Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
1.3. Операторы ˆσ и ˆε в фурье-представлении 11
Получаем
D
(q)=
α
(2π)
=
(2π)
=e
= ε
αβ
1
1
−iqξ
e
2
−iqηe−iqξ
e
2
−iqη
εαβ(η) dη ·
(q) Eβ(q).
dξEβ(ξ) εαβ(ξ − ξ) dξ=
Eβ(ξ) εαβ(η) dξdη =
1
(2π)
(ξ) e
E
β
2
−iqξ
dξ=
Итак, если ввести фурье-представление оператора диэлектрической проницаемости согласно определению
(k, ω)=εαβ(ρ, τ ) e
ε
αβ
ρ = r −r
,τ= t − t,
−ikρ+iω τ
dρdτ, (3.5)
то связь между фурье-образами величин будет особенно простой:
(k, ω)=εαβ(k, ω)Eβ(k, ω), (3.6)
D
α
что является следствием известного математического факта
(фурье-образ свертки с точностью до коэффициентов есть произведение фурье-образов). Обратим внимание, что формула
(3.5) не есть преобразование Фурье, так как там не хватает
коэффициента (2π)
−2
.
Аналогично для оператора проводимости имеем
(k, ω)=σαβ(k, ω)Eβ(k, ω). (3.7)
j
α
В фурье-представлении операторы проводимости и диэлектрической проницаемости оказываются, вообще говоря, тензорами второго ранга, потому будем пользоваться терминами
«тензор диэлектрической проницаемости» и «тензор проводимости» для обозначения фурье-представлений соответствующих операторов.
Из определения электрической индукции (1.12) вытекает полезное соотношение, связывающее тензоры проводимости σ
и диэлектрической проницаемости εαβ.Действительно,
αβ
12 Гл ава 1
преобразование Фурье от (1.12) да¨ет
−iωD = −iωE +4πj,
откуда
D
= Eα+
α
4πi
,
j
α
ω
ε
αβEβ
= δαβEβ+
4πi
ω
σ
. (3.8)
αβEβ
Равенство (3.8) выполняется при любом полеE,следовательно,
в фурье-представлении
ε
αβ
= δαβ+
4πi
ω
σ
. (3.9)
αβ
1.4. Дисперсионное уравнение
Есть стандартный способ определения волновых свойств
среды по заданному тензору диэлектрической проницаемости.
Он состоит в следующем. Мы разлагаем поля на гармоники
(плоские монохроматические волны), исследуем каждую гармонику по отдельности и находим, какие из гармоник могут
существовать в среде сами по себе. Математически разложение на гармоники осуществляется преобразованием Фурье. Запишем уравнения Максвелла в фурье-представлении:
i
k ×B= −
i
k ×E=
iω
D, (4.1)
c
iω
B. (4.2)
c
Нас интересуют волны, которые могут распространяться в среде в отсутствие сторонних зарядов, потому в уравнении (4.1)
мы положили j
=0. ВыражаяB из (4.2), подставляя его
стор
в (4.1) и раскрывая двойное векторное произведение, получаем
k ×
k ×E=k(kE) −Ek
2
= −
2
ω
D. (4.3)
2
c
1.4. Дисперсионное уравнение 13
То же в тензорных обозначениях имеет вид
2
k
αkβEβ
− k2δαβEβ+
ω
εαβEβ=0 (4.4)
2
c
или
2
L
αβEβ
=0,Lαβ= kαkβ− k2δαβ+
ω
εαβ. (4.5)
2
c
Однородная система уравнений (4.5) имеет ненулевое решение,
если определитель матрицы L равен нулю:
det L =0. (4.6)
Уравнение (4.6) связывает между собой параметры волны
(ω иk) и называется дисперсионным уравнением. Его решения ω
(k) (вообще говоря, комплексные) определяют волны,
n
которые в данной среде могут распространяться. Таких решений, а значит, и типов волн может быть несколько, что и
отражается индексом n.Зависимостиω
(k) называются дис-
n
персионными соотношениями. Соответствующие им ненулевые
решенияE
(k) системы (4.5) определяют поляризацию волн,
n
т. е. ориентацию вектораE по отношению к волновому вектору
k и выделенным направлениям среды (если таковые есть).
