Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
1.21. Нелинейная проницаемость 51
Рис. 14. Черенковский конус (а), излучение кванта отдель-
ной частицей (б).
Черенковское излучение можно также представить как
излучение квантов волны отдельными частицами (рис. 14, б).
Условие черенковского резонанса в этом случае появляется как
следствие сохранения энергии-импульса в единичном акте взаимодействия. Действительно, энергия иимпульсp частицы
связаны как
откуда
ω =
2
= p2c2+ m2c4, (20.26)
2
c
Δ
∂
k
=
∂p
p
=
k =kv. (20.27)
1.21. Нелинейная проницаемость
Нелинейные поправки в зависимостиD(E),дажебудучи
малыми по сравнению с линейными членами, могут существенно влиять на поведение волн, поскольку это влияние накапливается со временем и приводит к качественно новым эффектам.
С учетом этих поправок связь междуD иE воднороднойстационарной среде будет такой:
D
D
(n)
α
(1)
(ξ)=ε
α
(ξ)=ε
(1)
D =D
(1)
(ξ −ξ1) Eβ(ξ1) dξ1,ξ=(r, t), (21.2)
αβ
(n)
αβ
(ξ −ξ1,...,ξ− ξn)×
...β
1
n
× E
(2)
+D
(ξ1) ... E
β
1
+D
(3)
+ ..., (21.1)
(ξn) dξ1...dξn. (21.3)
β
n
52 Гл ава 1
В истинно изотропных средах без пространственной дисперсии четные члены ряда (21.1) тождественно равны нулю.
Действительно, при зеркальном отражении векторыD иE меняют знак. Значит, ядро интегрального оператора (21.3) при
четном n должно тоже сменить знак, чего не может быть, поскольку в тензор ε
(n)
αβ
могут входить только инвариантные
...β
1
n
тензоры и истинные скаляры.
По аналогии с линейной диэлектрической проницаемостью
(3.5)
ε
(q)=ε
αβ
(1)
αβ
(Δξ) e
−iqΔξ
dΔξ, q =(k, −ω), (21.4)
можно ввести нелинейные проницаемости второго порядка
ε
αβγ(q1,q2
)=ε
(2)
(Δξ1, Δξ2) e
αβγ
−iq1Δξ1−iq2Δξ
2
dΔξ1dΔξ
2
(21.5)
ипорядкаn
ε
αβ1...β
(q1, ...,qn)=ε
n
−iq1Δξ1− ...−iqnΔξ
× e
(n)
αβ
(Δξ1,...,Δξn)×
...β
1
n
n
dΔξ1...dΔξn. (21.6)
Этими нелинейными проницаемостями определяется характер
взаимодействия между волнами.
1.22. Трехволновое взаимодействие
Трехволновое взаимодействие — эффект второго порядка
по амплитуде поля. Следовательно, чтобы трехволновое взаимодействие было возможным, среда должна обладать либо
пространственной дисперсией, либо зеркальной изомерией (за
счет сложных молекул, сложной кристаллической решетки или
внешнего магнитного поля).
Пусть в среде есть волна с электрическим полем
E =E
iqξ
e
0
+E
∗
−iqξ
e
. (22.1)
0
1.22. Трехволновое взаимодействие 53
Нелинейная добавка к электрической индукции будет иметь
вид
=ε
e
0β
(2)
(ξ −ξ1,ξ− ξ2)×
αβγ
iqξ
1
+ E
0β
∗
e
−iqξ
1
iqξ
E
e
0γ
2
+ E
0γ
∗
−iqξ
e
2
dξ
1dξ2
=
(2)
D
α
×E
=ε
= E
(2)
(ξ −ξ1,ξ− ξ2)E0βE0γe
αβγ
+E
E
0β
2iqξ
e
ε
0βE0γ
(q, q)+E0βE
αβγ
∗
iq(ξ1−ξ)+iq(ξ−ξ2)
e
0γ
iq(ξ1−ξ)+iq(ξ2−ξ)+2iqξ
+ к.с.dξ1dξ2=
∗
ε
(q, −q)+к.с., (22.2)
αβγ
0γ
+
где буквы ‘к.с.’ означают комплексно сопряженные слагаемые.
