Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
3.8. Изгиб стержней 131
Рис. 45. Геометрия задачи об изгибе стержня (a); к оценке σxz(б);
к вычислению деформации стержня (в); положение нейтральной по-
верхности при различной ориентации стержня (г).
т. е. нейтральная плоскость проходит через центр тяжести сечения (рис. 45, г).
Изгиб стержня как целого удобно описывать координатой X(Z) его нейтральной поверхности в некоторой «внеш-
ней» системе (X, Y, Z) сосьюZ, направленной вдоль стержня
(рис. 45, в). Обозначая дифференцирование по Z штрихом, для
слабого изгиба имеем
1
R
= −X
(Z),uzz= −xX,σzz= −ExX. (8.7)
Формулы (8.7) легко обобщаются на случай трехмерного изгиба:
u
= −xX− yY,σzz= −ExX− EyY, (8.8)
zz
где координаты x и y отсчитываются, соответственно, в на-
132 Гл ава 3
правленияхX иY от линии, проходящей по центру тяжести
сечения (нейтральной линии).
Как видно из (8.1), способность стержня сопротивляться
изгибу характеризуется моментом упругих сил. Найдем эту величину. По определению момента силы,
=yσzzdS = −EIxyX− EIyyY, (8.9)
M
x
M
= −xσzzdS = EIxxX+ EIxyY, (8.10)
y
где
=rαrβdS (8.11)
I
αβ
— тензор «момента инерции» сечения. Если направление осей
X иY совпадает с направлением главных осей сечения, то
выражения для моментов упрощаются:
M
= −EIyyY,My= EIxxX. (8.12)
x
Из формул (8.9)–(8.12) ясно, почему для упрочнения стержней
их профиль делается сложным (рис. 45, г): чтобы при заданной
площади сечения получить больший момент инерции.
3.9. Поперечные колебания стержней
Пусть теперь стержень не находится в равновесии и может
колебаться в поперечном направлении. Найдем закон малых
поперечных колебаний в плоскости (Y,Z) (рис. 46,а). Будем
считать, что на стержень с боков не действует внешняя сила.
Тогда уравнение движения малого элемента стержня примет
вид
2
∂
u
Δl
ρS
где S — площадь сечения, ρ — плотность стержня,
на рассматриваемого кусочка, l — координата, отсчитываемая
=F (l + Δl) −F (l), (9.1)
2
∂t
Δl —дли-
3.9. Поперечные колебания стержней 133
вдоль стержня,F — полная упругая сила, действующая в поперечном сечении «справа налево» (рис. 46, а). Переходя к бесконечно малым
Рис. 46. Геометрия задачи о поперечных колебаниях стержня (a); действующие в сечении стержня силы (б); к нахождению производной
Δl,получаем
∂F
∂l
dτ/dl (в).
= ρS
2
∂
u
. (9.2)
2
∂t
СилуF можно разложить на продольную и поперечную
компоненты:
F =F
+F⊥, (9.3)
где
= nσyzdS,
F
⊥
F= τσzzdS ≡ Tτ, (9.4)
а n и τ — единичные векторы в направлениях нейтральной ли-
нии и нормали к ней соответственно (рис. 46, б). Величина T
(натяжение стержня) не зависит от l,посколькувпротивном
случае нескомпенсированная продольная сила вызвала бы продольное движение стержня. Будем считать натяжение стержня
заданным.
134 Глава 3
Заметим, что силаF появляется вследствие отличия деформации от простой и наличия ненулевой тянущей силы. Оба
эти эффекта являются в каком-то смысле малыми по сравнению с действием продольных напряжений, создающих момент
упругих сил:
1
1
1
1
|σ
F
1
1
⊥
|a2, |T ||σzz|a2. (9.5)
zz
Поэтому в предыдущем разделе мы пренебрегали силойF и
считали деформацию простой. Сейчас же нашей целью является анализ более тонких эффектов, поэтому мы учитываем
малую силуF и малое отличие направлений вектора τ иосиZ.
ОбозначимM(l) момент упругих сил (8.9), (8.10), действу-
ющих «справа налево» в заданном сечении стержня (рис.46, б).
