Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
1.8. Энергия и импульс волны 21
Имеем
W =
1
16πω
∂ω
2
∂ω
εδ
αβ
E
∗
Eβ=
α
2ωε
16πω
E
∗
Eα=
α
ε|E|
8π
2
. (8.15)
Волна характеризуется не только энергией, но и импульсом. Когда волна затухает, е¨е импульс передается среде. Изменение среднего импульса среды p под действием электромаг-
нитных сил описывается уравнением
dp
=ρE +
dt
1
c
j ×B
. (8.16)
В случае плоской гармонической волны уравнение (8.16) принимает вид
dp
dt
=ρE +
=
ρ −
1
ω
kj
ω
j ×
E +
k ×E
=
k
jE
ω
k
Q, (8.17)
=
ω
где разность в круглых скобках равна нулю в силу уравнения
непрерывности. Поскольку импульс, отдаваемый затухающей
волной среде, пропорционален отдаваемой энергии, значит, и
полный импульс волныP пропорционален е¨е полной энергии
с тем же коэффициентом:
k
P =
W. (8.18)
ω
В формуле (8.18) энергия и импульс волны берутся в расчете на
единицу объ¨ема, т. е.P и W — плотности импульса и энергии
волны.
Соотношение (8.18) позволяет рассматривать любую волну (не только электромагнитную) как совокупность отдельных
квантов, каждый из которых имеет энергию ω иимпульсk,
где — постоянная Планка.
22 Гл ава 1
1.9. Поток энергии волны
Плотность энергии W характеризует способность волны
запасать энергию. Способность же волны переносить энергию
характеризуется векторной величиной — плотностью потока
энергииS.ЧтобынайтиS, рассмотрим стационарную слабозатухающую пространственно неоднородную волну (т. е. волну, в которой поток энергии не зануляется по геометрическим
соображениям и несложно вычисляется):
∂|E|
=0,E ∝ e
∂t
−κxeik0x−iωt
, κ k0,ω∈ R. (9.1)
Поступаем по аналогии с разделом 1.8. Запишем баланс энергии в волне:
∂S
откуда получаем
x
= −Q = −Q
∂x
S
=
x
−2κx
e
0
Q
. (9.3)
2κ
, (9.2)
Декремент пространственного затухания κ находим, разлагая
(4.5) по малым параметрам. В нулевом приближении из уравнения
находим дисперсионное соотношение в форме k
невозмущенную поляризацию волныE
малостям имеем
H
L
αβ
H
(k0)+iκ
L
αβ
S
x
H
(k0) E0β=0 (9.4)
L
αβ
(k0+ iκ)+
H
∂L
αβ
∂k
x
iω
κ =
2
c
2
c
= −
16πω
+
2εA
∂L
∂k
2
ω
A
ε
αβ
2
c
2
ω
ε
2
c
E
αβ
H
αβ
E
x
H
∂L
αβ
∂k
0
. В первом порядке по
0
(k0)Eβ=0,
A
(k0)E
αβ
∗
E
β
α
∗
E
α
∗
Eβ=0,
0α
, (9.5)
β
∗
Eβ. (9.6)
E
α
x
= k0(ω) и
1.9. Поток энергии волны 23
Обобщая (9.6) на две другие координаты (y и z), окончательно
получаем выражение для вектора плотности потока энергии:
S = −
2
c
16πω
∂L
∂k
H
αβ
∗
Eβ. (9.7)
E
α
Как следует из вывода, при вычислении производной в (9.7)
частоту ω следует рассматривать как не зависящий отk параметр.
