Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
2.4. Теорема Томсона 71
Рис. 21. К доказательству теоремы Томсона.
Теорема Томсона гласит, что циркуляция скорости по жидкому
контуру (т. е. по контуру, движущемуся вместе с жидкостью)
при изэнтропическом течении не меняется со временем. Докажем это утверждение.
Представим элемент контураdl как разность координат
точек контура δr (рис. 21) и вычислим производную
dΓ
dt
$
d
=
dt
γ
vδr =
$
dv
dt
γ
δr +
$
dδr
. (4.2)
v
dt
γ
Первое слагаемое в правой части (4.2) характеризует изменение потока со временем, а второе — изменение самого контура.
По аналогии с (3.3) находим
∇s ≡ 0,
dv
= −∇w + ∇(gr). (4.3)
dt
Поскольку дифференцирование по времени и по пространственной координате можно переставлять, имеем
2
δv
, (4.4)
2
$
γ
2
v
δ
=0. (4.5)
2
откуда
dΓ
dt
dδr
v
= v
dt
$
∇(−w + gr)dl +
=
γ
δdr
dt
= vδv =
Теорема доказана.
72 Глав а 2
2.5. Потенциальное течение
Потенциальным (или безвихревым) называется течение, в
котором rotv ≡ 0. Если в начальный момент времени течение
было потенциальным, то и в дальнейшем оно останется потенциальным. Это следует из теоремы Томсона, примененной к
контуру, ограничивающему бесконечно малую площадку dS:
$
vdl =rotvdS =const. (5.1)
Потенциальность течения, однако, нарушается на линиях тока,
проходящих вблизи твердых тел (рис. 22). Теорема Томсона для
таких линий тока не работает, поскольку их нельзя охватить
жидким контуром.
Рис. 22. Явление отрыва струй и линии тока, на которых
нарушается потенциальность течения.
Скорость потенциально движущейся жидкости можно
представить в виде
v = ∇ϕ, (5.2)
где скалярная величина ϕ называется потенциалом скорости.
Часто потенциальное течение можно считать также и
несжимаемым. В этом случае уравнения идеальной гидродинамики получаются особенно простыми. Уравнение непрерывности переходит в уравнение
div ∇ϕ = ϕ =0, (5.3)
2.6. Потенциальное обтекание тела 73
а уравнение Эйлера по аналогии с (3.3) принимает вид
dv
dt
=
∂∇ϕ
∂t
+ ∇
v
2
2
= −∇
p
+ ∇(gr), (5.4)
ρ
откуда
∂ϕ
∂t
2
p
v
+
+
2
−gr = f(t), (5.5)
ρ
где f (t) — некая функция времени. Поскольку замена
ϕ → ϕ +f(t) dt (5.6)
не влияет на скорость течения, без ограничения общности
можно считать f (t) константой.
2.6. Потенциальное обтекание тела
Рассмотрим задачу о потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью твердого тела. В общем случае обтекание
тела не является потенциальным из-за явления отрыва струй
(рис. 22), когда линии тока отделяются от поверхности тела и
уходят вглубь жидкости. Но в случае тел особой «обтекаемой»
формы картина течения мало отличается от потенциальной.
Рис. 23. Геометрия задачи о потенциальном обтекании тела.
74 Глава 2
Пусть жидкость вдали от тела покоится, а само тело движется поступательно со скоростью u (рис.23). Движение жид-
кости определяется уравнением Лапласа ϕ =0с граничными
условиями
0, (6.1)
r→∞
на поверхности тела, (6.2)
un
= vn0=
0
ϕ −−−→
∂ϕ
∂n
0
где вектор r отсчитывается от какой-либо точки внутри тела, а
— нормаль к поверхности тела. Общее решения уравнения
n
0
Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, имеет вид
+A∇
1
+ b
r
ϕ =
a
r
Бесконечного ряда коэффициентов a,A, b
ik
∂xi∂x
2
∂
1
+ .... (6.3)
r
j
, ... здесь достаточ-
ik
но, чтобы удовлетворить условию (6.2) на поверхности любого
«обтекаемого» тела.