Проиллюстрируем описанный выше алгоритм на примере
волн в диэлектрике с проницаемостью
ε
= ε(ω)δαβ. (4.7)
αβ
Выберем ось координат z параллельнойk.Тогдавекторное
уравнение (4.5) примет вид
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
ω
2
+
−k
ε(ω)0 0
2
c
2
0 −k
+
00
2
ω
ε(ω)0
2
c
ω
c
2
2
ε(ω)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
E
x
E
y
E
z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
=0. (4.8)
⎟
⎟
⎠
14 Глава 1
Определитель матрицы Lαβобращается в нуль в двух случаях:
2c2
k
2
ω
=
, (4.9)
ε(ω)
ε(ω)=0. (4.10)
Волны первого типа называют электромагнитными. Это —
поперечные волны (E ⊥k), у них есть две возможные поляризации (E ∈ (x, y)), и в вакуумном пределе (ε =1,D =E)они
переходят в обычные электромагнитные волны в вакууме.
Волны второго типа могут иметь только дискретный
спектр частот. Это — продольные волны (E k z). Такие
волны также называют потенциальными, поскольку в них
c
B =
k ×E=0. (4.11)
ω
1.5. Частотная и пространственная дисперсия
Говорят, что среда не обладает ни частотной, ни пространственной дисперсией, если е¨е отклик на внешнее поле является мгновенным и локальным, т. е. электрическая индукция
в любой точке в любой момент времени определяется только
электрическим полем в той же точке в тот же момент времени:
(r, t)=AαβEβ(r, t), (5.1)
D
α
ε
(r −r,t− t)=Aαβδ(r −r) δ(t −t), (5.2)
αβ
где A
— некоторая матрица с постоянными коэффициентами.
αβ
Тензор диэлектрической проницаемости при этом не зависит ни
от ω,ниотk:
=Aαβδ(ρ) δ(τ ) e
ε
αβ
−ikρ+iωτ
dρdτ = Aαβ. (5.3)
Полное отсутствие дисперсии — это идеализация, справедливая с некоторой точностью в некотором частотном диапазоне. В действительности, все среды обладают дисперсией.
1.6. Связь тензора диэлектрической проницаемости с ε, μ и σ15
Говорят, что среда обладает частотной дисперсией, если е¨еотклик на внешнее поле не является мгновенным:
D(r, t) зависит отE(r, t
),t<t, (5.4)
или, что эквивалентно, тензор диэлектрической проницаемости
зависит от частоты: ε
= εαβ(ω).
αβ
Соответственно среда обладает пространственной дисперсией, если
D(r, t) зависит отE(r
или ε
= εαβ(k). Разумеется, среда может обладать и про-
αβ
странственной, и частотной дисперсией: ε
,t),r = r, (5.5)
= εαβ(k,ω).
αβ
Отметим, что в силу (3.9) в отсутствие частотной дисперсиитензорпроводимостидолжензависетьотчастотылинейно.
Рис. 1. Движение электрона в магнитном поле.
Простым примером среды с дисперсией может служить
газ свободных электронов, вращающихся в магнитном поле
(рис. 1). Электронный ток в точке B, а значит, и векторD зависят от величины электрического поля в точке A, которое было
там во время нахождения там электрона.
1.6. Связь тензора диэлектрической
проницаемости с обычными ε, μ и σ
При небольших частотах электродинамические свойства
среды можно описывать как тензором диэлектрической проницаемости, так и «обычными» статическими ε (диэлектрической
16 Глава 1
проницаемостью), μ (магнитной проницаемостью) и σ (проводимостью). Найдем, как эти два способа описания соотносятся
между собой.