Известно, что локализованные волновые пакеты движутся
с групповой скоростью v
,где
g
v
g
=
∂ω(k)
. (9.8)
∂k
Иными словами, групповая скорость определяет скорость перемещения энергии волны. Получим этот факт строго из уравнений (8.13) и (9.7). Пусть затухание мало и ω иk можно считать
действительными. Из (4.5) имеем
H
∗
L
E
Eβ=0. (9.9)
αβ
α
Равенство (9.9) верно не для любых ω иk,атолькодлясвязанных дисперсионным соотношением ω = ω(k). Полный диф-
ференциал (9.9)
∂L
∂k
H
αβ
dk +
∂L
∂ω
H
αβ
dωE
∗
Eβ=0 (9.10)
α
при условии
∂ω(k)
dω =
dk (9.11)
∂k
2
после домножения на c
/(16πω) да¨ет нам уравнение
Sdk − W
∂ω(k)
dk =0, (9.12)
∂k
которое верно для любых dk.Следовательно,
S = v
W. (9.13)
g
24 Глава 1
1.10. Свойства симметрии 嫬визотропныхи
зеркально-изомерных средах
Изотропными называют среды, в которых нет выделенных
направлений (в отсутствие волны). Зеркально-изомерными называют среды, неинвариантные относительно зеркального отражения. Изотропные и инвариантные относительно отражения среды называют истинно изотропными.
Примером зеркально-изомерной среды может служить газ
спиральных молекул. Спирали бывают левые и правые, прич¨ем
правую спираль нельзя перевести в левую никакими пространственными поворотами. Отражение меняет знак спирали. Поэтому если до зеркального отражения спиралей одного типа в
среде было больше, то после отражения их будет меньше, т. е.
получится другая среда. Зеркальных изомеров много среди органических веществ со сложными молекулами.
Построим общий вид тензора диэлектрической проницаемости изотропной среды из соображений тензорной размерности. В отсутствие пространственной дисперсии (т. е. выделенного направленияk) для построения тензора второго ранга
можно воспользоваться только инвариантным тензором (символом Кр´онекера):
При наличии пространственной дисперсии можно также
пользоваться векторомk:
= ε(ω) δαβ. (10.1)
ε
αβ
ε
αβ
Здесь e
= A(k,ω) δαβ+ B(k, ω) kαkβ+ C (k, ω) e
— инвариантный тензор Л´еви-Чив´ита, а A, B и
αβγ
αβγkγ
. (10.2)
C — некие скалярные функции (в силу изотропии среды они
могутзависетьтолькоотмодуля|k|). Непосредственным пере-
бором легко убедиться, что из одного вектора и инвариантных
тензоров можно построить только выписанные выше слагаемые. Обычно общее выражение для ε
записывают в другой
αβ
(эквивалентной) форме:
ε
αβ
= ε
⊥
−
δ
αβ
k
αkβ
2
k
+ ε
kαk
k
2
β
+ ige
αβγ
k
γ
. (10.3)
k
Почему так удобнее — будет ясно из следующих разделов.
1.11. Естественная оптическая активность 25
При зеркальном отражении системы истинный векторk
меняет знак. Инвариантные же тензоры δ
и e
(псевдотензор) знака не меняют. Если среда является
αβγ
(истинный тензор)
αβ
истинно изотропной, то, во-первых, она не может характеризоваться никакой псевдоскалярной величиной (меняющей знак
при отражении) и, во-вторых, тензор ε
не должен изменяться
αβ
при отражении. Поэтому в случае истинно изотропной среды
должно быть g ≡ 0. И наоборот, если в изотропной среде g =0,
то такая среда является зеркально-изомерной.
1.11. Естественная оптическая активность
Зеркально-изомерные среды обладают так называемой
естественной оптической активностью, т. е. способностью вращать плоскость поляризации электромагнитной волны. Рассмотрим это явление количественно.