Поскольку при малых поперечных колебаниях движение элемента стержня с большой точностью является поступательным,
полный момент сил (например, относительно точки O), приложенных к рассматриваемому кусочку, должен равняться нулю:
откуда
M(l +
∂
∂l
2
M
Δl) −
M(l)+τ Δl ×F (l + Δl)=0,
∂M
+τ ×F=0, (9.6)
∂l
)
∂τ
+
2
×F*+"τ ×
∂l
#
∂F
=0. (9.7)
∂l
Для вычисления производной ∂τ/∂l замечаем, что при сме-
щении вдоль стержня на величину dl вектор τ изменяется на
величину dτ n (рис. 46, в). Из геометрии следует, что
dl
dτ
=
R
|τ|
⇒
dτ
dl
1
=
R
⇒
∂τ
∂l
n
. (9.8)
=
R
Подставляя (8.9), (9.8) и (9.2) в x-компоненту (9.8) и замечая,
что
1
u
= Y,
y
, (9.9)
= Y
R
3.9. Поперечные колебания стержней 135
получаем
−EI
yy
∂4Y
∂Z
2
∂
Y
+
4
ρS
∂Z
∂
∂t
2
2
Y
2
n ×F
+ ρS
x
= TY− EIyyY
2
∂
Y
[τ × n]x=0,
2
∂t
. (9.10)
В случае бесконечного стержня уравнением (9.10) допускается непрерывный спектр волн с дисперсионным соотношением
2
= Tk2+ EIyyk4. (9.11)
ρSω
Рис. 47. Концы стержней.
В случае стержня конечной длины спектр колебаний будет дискретным и зависящим от граничных условий на концах.
Так как уравнение (9.10) — четвертого порядка по Z,тонужно
четыре граничных условия (по два на каждом конце), например,
заделанный конец (рис.47, a): Y =0,Y
шарнир (рис. 47, б): Y =0,Y
свободный конец (рис. 47, в): Y
=0,Y
=0; (9.12)
=0; (9.13)
=0. (9.14)
Условия на вторые производные в (9.13) и (9.14) получаются
из равенства нулю момента упругих сил (8.9) на конце. Условие на третью производную следует, в соответствии с (9.6), из
отсутствия упругой силыF на свободном конце.
Приложениe
Дифференциальные операторы
в цилиндрических координатах
Градиент:
(∇f)
∂f
=
r
∂r
Дивергенция:
divA =
Ротор:
rotA
rotA
rotA
Лапласиан скаляра:
f =
, (∇f )
1
∂
(rA
r
∂r
=
r
=
ϕ
=
z
1
∂
r
r
∂r
1
r
∂A
∂z
1
r
∂f
∂r
ϕ
∂A
∂
∂r
=
)+
r
∂ϕ
r
1
r
z
−
(rA
+
−
∂f
, (∇f )
∂ϕ
∂A
ϕ
1
r
∂ϕ
∂A
ϕ
∂z
∂A
z
,
∂r
) −
ϕ
∂2f
1
2
r
∂ϕ
∂f
=
∂z
.
z
∂A
z
+
∂z
.
,
∂A
r
1
.
r
∂ϕ
2
f
∂
+
∂z
.
2
2
3.9. Поперечные колебания стержней 137
Лапласиан вектора:
A
A
A
Компоненты (A∇)B:
= Ar−
r
= Aϕ+
ϕ
= Az.
z
∂A
ϕ
2
2
∂ϕ
r
∂A
2
2
∂ϕ
r
A
r
,
−
2
r
A
ϕ
r
,
−
2
r
(A∇)B
(A∇)B
(A∇)B
r
ϕ
z
= A
= A
= A
r
r
r
∂B
∂B
∂B
∂r
∂r
∂r
A
∂B
ϕ
r
+
ϕ
+
z
+
r
r
A
r
A
r
+ A
∂ϕ
∂B
ϕ
ϕ
+ A
∂ϕ
∂B
ϕ
z
+ A
∂ϕ
Дивергенция тензора:
∂T
∂x
∂T
∂x
∂T
∂x
αβ
αβ
αβ
∂T
1
∂
=
r
α
α
α
∂r
r
1
∂
=
r
∂r
ϕ
1
∂
=
r
∂r
z
(rT
(rT
(rT
rr
rϕ
rz
)+
)+
)+
ϕr
1
r
∂ϕ
∂T
ϕϕ
1
r
∂ϕ
∂T
ϕz
1
r
∂ϕ
Дифференциальные операторы
всферическихкоординатах
Градиент:
∂z
∂z
∂z
∂z
∂T
∂z
∂z
r
zr
zz
A
ϕBϕ
−
ϕ
+
z
.
−
zϕ
+
T
A
r
ϕBr
ϕϕ
r
T
r
ϕr
,
,
r
,
,
.
∂B
z
∂B
z
∂B
z
∂T
+
+
∂T
+
(∇f)
∂f
=
r
, (∇f )
∂r
∂f
1
=
θ
r
∂θ
, (∇f )
ϕ
=
r sin θ∂f∂ϕ
1
.
138 Глава 3
Дивергенция:
divA =
1
∂
2
(r
∂r
Ar)+
2
r
1
r sin θ∂∂θ
Ротор:
rotA
rotA
rotA
ϕ
=
r
=
θ
=
1
r sin θ∂∂θ
∂A
1
r sin θ
1
r
∂
∂r
∂ϕ
(rA
(sin θA
r
−
) −
θ
Лапласиан скаляра:
(sin θA
ϕ
1
∂
r
∂r
∂A
1
r
∂θ
) −
(rA
r
.
