −
∂
ρvβ, (1.1)
∂x
β
Здесь слева стоит изменение массы объ¨ема,асправа—масса
вещества, пришедшего в объ¨ем.
2.1. Уравнения идеальной гидродинамики 63
Аналогично можно записать выражение для изменения α-
компоненты импульса:
α
= −
∂Π
αβ
+ ρgα. (1.3)
∂x
β
∂ρv
∂t
Здесь ρg —этообъ¨емная сила (например, сила тяжести), действующая на единицу объ¨ема жидкости, а Π
—такназы-
αβ
ваемый тензор плотности потока импульса, равный потоку α-
компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную направлению β.
Рис. 18. К вычислению конвективной (а) и силовой (б) со-
ставляющих потока импульса.
Импульс в жидкости может переноситься двумя способами. Во-первых, он течет вместе с жидкостью. За единицу вре-
ΔS
мени через единичную площадку
сти, равный v
v
· ρv,втомчислеегоα-компоненту в количестве ρvαvβ.
β
(рис. 18, a). Эта жидкость несет с собой импульс
β
проходит объ¨ем жидко-
β
Во-вторых, передача импульса происходит за счет действия внутренних сил. Предположим, что на некий объ¨ем жидкости (
ΔV )черезплощадкуdS
со стороны других частей
β
жидкости действует сила dF идругихсилнет(рис.18,б).
За время dt этот объ¨ем приобретет импульс dFdt,чемусоответствует поток импульса через единицу площади, равный
dF/dS
.
β
64 Глава 2
На микроскопическом уровне появление «силовой» составляющей импульса можно проиллюстрировать так (рис. 19, а).
Частица с импульсом p
емого объ¨ема, меняет свой импульс на −p
2p
объ¨ему.
0
Рис. 19. Иллюстрации возникновения силовой составляю-
щей потока импульса (а) и ненулевого потока импульса в
отражается от границы рассматрива-
0
иотдаетимпульс
0
покоящейся жидкости (б).
В идеальной жидкости между отдельными е¨ечастямимогут действовать только силы давления, потому тензор плотности потока импульса принимает вид
= ρvαvβ+ pδαβ. (1.4)
Π
αβ
Последнее слагаемое здесь означает, что на любую единичную
площадку в жидкости действует сила, равная p инаправленная
по нормали к площадке.
В неидеальной жидкости выражение для импульса, передаваемого за счет внутренних сил, оказывается более сложным. Эту «силовую» составляющую тензора Π
бо тензором давления (p
), либо тензором напряжений (παβ)
αβ
называют ли-
αβ
в зависимости от знака перед ней:
= ρvαvβ+ pαβ= ρvαvβ− παβ. (1.5)
Π
αβ
Интересно отметить, что импульс течет по жидкости даже
тогда, когда вся жидкость покоится. Этот кажущийся парадокс
связан с тем, что импульс — векторная величина. Например,
2.1. Уравнения идеальной гидродинамики 65
когда частицы летят (рис. 19, б), они переносят импульс p
p
в направлении x,акогдавлево—импульс−p0xвнаправ-
0x
0x
лении −x, так что вклады частиц, летящих «туда» и «обратно»,
складываются и суммарно переносится импульс 2p
−2p
в противоположном направлении, что одно и то же. Та-
0x
по x или
0x
ким образом, в жидкости всегда есть поток импульса в любом
направлении.