Характер движения жидкости вблизи тела существенно
зависитотегоформы.Набольшихжерасстоянияхвсеопределяется первыми членами ряда (6.3), которые медленнее всего
убывают с ростом r:
ar
v = ∇ϕ = −
r
3
−∇
Если объ¨ем тела V
Ar
= −
3
r
неизменен, то a =0,посколькусуммар-
0
an
r
+
2
3(An)n −A
3
r
,n =
r
. (6.4)
r
ный поток жидкости через сферу большого радиуса должен
равняться нулю. Таким образом, поле скоростей вдали от тела
определяется векторомA. Из линейности уравнения Лапласа
и гранусловий к нему следует, что v ∝ u.Поэтому
= αikuk, (6.5)
A
i
где α
— постоянный тензор, зависящий от формы и ориента-
ik
ции тела.
Найдем полную кинетическую энергию жидкости E.Для
этого, чтобы избежать математических трудностей, найдем
2.6. Потенциальное обтекание тела 75
энергию жидкости внутри сферы радиуса R иустремимR к
бесконечности. В силу тождества
div(ϕ + ur)(v −u)=
=(v −u)∇(ϕ + ur)+(ϕ + ur) div (v −u)=(v + u)(v −u)
имеем
E =
=
ρ
2
V −V
ρu
2
v2dV =
0
2
(V − V
=
ρu
2
2
ρ
2
)+
0
(V − V
V −V
ρ
2
V −V
2
u
+(v + u)(v −u)dV =
0
div(ϕ + ur)(v −u)dV =
0
ρ
0
)+
(ϕ + ur)(v −u) dS, (6.6)
2
S,S
0
где в последнем слагаемом интегрирование ведется по поверхностям сферы S ителаS
. Интеграл по поверхности тела за-
0
нуляется в силу условия (6.2):
(v −u) dS =(un
−vn0) dS =0, (6.7)
0
а в интеграле по большой сфере достаточно оставить только
первые ненулевые члены в выражениях для скорости и потенциала. Вводя элемент телесного угла dΩ, преобразуем этот
интеграл:
S
=
Ar
−
r
=
−
≈
3
+ ur
An
2
R
3(An)n −A
r
−ur2ndΩ=
3
+ R(un)
3
(un)2+3(An)(un)dΩ=
−R
=−R
2(An)
3
R
3
uiuk+3Aiu
−unR2dΩ ≈
n
k
dΩ. (6.8)
ink
76 Гла ва 2
Интегрирование по dΩ эквивалентно усреднению подынтегрального выражения по всем направлениям вектора n иумно-
жению затем на 4π:
n
ink
dΩ=
4πδ
ik
, (6.9)
3
откуда
E =
ρu
2
2
(V − V
0
)+
2πρ
3
−R
3u2
+3(Au). (6.10)
Большие слагаемые в (6.10) сокращаются, и мы получаем
где тензор m
ρ
E =
называется тензором присоединенных масс:
ik
4πuA − V
2
=4πραik− ρV0δik. (6.12)
m
ik
m
2
u
0
ikuiuk
=
, (6.11)
2
Очевидно, он симметричен (энергия (6.11) не меняется при перестановке индексов).
Чтобы определить импульсP движущейся жидкости, заметим, что изменения энергии dE иимпульсаdP связаны соотношением
dE =Fdl =Fudt= udP, (6.13)
гдеF — полная сила, действующая на жидкость со стороны
тела, аdl —смещениетелазавремяdt.Следовательно,
u
idPi
= dE =
P
= mikuk,
i
m
ikduiuk
2
m
ikuiduk
+
P = −ρV0u +4πρA. (6.14)
= m
2
ikuiduk
,
Со стороны жидкости на тело действует силаF
F
= −Fi= −
Ti
dP
i
dt
= m
du
k
. (6.15)
ik
dt
:
T
Параллельная скорости u составляющая этой силы называется
силой сопротивления, а перпендикулярная — подъемной силой.
2.7. Вихревое движение жидкости 77
Интересно отметить, что при потенциальном течении полная
сила, действующая на равномерно движущееся тело, равна нулю (так называемый парадокс Даламбера). Это есть следствие
упрощенной модели обтекания. В действительности небольшая
сила появляется из-за непотенциальности течения и неидеальности жидкости.
Уравнение движения тела в жидкости принимает вид
du
M
=f +F
dt
, (6.16)
T
где M —массатела,аf — внешняя сила. Это уравнение
можно переписать в форме
f
= M
i
du
dt
d
i
+
(m
dt
)=(Mδik+ mik)
ikuk
du
k
, (6.17)
dt
откуда понятно происхождение термина «присоединенная масса»: при движении в жидкости масса тела как будто бы увеличивается на эту величину.