В уравнении Максвелла эта нелинейная добавка будет стоять
на месте стороннего тока:
(1)
1
iω
2π
c
ε
∂D
∂t
αβγ
rotB =
(2)
∂D
1
4π
∂t
α
= −
(2)
j
=
α
4π
(2)
+
j
c
(q, q) E0βE0γe
, (22.3)
2ikr−2iωt
− к.с.
(22.4)
Если в данной среде может существовать волна с частотой 2ω,
волновым вектором 2k и электрическим полем, не перпенди-
кулярнымj
(2)
, то она раскачается нелинейным током (22.4).
Этот эффект называется генерацией второй гармоники. Даже
если нелинейные слагаемые малы, амплитуда второй гармоники может стать большой за счет большого времени раскачки.
Если же волна (2k, 2ω) запрещена дисперсионным соотноше-
(2)
нием или разрешена, но имеет полеE ⊥j
,торезонансной
раскачки не будет и влияние нелинейных поправок останется
малым.
Изменение энергии второй гармоники (W
)засчетнели-
2
нейных процессов можно найти по аналогии с разделом 1.7
(формула (7.5) для работы тока):
dW
dt
2
=
= −
iω
2π
ε
αβγ
(q, q) E
∗
E0βE0γ+ к.с., (22.5)
02α
(2)
E
j
2
54 Глав а 1
где
E
=E02e
2
— поле второй гармоники. Поскольку W2∝|E02|2, то из (22.5)
(после сокращения на E
2iqξ
∗
) следует линейность роста амплиту-
02
+E
∗
−2iqξ
e
02
ды второй гармоники со временем.
Аналогично, если изначально в среде было две волны
) и (k2,ω2), то в результате трехволнового взаимодей-
(k
1,ω1
ствия возникнут волны с комбинационными частотами (k
+k
+ ω2), (k1−k2,ω1−ω2), (2k1, 2ω1), (2k2, 2ω2),если
2,ω1
+
1
они могут существовать как свободные волны и их раскачка
не запрещена неудачным направлением электрического поля.
Для описания трехволновых взаимодействий удобно вве-
сти амплитуду волны a(t) согласно определению:
2
|a(t)|
= N =
где N — число квантов волны в единице объ¨ема, аE
W
ω
,
E
(t)=a(t)Ep, (22.6)
0
—по-
p
стоянный вектор (не единичный), характеризующий специфику
данной волны, т. е. е¨е поляризацию и коэффициент пропорциональности между |E
|2и W .
0
Пусть дисперсионными соотношениями разрешено только
взаимодействие
)+(k2,ω2) −→ (k3,ω3), (22.7)
(k
1,ω1
=k1+k2,ω3= ω1+ ω2. (22.8)
k
3
По аналогии с генерацией второй гармоники для изменения
амплитудытретьейволныимеем
= V3a1a2, (22.9)
˙a
3
где точка означает производную по времени, а все не зависящие от времени коэффициенты обозначены V
. После появле-
3
ния третьей волны становятся возможными обратные к (22.7)
процессы:
(k
)+(−k2, −ω2) −→ (k1,ω1), (22.10)
3,ω3
)+(−k1, −ω1) −→ (k2,ω2). (22.11)
(k
3,ω3
1.22. Трехволновое взаимодействие 55
Они приводят к изменению амплитуд исходных волн:
= V1a3a
˙a
1
∗
, ˙a2= V2a3a
2
∗
, (22.12)
1
где комплексно-сопряженные амплитуды появляются как коэффициенты перед e
Рис. 15. Трехволновое взаимодействие как взаимодействие
квантов волны: (а) все три волны имеют положительную
энергию, (б) волна 3 имеет отрицательную энергию.
−iqξ
.
Законы сохранения энергии и импульса требуют, чтобы
создание одного кванта третьей волны тратилось по одному
кванту исходных (рис. 15, а):
ΔN
= −ΔN1= −ΔN2. (22.13)
3
Следствием этого факта являются соотношения
|a
|2+ |a3|2=const, (22.14)
1
|2+ |a3|2=const, (22.15)
|a
2
|2−|a2|2=const (22.16)
|a
1
(соотношения Мэнли — Роу) и связь между коэффициентами
V
, V2и V3. Чтобы получить эту связь, продифференцируем,
1
например, (22.14) по времени:
d
dt
(a
∗
a
1
1
+ a3a
∗
)= ˙a1a
3
= V
= a
1a3
1a2
∗
+˙a3a
1
a
∗
a
3
∗
∗
a
+ V3a1a2a
2
1
(V3+ V
∗
+ к.с. =
3
∗
+ к.с. =
3
∗
)+к.с. =0. (22.17)
1
56 Глав а 1
Равенство (22.17) выполняется при любых амплитудах волн.