Уравнение сохранения импульса идеальной жидкости
обычно записывают в иной, нежели (1.3), форме. Чтобы получить е¨е, подставим (1.4) в (1.3), раскроем производные и
воспользуемся уравнением непрерывности:
α
= −
α
∂ρv
∂x
∂ρv
β
β
αvβ
∂x
+ ρv
∂ρv
∂t
+ v
∂ρ
+ v
α
∂t
∂v
α
ρ
∂t
∂
= ρ
∂t
∂pδ
−
β
∂x
∂v
α
=
β
∂x
β
+(v∇)v
αβ
β
α
+ ρgα,
= −
∂p
+ ρgα. (1.6)
∂x
α
Комбинацию производных в круглых скобках традиционно называют полной или субстанциональной производной и обозначают d/dt.Еслиобычнаяпроизводная∂/∂t определяет изменение величины в фиксированной точке пространства, то полная
производная определяет изменение величины в точке, движущейся вместе с жидкостью со скоростью v:
в
dt
∂
∂t
∂r
+
∂t
d
=
∂r
∂
∂
=
+(v∇). (1.7)
∂t
Полученное уравнение
dv
ρ
= −∇p + ρg (1.8)
dt
называется уравнением Эйлера и выражает собой простой
факт: произведение массы единичного объ¨ема жидкости на его
ускорение равно действующей на объ¨ем силе.
66 Глава 2
В отсутствие диссипации энтропия любого элемента жидкости не меняется со временем. В частности, для энтропии
единицы массы s имеем
ds(ρ, p)
=0. (1.9)
dt
Уравнения (1.1), (1.8) и (1.9) полностью определяют характер
движения идеальной жидкости.
Если в начальный момент времени энтропия s была одинакова во всех точках жидкости, то она останется везде одинаковой и неизменной и при дальнейшем движении жидкости.
Такое движение называется изэнтропическим. Уравнение адиабатичности в этом случае принимает особенно простой вид:
s(ρ, p)=const или p = p(ρ). (1.10)
Всюду далее мы будем считать течение изэнтропическим.
Другое часто встречающееся упрощающее предположение
— это предположение о несжимаемости жидкости:
dρ
=0. (1.11)
dt
Если в начальный момент плотность несжимаемой жидкости
была всюду одинакова, то в дальнейшем
ρ =const, divv =0,p≡ 0. (1.12)
Последнее неравенство здесь выражает тот факт, что давление нельзя считать постоянным, хотя из уравнения состояния
(1.10) формально и следует p =const. Это объясняется тем, что
приближение несжимаемой жидкости обычно работает, когда
пренебрежимо малого изменения плотности достаточно для существенного изменения давления жидкости.
Найдем, когда жидкость можно считать несжимаемой в
отсутствие объ¨емных сил (g =0). Для этого оценим входящие
в (1.1) слагаемые:
∂ρ
∂t
δρ
∼
, (v∇)ρ ∼
τ
vδρ
,ρdiv v ∼
L
ρv
, (1.13)
L
2.1. Уравнения идеальной гидродинамики 67
где L и τ — характерные пространственный и временной масштабы изменения течения, v — скорость течения, δρ —возмущение плотности жидкости. Жидкость будет вести себя как
несжимаемая, если оценка последнего слагаемого будет намного больше первых двух:
δρ
ρv
L
,ρ δρ. (1.14)
τ
Выполнение неравенств (1.14) означает, что возмущением плотности можно пренебречь, поскольку оно не влияет на движение
жидкости.
Условия (1.14) можно переписать в более практичной форме. Для этого оценим δρ при помощи (1.8):
∂p
∂ρ
v
+
L
δρ
=
L
s
. (1.15)
2
c
,
s
ρv
v
1
+
τ
∼
L
δρ ∼
δp
L
ρvL
2
c
s
δρ
=
L
1
τ
Производная
∂p
∂ρ
2
, (1.16)
= c
s
s
как будет показано в разделе 2.10, равна квадрату скорости
звука в среде. Подставляя (1.15) в (1.14), получаем
ρvL
τc
1
v
+
τ
2
s
L
ρv
L
ρvL
,
2
c
s
1
v
+
τ
ρ, (1.17)
L
откуда следуют неравенства
L c
τ, v cs,
s
vL
τc
2
s
1,
прич¨ем последнее из них есть следствие двух первых. Итак,
жидкость можно считать несжимаемой, если скорость е¨е течения мала по сравнению со скоростью звука, а время изменения
потока как целого велико по сравнению с L/c
.
s
68 Глава 2
2.2. Лагранжевы переменные
Наряду с традиционным (или эйлеровым) описанием, состояние движущейся жидкости можно описывать величинами
,t), r(r0,t) и p(r0,t),гдеr0— координаты элемента жид-
ρ(r
0
кости в начальный момент времени, а r — его же координаты
вмоментвремениt. Переменные (r
выми переменными. Если в эйлеровых переменных (r, t) ха-
рактеристики жидкости привязываются к определенной точке
пространства, то в лагранжевых переменных привязка идет к
самой жидкости. Лагранжев подход, однако, менее распространен, поскольку удобен только в одномерных задачах.