Пусть среда в некоторой области частот характеризуется
постоянными значениями ε, μ и σ. Из определений ε и μ находим векторы поляризации и намагниченности:
M =
P =
B −H
4π
D −E
4π
=
=
1 − 1/μ
4π
ε − 1
E, (6.1)
4π
μ − 1
B =
B. (6.2)
4πμ
С их помощью из формулы
∂P
j =
+ c rotM + σE (6.3)
∂t
и уравнения Максвелла
B =
c
ω
k ×E
(6.4)
находим фурье-образ тока среды:
j = −iω
ε − 1
4π
E +
ic
2
4πμω
(μ − 1)
k ×
k ×E+ σE. (6.5)
Коэффициенты пропорциональности между компонентами тока
и электрического поля составляют тензор проводимости:
2
ω(ε − 1)
=
σ
αβ
4πi
δ
αβ
−
(μ − 1)
c
4πiμω
− k2δαβ)+σδαβ, (6.6)
(k
αkβ
откуда с помощью (3.9) получаем
2
(k2δαβ− kαkβ). (6.7)
2
μω
ε
αβ
= εδαβ+
4πiσ
ω
(μ − 1)c
δ
+
αβ
Как видно, среда с отличной от единицы магнитной проницаемостью обладает пространственной дисперсией, а значит, и
нелокальностью отклика на поле. Из выражения (6.7) также
ясно, почему тензор диэлектрической проницаемости неудобен
для решения статических задач: он имеет полюс при ω → 0.
1.7. Диссипация энергии волны 17
1.7. Диссипация энергии волны
Умножим уравнение (1.2) скалярно наB ивычтемизнего
уравнение (1.1), умноженное наE:
1
B rotE −E rotB = −
2
+ B
8π
2
+ div
∂t
E
∂
∂
E
2c
∂t
c
E ×B
4π
Мы получили уравнение баланса энергии электромагнитного
поля. Первый член в левой части (7.1) — это изменение энергии поля в единице объ¨ема, второй член обусловлен потоком
электромагнитной энергии. Члены в правой части соответствуют поглощению энергии волны вследствие диссипации и работе
поля против стороннего тока.
Выведем универсальную формулу для средней мощности Q, выделяющейся в среде вследствие диссипации волны.
По определению,
Q = jE, (7.2)
где угловые скобки означают усреднение по периоду. В плоской
гармонической волне
E(ξ)=
j(ξ)=
1
2
E(q) e
1
j(q) e
2
iqξ
+E∗(q) e
iqξ
2
+ B
4π
2
(j +j
−
c
= −jE −j
−iqξ
стор
E. (7.1)
стор
, (7.3)
+ к.с., (7.4)
)E,
где индекс ∗ означает комплексное сопряжение, а буквы «к.с.»
— комплексно-сопряженные слагаемые. Отсюда
Q =
1
E(q)j(q) e
4
1
4
1
4
E(q)j
E
σ
α
=
=
2iqξ
+E(q)j∗(q)+к.с.=
∗
(q)+E∗(q)j(q)=
∗
∗
β
+ E
∗
σαβE
α
αβ
E
1
σ
=
β
αβ
4
+ σ
∗
βα
E
∗
Eβ. (7.5)
α
При выводе формулы (7.5) мы опустили быстроосциллирующие
слагаемые и переобозначили некоторые индексы.
18 Гл ава 1
Будем обозначать эрмитовы и антиэрмитовы части тензоров индексами H и A:
a
αβ
H
a
=
αβ
βα
,a
2
A
αβ
a
=
∗
+ a
αβ
− a
2
∗
βα
,a
αβ
= a
H
αβ
+ a
A
αβ
.
(7.6)
Из (7.5) следует, что мощность диссипации волны определяется эрмитовой частью тензора проводимости:
1
H
∗
σ
E
Q =
2
Eβ. (7.7)
αβ
α
Заметим, что эта формула, как и определение средней мощности диссипации, имеет смысл только при слабом затухании
волны. Но если волна затухает слабо и можно считать е¨ечастоту действительной, то в силу (3.9)
H
=
σ
αβ
8πi
ε
− ε
αβ
ω
∗
βα
ωε
αβ
=
4πi
(7.8)
A
и мы получаем, что мощность диссипации определяется антиэрмитовой частью тензора диэлектрической проницаемости:
iω
A
∗
ε
E
Q = −
8π
Eβ. (7.9)
αβ
α
1.8. Энергия и импульс волны
По определению, энергией волны W считается разность
между энергией возмущенной среды (с волной) и энергией
невозмущенной среды (без волны). Энергия волны может быть
как положительной, так и отрицательной (что случается, если среда не находится в термодинамическом равновесии). Это
определение, как и само понятие энергии волны, имеет смысл
только для медленно нарастающих или затухающих волн, когда амплитуда возмущения мало меняется в течение периода
волны.