Пусть диэлектрическая проницаемость среды имеет вид
(10.3), прич¨ем
g =0, |g|ε
Направим ось z по векторуk.Тогда
⎛
ε
⊥
⎝
ε
αβ
−ig ε
=
00ε
. (11.1)
⊥
⎞
ig 0
⎠
0
⊥
(11.2)
и уравнение (4.5) принимает вид
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−k
2
−i
ω
+
c
2
ω
2
c
2
ε
⊥
2
g −k2+
2
ω
i
2
c
00
g 0
2
ω
ε
⊥
2
c
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
0
⎟
⎟
2
⎠
ω
ε
2
c
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
E
x
⎟
⎟
⎟
⎟
E
y
⎟
⎟
⎠
E
z
=0. (11.3)
Из (11.3) виден смысл введения «продольной» и «поперечной»
диэлектрических проницаемостей ε
и ε⊥: они отвечают, соот-
ветственно, за продольные и поперечные волны.
26 Глава 1
На продольные волны наличие оптической активности не
влияет. Дисперсионное соотношение для них
ε
(k, ω)=0. (11.4)
Дисперсионное соотношение для поперечных волн получим в форме k = k
(ω), характеризующей распространение в
±
пространстве волн с заданной частотой. Имеем
2
−
k
2
k
±
ω
k
≈
±
ω
c
=
√
c
2
ε
⊥
2
2
ω
2
c
ε
⊥
2
ω
=
c
(ε⊥± g),
1 ±
2ε
4
g2,
4
g
. (11.5)
⊥
Эти волны имеют круговую поляризацию:
E
= ±iEy,Ez=0, (11.6)
x
прич¨емфазоваяскоростьволнсправойилевойполяризацией
различна.
Рис. 2. Естественная оптическая активность (а); к вычисле-
нию угла поворота плоскости поляризации (б).
Пусть в плоскопараллельный слой оптически активной
среды входит линейно поляризованный свет (рис. 2, а). Как мы
только что установили, в такой среде поперечные волны могут
распространяться только с круговой поляризацией. Поэтому на
1.12. Одноосные кристаллы 27
входе в среду (z =0) линейно поляризованный свет разлага-
ется на право- и левополяризованные составляющие, и дальше
эти составляющие движутся независимо друг от друга. На выходе из среды (z = L) набег фаз у право- и левополяризованной
волн будет различным: k
L и k−L соответственно. Поэтому
+
после сложения этих волн получится линейно поляризованный
свет с плоскостью поляризации, повернутой на угол
Δϕ =
(k
+
2
=
ωgL
2c√ε
⊥
(11.7)
− k−)L
(рис. 2, б). Если на выходе из среды волны разной круговой
поляризации имеют различные амплитуды (из-за различия декрементов затухания или коэффициентов отражения на границе), то при их сложении получится свет с эллиптической
поляризацией.
Естественная оптическая активность — явление весьма
распространенное среди органических веществ естественного
происхождения. Это связано с не нашедшим пока объяснения
свойством живой природы строить белки только из левых оптических изомеров аминокислот (термины «левый» и «правый»
здесь условны, так как не всегда соответствуют направлению
вращения плоскости поляризации). Так, 19 из 20 жизненно
важных аминокислот оптически активны. Белки, синтезированные искусственно из правых аминокислот, не усваиваются организмом. Бактерии подвергают брожению лишь один из
изомеров, не затрагивая другой. Левый никотин в несколько
раз ядовитее правого.
Естественной оптической активностью могут также обладать вещества с зеркально-асимметричной кристаллической
структурой, но простыми молекулами. Их называют оптически
активными веществами второго рода.
1.12. Одноосные кристаллы
Одноосными кристаллами в электродинамике сплошных
сред называют среды (не обязательно обладающие кристаллической структурой), в которых есть только одно выделенное
направление. Это направление (n) называют оптической осью.
28 Гл ава 1
В отсутствие пространственной дисперсии общий вид тензора диэлектрической проницаемости одноосного кристалла
(из соображений тензорной размерности) такой:
= ε⊥(δαβ− nαnβ)+εnαnβ+ ige
ε
αβ
αβγnγ
. (12.1)
Если среда не является зеркально-изомерной, то n — истин-
ный вектор, а g не может быть псевдоскаляром. Поэтому при
зеркальном отражении среды вектор n меняет знак, а g и ε
αβ
не могут изменить знака. Отсюда заключаем, что в отсутствие
зеркальной изомерии g ≡ 0.