)+
θ
1
r sin θ
),
ϕ
1
r sin θ
∂A
∂ϕ
∂A
ϕ
.
∂ϕ
θ
,
∂f
∂
f =
1
2
r
∂r
2
r
∂r
Лапласиан вектора:
= Ar−
A
r
A
= Aθ+
θ
A
= Aϕ−
ϕ
+
2A
r
−
2
r
∂A
2
2
∂θ
r
A
ϕ
r2sin2θ
1
r2sin θ
∂A
2
2
r
r
−
r2sin2θ
+
∂
∂θ
θ
−
∂θ
A
θ
2
r2sin θ
sin θ
2 ctg θA
−
∂A
∂ϕ
∂f
∂θ
θ
2
r
2cosθ
r2sin2θ
r
+
+
r2sin2θ
−
r2sin θ
∂A
∂ϕ
2cosθ
r2sin2θ
2
f
∂
1
2
ϕ
,
∂A
∂ϕ
∂ϕ
∂A
∂ϕ
θ
.
.
2
ϕ
,
3.9. Поперечные колебания стержней 139
Компоненты (A∇)B:
(A∇)B
(A∇)B
(A∇)B
r
θ
ϕ
= A
= A
= A
r
r
r
∂B
∂r
∂B
∂r
∂B
∂r
Дивергенция тензора:
∂T
∂x
∂T
∂x
∂T
∂x
αβ
αβ
αβ
1
∂
=
α
r
(r
2
∂r
r
1
∂
=
α
θ
(r
2
∂r
r
1
∂
=
α
ϕ
(r
2
∂r
r
r
+
θ
+
ϕ
+
2
Trr)+
2
Trθ)+
2
Trϕ)+
A
θ
r
A
r
A
r
∂B
∂θ
∂B
θ
∂θ
∂B
θ
∂θ
r sin θ∂∂θ
+
r sin θ∂∂θ
+
r sin θ∂∂θ
+
r
+
θ
+
ϕ
+
1
r sin θ
1
r sin θ
1
r sin θ
A
r sin θ
A
r sin θ
A
r sin θ
1
1
1
ϕ
∂B
∂ϕ
ϕ
∂B
∂ϕ
A
θBr
+
∂B
ϕ
∂ϕ
A
ϕBr
+
(sin θT
∂T
ϕr
∂ϕ
(sin θT
∂T
ϕθ
∂ϕ
(sin θT
∂T
ϕϕ
∂ϕ
A
r
−
θ
+
− ctg θAϕB
r
ϕ
+
+ ctg θAϕB
r
)+
θr
+ T
T
θθ
−
)+
θθ
− ctg θT
T
θr
+
)+
θϕ
T
ϕr
+
θBθ+AϕBϕ
r
ϕ
θ
ϕϕ
,
r
ϕϕ
r
+ ctg θT
ϕθ
r
,
,
.
,
.
Предметный указатель
амплитуда волны, 54
вектор смещения, 120, 127
вихревая линия, 78
вихревое кольцо, 80
внешний масштаб турбулентно-
сти, 104
внутренний масштаб турбулент-
ности, 104
волновое уравнение, 85, 127–129
волны в диэлектрике, 13
— в зеркально изомерных средах,
25–27
— в магнитооптивной среде, 31–
33
— в одноосном кристалле, 28–29
— в среде с частотной дисперси-
ей, 38–40
—звуковые,см. звук
— квантовая интерпретация, 21
— необыкновенные, 28
— обыкновенные, 28
— плоские монохроматические,
12
— поперечные, 14, 128
—потенциальные,14
—продольные,14,128
—простые,см. простая волна
—ударные,см. ударная волна
— электромагнитные, 14
вязкий тензор напряжений, 80, 81
вязкость, 81
—вторая,81
— динамическая, 81
— кинематическая, 82
генерация второй гармоники, 52
главные оси тензора деформации,
121
граничная задача, 40
граничные условия на концах
стержней, 135
групповая скорость, 23
двойное лучепреломление, 29
декремент затухания временной,
20
— пространственный, 22
деформация всестороннего сжа-
тия, 122
—изогнутогостержня,130
—простая,124
—сдвига,122
—тонкогостержня,129
дисперсионное соотношение, 13
дисперсионное уравнение, 13
дисперсия пространственная, 15
— частотная, 15
диэлектрическая проницаемость
в магнитном поле, 31
— в электрическом поле, 30
— вещественные значения, 35–36
— высокочастотная асимптотика,
34
—изотропнойсреды,24,25
—квазистатическийпредел,16
—нелинейная, см. нелинейная
проницаемость
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]