Энергия волны связана с мощностью диссипации. Действительно, рассмотрим бесконечную плоскую волну, затухающую с декрементом γ:
−γt
|E|∝e
. (8.1)
1.8. Энергия и импульс волны 19
Мощность диссипации, квадратичная по электрическому полю,
убывает с удвоенным декрементом:
−2γt
e
Q = Q
0
∝|E|2, (8.2)
откуда следует баланс энергии в волне:
dW
= −Q = −Q
dt
−2γt
e
. (8.3)
0
Интегрируя (8.3), находим начальную энергию волны:
∞
W
=
Qdt =
0
0
Q
0
. (8.4)
2γ
Значит, в любой момент времени
Q
W =
. (8.5)
2γ
Чтобы воспользоваться этой формулой, нужно знать декремент затухания волны. Найдем его из уравнения (4.5), полагая в последнем
ω = ω
− iγ, γ ω0. (8.6)
0
Обозначим
2
H
L
(ω)=kαkβ− k2δαβ+
αβ
ω
H
ε
. (8.7)
αβ
2
c
Поскольку мы считаем волну слабозатухающей, а за затухание
волны отвечает антиэрмитова часть ε
H
(ω)+
L
αβ
2
ω
A
ε
αβ
2
c
, то в уравнении
αβ
(ω)Eβ=0 (8.8)
можно второе слагаемое в скобках считать малым и произвести разложение по малым параметрам. В нулевом порядке по
A
малостям γ и ε
αβ
имеем
H
L
(ω0)E0β=0, (8.9)
αβ
20 Гла ва 1
откуда стандартным способом (п. 1.4) находим в первом приближении дисперсионное соотношение ω
волныE
. Удержим теперь в уравнении (8.8) также слагаемые,
0
(k) и поляризацию
0
содержащие малые параметры в первой степени:
H
(ω0) − iγ
L
αβ
Свернем равенство (8.10) с вектором E
H
L
имеем
αβ
∗
E
L
0α
H
(ω0)
∂L
αβ
∂ω
0
H
(ω0)Eβ= Eβ· L
αβ
2
ω
0
A
+
ε
(ω0)Eβ=0. (8.10)
αβ
2
c
∗
.Всилуэрмитовости
0α
H∗
βα
(ω0)E
∗
=0, (8.11)
0α
что позволяет найти γ из (8.10):
−iγ
∂ω
2
H
ε
ω
0
∂
0
αβ
c
(ω0)
2
2
ω
0
A
ε
c
2
(ω0)E
αβ
+
∗
Eβ=0,
0α
γ = −
2εA
iω
∂
∂ω
αβ
2εH
ω
(ω)E
αβ
(ω)
∗
E
β
α
; (8.12)
∗
E
E
β
α
в уравнении (8.12) мы пренебрегли малым отличием между ω
,E иE0.
и ω
0
Подставляя (8.12) и (7.9) в (8.5), получаем удобную и
очень универсальную формулу для нахождения энергии волны по диэлектрической проницаемости:
W =
1
16πω
∂
2εH
ω
∂ω
αβ
(ω)
∗
E
Eβ. (8.13)
α
В этой формуле сначала производится дифференцирование
по ω, а потом, если нужно, подставляются дисперсионное соотношение ω(k) и поляризация для конкретной волны.
В качестве примера найдем энергию электромагнитной
волны в диэлектрике с ε =const:
= εδαβ= ε
ε
αβ
H
. (8.14)
αβ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]