Найдем, какие волны могут распространяться в одноосном
кристалле без зеркальной изомерии. Выберем оси так:
z n,k ∈ (x, z),n =(0, 0, 1),k =(k
, 0,k). (12.2)
⊥
Тогда уравнение (4.5) принимает вид
⎞
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
E
x
E
y
E
z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
=0. (12.3)
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
ω
2
c
ε⊥− k
0
k
k
⊥
2
0 k⊥k
2
ω
ε⊥− k
2
c
0
⎟
⎟
2
2
ω
2
c
0
ε− k
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2
⊥
Волну с дисперсионным соотношением и поляризацией
2c2
k
= ε⊥,Ey=0,
2
ω
E ⊥ (k,n) (12.4)
называют обыкновенной электромагнитной волной. На распространение такой волны наличие оптической оси никак не сказывается.
Волну, электрическое поле которой лежит в плоскости
(k,n), называют необыкновенной волной. Дисперсионное со-
отношение для нее
4
ω
4
c
ε⊥ε−
2
ω
2
c
2
ε
k
⊥
⊥
+ εk
2
=0
1.12. Одноосные кристаллы 29
или в более компактной форме
2
2
2
ω
=
2
c
k
k
ε
⊥
+
. (12.5)
ε
⊥
Фазовая скорость (ω/k) такой волны зависит от направления
вектораk. Направление групповой скорости, вообще говоря, не
совпадает с направлением волнового вектора:
⎛
2
∂ω
v
=
g
∂k
1
∂ω
=
2ω
=
∂k
2
k
c
⊥
⎝
ω
ε
⎞
k
⎠
+
∦k. (12.6)
ε
⊥
Можно также показать, что преломленный необыкновенный
луч, вообще говоря, не лежит в плоскости падения.
Рис. 3. Эффекты двойного лучепреломления (а) и изменения
поляризации (б). Буквы ‘о’ и ‘н’ обозначают обыкновенную
и необыкновенную волны.
Наличие в одноосном кристалле двух типов волн с различным направлением групповой скорости приводит к так называемому двойному лучепреломлению, т. е. раздвоению световых
лучей при прохождении через кристалл (рис. 3, а).
Из-за различия фазовых скоростей двух волн одноосные
кристаллы способны изменять тип поляризации электромагнитной волны. В частности, если набеги фаз двух волн разли-
30 Глава 1
Рис. 4. Действие ячейки Керра. Снизу схематически пока-
зана поляризация света (направление вектораE).
чаются на π/2, то круговая поляризация переходит в линейную
и наоборот (рис. 3, б).
1.13. Эффект Керра
В однородном внешнем электрическом поле (E0) истинно
изотропная среда приобретает свойства одноосного кристалла.
Это явление называется эффектом Керра (J. Kerr, 1875). Действительно, полеE
т. е. оптическую ось. ПосколькуE
электрическая проницаемость среды с полем принимает вид
задает в среде выделенное направление,
0
— истинный вектор, ди-
0
ε
= A(ω, E0) δαβ+ B(ω, E0) E0αE
αβ
0β
(13.1)
или
ε
= ε
αβ
⊥
ε
= A, ε= A + BE
⊥
E
−
δ
αβ
0αE0β
2
E
0
E0αE
0β
+ ε
2
0
, (13.2)
2
E
0
, (13.3)
где A и B — некие функции. В общем случае B =0,поэтому
ε
= ε, что и соответствует одноосному кристаллу.
⊥
На эффекте Керра основано действие ячейки Керра (рис. 4)
— устройства, применяемого в качестве оптического затвора
или модулятора света. Схематически действие такого затвора
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]