Следовательно, V
имеем V
2
= −V
1
∗
3
∗
= −V
. Аналогично, из соотношения (22.15)
3
. Мы получили, что нелинейная эволюция
всех трех волн описывается только одним комплексным коэффициентом:
˙a
= −V∗a
1
= −V∗a
˙a
2
˙a
= Va1a2. (22.20)
3
∗
a3, (22.18)
2
∗
a3, (22.19)
1
Уравнения (22.18)–(22.20) называются уравнениями Бломбергена. Они единообразно (с точностью до коэффициента V )описывают любые трехволновые взаимодействия в электродинамике сплошных сред.
Рис. 16. Возможные состояния системы (толстые линии) при
различных начальных соотношениях амплитуд. Все три вол-
ны имеют положительную энергию.
Кроме (22.14)–(22.16) при трехволновом взаимодействии
сохраняется также суммарная энергия волн:
|2+ ω2|a2|2+ ω3|a3|2=const. (22.21)
ω
1|a1
Несложно убедиться, что из четырех выписанных выше инвариантов только два являются независимыми. Эти инварианты
1.23. Самофокусировка 57
помогают определять характер трехволнового взаимодействия.
Например, условие (22.21) задает в пространстве (|a
|, |a2|, |a3|)
1
эллипсоид, а условие (22.16) — цилиндр (рис.16). Пересечением этих двух поверхностей будет некая трехмерная кривая,
которая и ограничивает возможные состояния системы (т. е.
значения |a
|, |a2|, |a3|) при данном взаимодействии.
1
Если одна из взаимодействующих волн имеет отрицательную энергию, то законы сохранения числа квантов меняются.
Например, при отрицательной энергии волны 3 (рис. 15, б) имеем
ΔN
= ΔN2= ΔN3. (22.22)
1
Соответственно, соотношения (22.14)–(22.21) слегка изменяются.
1.23. Самофокусировка
Самофокусировка — это эффект третьего порядка по амплитуде поля, одно из возможных проявлений четырехволнового взаимодействия. За самофокусировку отвечает нелинейная
добавка к электрической индукции на частоте исходной волны.
В терминах слияния отдельных волн самофокусировку можно
представить как
(k, ω)+(k,ω)+(−k, −ω) −→ (k, ω). (23.1)
Будучи эффектом третьего порядка, самофокусировка возможна в истинно изотропных средах без пространственной
дисперсии. Рассмотрим далее именно такую среду. Тогда зависимостьD(E) не будет содержать квадратичных поE слагаемых и примет вид
D = ε(ω)E + α(ω)
∗
E
E + β(ω)
E
E
E
∗
. (23.2)
E
Несложно убедиться, что других нелинейных членов, содержа-
∗
щих дваждыE (волны (k, ω))иодинразE
(волна (−k, −ω)),
построить нельзя. Другие четырехволновые взаимодействия
(генерация третьей гармоники) нас пока не интересуют, потому соответствующие им нелинейные слагаемые опущены.
58 Глава 1
ВекторE∗,вообщеговоря,непараллеленE.Например,
прикруговойполяризацииволныE
∗
иE вращаются в проти-
воположные стороны:
⎛
E ∝
⎝
⎞
1
⎠
i
,
0
⎛
⎞
∗
E
1
⎝
⎠
−i
∝
. (23.3)
0
Это усложняет анализ самофокусировки. Однако в частных
∗
случаях линейной (E E
)икруговой(EE =0) поляриза-
цииволнвекторыD иE всегда параллельны и можно считать
2
D =ε(ω)+η(ω)|E|
E. (23.4)
Далее рассмотрим именно такой случай. Также будем считать
нелинейные добавки малыми:
|η(ω)|·|E|
2
ε(ω). (23.5)
Найдем закон изменения почти монохроматического лока-
лизованного пакета электромагнитных волн:
√
ω
E =E
0
гдеE
(r, t) — медленно меняющаяся функция. Для этого ис-
0
(r, t) e
ik0z−iωt
,k0=
ε
, (23.6)
c
ключим из уравнений Максвелла быстроосциллирующие экспоненты. Из (1.2) и (1.13) имеем
rot rotE = ∇divE −E = −
(1)
D
∂
1
2
2
c
∂t
2
(3)
D
1
∂
−
2
c
∂t
. (23.7)
2
2
Из уравнения
2
divD =(ε + η|E|
) divE +E∇(η|E|2)=0 (23.8)
находим, что дивергенцияE содержитсразудвамалыхпараметра (η и градиент от медленно меняющейся функции):
2
, (23.9)
2
divE = −
ηE∇|E|
ε + η|E|
ипотомув(23.7)слагаемымсdivE можно пренебречь.