2.7. Вихревое движение жидкости
Пусть теперь rotv =0. Введем завихренность жидкости ω
согласно определению
ω =rotv (7.1)
и найдем закон е¨е изменения в несжимаемой жидкости. Взяв
ротор уравнения Эйлера в форме
+ ∇
2
v
− [v × rotv]=−∇
2
∂v
∂t
получаем
∂ω
=rot[v ×ω]=(ω∇)v −(v∇)ω (7.3)
∂t
или
dω
=(ω∇)v. (7.4)
dt
Уравнение вида (7.3) или (7.4) называется уравнением
вмороженности (величины ω в жидкость). Чтобы выяснить
p
+ ∇(gr), (7.2)
ρ
78 Глав а 2
Рис. 24
свойства этого уравнения, найдем закон изменения расстояния
δr между двумя близкими точками жидкости (рис. 24). Имеем
dt
d
=
−r1)=v2−v1=(δr∇)v. (7.5)
(r
2
dt
dδr
Итак, закон изменения завихренности ω и элемента жидкой
линии δr одинаков. Следовательно, если в начальный момент
времени мы выберем δr ω,тоивдальнейшембудетδr ω,
прич¨ем |ω|∝|δr|. Иными словами, если в начальный момент
покрасить вихревую линию (т. е. линию, всюду параллельную
ω), то и в дальнейшем вихревая линия будет совпадать с покрашенной кривой, прич¨ем завихренность будет пропорционально
увеличиваться при удлинении этой кривой.
Проиллюстрируем действие уравнения вмороженности на
нескольких примерах. Для начала рассмотрим отдельный прямолинейный вихрь, т. е. такое течение жидкости, при котором
ω =constв некоторой цилиндрической области:
ω =(0, 0,ω
ω =0,r a,
),r<a,
0
=const (7.6)
ω
0
(рис. 25, а). В силу симметрии задачи из (7.1) находим скорость
течения:
⎧
ω
r
0
v =(0,v
, 0),vϕ=
ϕ
⎪
⎨
⎪
⎩
,r<a,
2
2
ω
a
0
,r a.
2r
(7.7)
Поскольку ∇v
⊥ ω,то
ϕ
(ω∇)v =0 (7.8)
и скорость течения не меняется со временем. Таким образом, собственное поле скоростей не влияет на прямолинейный
вихрь.
2.7. Вихревое движение жидкости 79
Рис. 25. Прямолинейный вихрь (а), два вихря противопо-
ложных знаков (б), два одинаковых вихря (в), вихревое
кольцо (г).
Если на расстоянии R a друг от друга окажутся два параллельных друг другу прямолинейных вихря, различающихся
только знаком, то вихрь 1 будет крутиться как целое в собственном поле скоростей и смещаться по y со скоростью
2
a
ω
0
=
v
y
2R
(7.9)
в поле скоростей вихря 2 (рис. 25, б). В том же направлении
истойжескоростьюбудетдвигатьсяивихрь2.Этамодель
также описывает поведение отдельного вихря около плоской
стенки. Вихрь взаимодействует с вихрем-изображением и двигается вдоль стенки со скоростью (7.9).
Два одинаковых вихря, очевидно, будут крутиться друг
вокруг друга (рис. 25, в) со скоростью (7.9).
80 Глав а 2
Зная, как ведут себя отдельные прямолинейные вихри,
можно понять качественную картину движения вихревого
кольца (рис. 25, г). Противоположные участки кольца в данном случае выступают подобно разноименным прямолинейным
вихрям и создают поле скоростей, в котором кольцо движется
как целое перпендикулярно своей плоскости.
2.8. Вязкая жидкость
В вязкой жидкости тензор напряжений имеет вид
π
= −pδαβ+ σαβ. (8.1)
αβ
В нем появляется добавочное слагаемое σ
,называемоевяз-
αβ
ким тензором напряжений и обусловленное силами внутреннего трения между слоями жидкости. Соответственно компоненты полной силы, действующей в жидкости на единичную
площадку dS,равны
= −παβnβ= pnα− σαβnβ, (8.2)
F
α
где n —нормалькплощадке(рис.26).
Рис. 26
Сила внутреннего трения появляется при неоднородном
движении жидкости. Величина этой силы линейно зависит от
первых производных компонент скорости по координатам, так
что
= A
∂v
∂x
σ
αβ
α
β
+ B
∂v
∂x
β
α
+ Cδ
αβ
∂v
∂x
γ
γ
, (8.3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]