Рис. 20. К нахождению уравнений движения одномерной
жидкости в лагранжевых переменных.
,t) называют лагранже-
0
Получим уравнения движения жидкости в одномерном
случае в лагранжевых переменных (x
,t) (рис. 20). Из зако-
0
на сохранения массы
ρ
= ρ(x0,t) dx, ρ0= ρ(x0, 0) (2.1)
0dx0
следует одномерное уравнение непрерывности
−1
ρ(x
,t)=ρ
0
∂x
0
∂x
. (2.2)
0
Из второго закона Ньютона, записанного для элемента жидко-
ρ
0dx0
,
0
∂2x
= −p(x0+ dx0,t) − p(x0,t)+ ρ0dx0g (2.3)
2
∂t
сти dx
2.3.ЗаконБернулли 69
следует аналог уравнения Эйлера
= −
∂p
+ ρ0g. (2.4)
∂x
0
∂2x
ρ
0
2
∂t
Наконец, уравнение адиабатичности сводится к уравнению
∂
∂t
,t),ρ(x0,t)=0. (2.5)
sp(x
0
2.3. Закон Бернулли
Можно показать, что в случае стационарного течения
(∂/∂t =0) некая величина остается неизменной вдоль линии
тока жидкости (т. е. линии, всюду параллельной v). Найдем
эту величину. Для этого введем энтальпию единицы массы w,
так что
dw = Tds+
(объ¨ем единицы массы равен 1/ρ). Из уравнения Эйлера имеем
(v∇)v = −
откуда путем тождественных преобразований при g =const
получаем
2
v
∇
− [v ×rotv]=−∇w + T ∇s + ∇(gr), (3.3)
2
2
v
∇
+ w −gr=[v ×rotv]+T ∇s. (3.4)
2
1
dp (3.1)
ρ
∂p
1
+ g, (3.2)
ρ
∂r
Первое слагаемое в правой части (3.4) ортогонально вектору v.
Второе слагаемое также ортогонально v всилу(1.9):
ds
= v ∇s =0. (3.5)
dt
Таким образом, вдоль линии тока остается неизменной величина
2
v
+ w −gr =const. (3.6)
2
70 Глава 2
Это утверждение и составляет закон Бернулли. Заметим, что
при его выводе не предполагалось изэнтропичности жидкости.
Чтобы пользоваться формулой (3.6), нужно выразить w
через p и ρ. Здесь полезно предположение об изэнтропичности
(s =const, ∇s =0). Для несжимаемой жидкости имеем
ds =0,dw= d
p
,w=
ρ
p
+const. (3.7)
ρ
Дляидеальногогазаспоказателемадиабатыγ из уравнений
p = Aρ
γ
,dw=
dp
=
ρ
dρ (3.8)
ρ
γ−1
Aγρ
находим
γ−1
w =
Aγρ
γ −1
+const=
γ
γ −1
p
+const. (3.9)
ρ
С помощью закона Бернулли можно легко найти скорость
v
истечения идеального газа в вакуум из объ¨ема с давлени-
vac
ем p и плотностью ρ:
γ
γ −1
vac
=
2γp
(γ −1)ρ
2
v
p
vac
=
ρ
,v
2
= c
2
γ −1
, (3.10)
s
где
γp
=
c
s
ρ
—скоростьзвукавгазе.
2.4. Теорема Томсона
Введем циркуляцию скорости Γ по замкнутому контуру γ
согласно определению
$
Γ=
vdl. (4.1)
γ
(3.11)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]