1.23. Самофокусировка 59
По определению лапласиана
2
∂
∂z
E =
2
#
2
∂E
0
∂z
E
∂
0
0
2
ik0z−iωt
e
, (23.10)
−
∂z
+
−E =
="−
2
∂
∂x
E
⊥
0
2
+ k
2
∂
+
2
∂y
2
E
− 2ik
0
0
где
2
∂
=
⊥
∂x
2
∂
+
2
. (23.11)
2
∂y
Последним слагаемым в квадратной скобке в уравнении (23.10)
можно пренебречь, так как оно имеет второй порядок малости
(вторую производную от медленно меняющейся функции).
При вычислении правой части (23.7) нужно учесть, что
локализованный волновой пакет не может быть строго монохроматическим. Для разных частотных гармоник его спектра
проницаемость ε разная. Чтобы корректно учесть это обстоятельство (частотную дисперсию), разложимE
на монохрома-
0
тические гармоники до взятия производной:
2
(1)
D
∂
1
2
c
1
=
2
c
∂
∂t
∂t
=
2
2
2
√
1
2π
ε(ω +
Δω)
E0(Δω) e
−iΔωt
dΔω · e
ik0z−iωt
=
= −
1
√
2
c
2π
ε(ω +
Δω)(ω + Δω)
2
E
(Δω) e
0
ik0z−i(ω+Δω)t
dΔω.
(23.12)
Поскольку амплитуда пакета меняется медленно, то его спектр
узок (
Δω ω), и можно разложить подынтегральное выраже-
60 Глава 1
ние в ряд, после чего заменить Δω на i∂/∂t:
2
(1)
D
1
∂
2
c
= −
= −
=−k
2
∂t
ik0z−iωt
e
√
2
c
2
ω
ε
E
2
c
2
E
0
=
2π
ik0z−iωt
e
0
− i
0
2
ω
ε(ω)+Δω
i
∂ω2ε
−
2
∂ω
c
2
∂k
∂E
0
∂ω
0
∂t
ik0z−iωt
e
∂ω
∂ω
∂E
∂t
2
ε
0
e
=
E
(Δω) e
0
ik0z−iωt
=
2ik
∂E
0
2
=−k
где v
= dω/dk0— групповая скорость электромагнитной вол-
g
E
−
0
0
0
ik0z−iωt
∂t
e
v
g
ны.
(3)
ВпроизводнойотD
поправки не нужно, посколькуD
удерживать малые дисперсионные
(3)
уже содержит малый па-
раметр η:
2
(3)
1
D
∂
2
2
c
∂t
= −
2
ω
2
ik0z−iωt
E
η|E|
2
c
e
0
Подставляя (23.10), (23.13) и (23.14) в (23.7), имеем
−iΔωt
dΔω =
, (23.13)
. (23.14)
∂E
E
−
∂
∂z
− 2ik
⊥
0
1
∂
+
v
g
∂t
0
−
0
∂z
E
= −
0
2ik
1
2ik
v
0
∂E
0
g
∂t
E
⊥
2
0
ω
−
ω
−
0
η|E|
2
c
2
η|E0|
2ik0c
2
E
0
2
E
0
2
=0,
. (23.15)
Комбинация производных в левой части (23.15) выражает собой
тот факт, что возмущения амплитуды переносятся в направлении распространения волны с групповой скоростью. Первое
слагаемое в правой части ответственно за дифракционное расширение пакета. Уравнение (23.15) с η =0известно как параболическое уравнение теории дифракции. По своей форме оно
совпадает с уравнением диффузии (с мнимым коэффициентом
диффузии i/2k
).
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]