Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
1.18. Предвестник 41
Рис. 9. Электромагнитная волна и предвестник в среде с ча-
стотной дисперсией.
1.18. Предвестник
Если электромагнитное поле на границе среды включается скачком (как в предыдущем разделе), то в его спектре
присутствуют гармоники с большими частотами, для которых
ε(ω) → 1. Высокочастотные гармоники распространяются в
среде со скоростью света и образуют предвестник — короткий электромагнитный импульс, который бежит перед передним фронтом основного волнового пакета (рис. 9). Рассмотрим
это явление количественно.
В случае электромагнитных волн функция k(ω),каки
ε(ω), аналитична в верхней полуплоскости. Следовательно, мы
можем поднять контур интегрирования в (17.5) так, чтобы он
Рис. 10. Видоизменения контура интегрирования в задаче о
предвестнике.
42 Глава 1
всюду проходил по области больших частот, где верна асимптотика (15.13) (рис. 10, а). При больших ω имеем
k(ω) ≈
1 −
ω
ω
ω
c
2
p
ω
1 −
≈
c
2
2
ω
p
, (18.1)
2
2ω
откуда
E(x, t)=
iA
2π
C
dω
ω − ω0+ iδ
exp
iωx
1 −
c
ω
2ω
2
p
2
− iωt.
Малой добавкой в знаменателе можно пренебречь:
E(x, t)=
iA
2π
dω
expiω
ω
C
x
− t−
c
ixω
2ωc
2
p
. (18.2)
Поведение подынтегрального выражения при удалении от действительной оси определяется знаком выражения x/c − t,стоящего в показателе экспоненты. При x>ctподынтегральное
выражение экспоненциально убывает при удалении от действительной оси вверх, поэтому
E(x, t)=0,x>ct. (18.3)
При x<ctэкспонента мала в нижней полуплоскости, по-
тому интеграл (18.2) не изменится, если контур C замкнуть
через нижнюю полуплоскость по большой полуокружности
(рис. 10, а). Замкнутый контур, в свою очередь, привед¨ем к
окружности большого радиуса R (рис. 10, б):
iϕ
,dω= iReiϕdϕ, (18.4)
2
iR(ct − x)
c
ixω
iϕ
e
p
−iϕ
2Rc
e
.
−
E(x, t)=
iA
2π
−π
π
ω = Re
idϕ exp−
(18.5)
Для вычисления интеграла (18.5) выберем
R =
2
xω
p
2(ct − x)
. (18.6)
1.19. Переходное излучение 43
Тогда
π
E(x, t)=
A
2π
exp−
−π
iω
p
2x(ct − x)cosϕdϕ. (18.7)
c
Этот интеграл выражается через функцию Бесселя:
π
1
−iα cos ϕ
e
2π
−π
E(x, t)=AJ
dϕ = J0(α), (18.8)
ω
p
0
2x(ct − x). (18.9)
c
Заметим, что, поскольку радиус контура интегрирования R
должен быть большим, формула (18.9) применима только при
x ≈ ct.
Рис. 11. Форма предвестника.
Итак, перед волновым пакетом с резким (по сравнению со
временем ω
−1
) передним фронтом может появиться предвест-
p
ник — короткий непериодический импульс, бегущий со скоростью света (рис. 11). Если поле волнового пакета нарастает
плавно, то предвестника не возникает.
1.19. Переходное излучение
Заряженная частица, пролетая границу раздела двух сред,
излучает. Это излучение называется переходным. Переходное
44 Глав а 1
излучение появляется вследствие изменения поляризации среды, а не ускорения или замедления частицы. Поэтому переходное излучение не зависит от массы пролетающей частицы.
Рис. 12. Геометрия задачи о переходном излучении (а); ди-
польный момент системы и его производные (б).
Строгая теория переходного излучения довольно громоздка, поэтому рассмотрим частный случай перпендикулярного
влета нерелятивистской частицы из вакуума в идеальный проводник (рис. 12, а). Воспользуемся методом изображений. Суммарный дипольный момент частицы и е¨е изображения
d(t)=
2qvt, t < 0,
0,t>0,
(19.1)
где q —зарядчастицы,v —е¨е скорость, а время отсчитывается
от момента входа частицы в среду. Производные от дипольного
момента по времени равны
˙
d(t)=
2qv, t < 0,
0,t>0;
¨
d(t)=−2qvδ(t) (19.3)
(19.2)
(рис. 12, б). Спектральное распределение полной энергии ди-
1.20. Черенковское излучение 45
¨
польного излучения определяется фурье-образом
∞
¨
d(ω)=
√
1
2π
−∞
¨
d(t) e
−iωt
dt = −
d:
2qv
. (19.4)
√
2π
Оно дается функцией
2
¨
2
dI
dω
d(ω)
=
3c
1
· 2=
·
3
2
2v2
4q
. (19.5)
3
3πc
Множитель 1/2 в формуле (19.5) появляется, поскольку излучение ид¨ет только в левую половину пространства, а множитель 2 — из-за вклада отрицательных частот (при записи
спектральной интенсивности частота обычно подразумевается
положительной).
Таким образом, при входе в проводник частица равномерно излучает в широком частотном диапазоне. Проблем с расходимостью полной излученной энергии при этом не возникает,
поскольку при больших частотах
dI
ε(ω) → 1,
→ 0. (19.6)
dω
1.20. Черенковское излучение
Частица, которая движется в среде со скоростью, превышающей фазовую скорость света в этой среде, излучает
свет. Это излучение называется черенковским (П. А. Черенков,
1934).
Механизм возникновения черенковского излучения виден
на следующем примере. Пусть в среде есть электромагнитная
волна с электрическим полем
E(r, t)=E
и частица с зарядом q, движущаяся по закону r = v (рис. 13, а).
Со стороны волны на частицу будет будет действовать сила
F = qE(vt,t)=qE
ikr−iωt
e
0
i(kv −ω)t
e
0
. (20.1)
46 Глава 1
При условии
ω =kv (20.2)
эта сила не будет меняться со временем и обеспечит эффективный обмен энергией между волной и частицей: частица будет
тормозиться или ускоряться в зависимости от фазы поля. Если
до прил¨ета частицы волн в среде не было, то они появятся,
прич¨ем только такие, для которых выполняется условие черенковского резонанса (20.2).
Рис. 13. Геометрия задачи о черенковском излучении (а),
выбор переменных интегрирования по dk (б).
Как следует из изложенного выше, черенковский механизм
излучения может работать для любых волн, возможных в среде, а не только для электромагнитных. Черенковское излучение вызывается не ускорением частицы, потому оно не зависит
от массы. Поскольку черенковское излучение не связано с диссипацией, то оно обратимо: частица может как излучать волну,
так и поглощать е¨е (если волна была в среде до прил¨ета частицы). Черенковское излучение невозможно в свободном пространстве, поскольку в вакууме волна всегда бежит со скоростью света, а частица — медленнее скорости света.
Для электромагнитной волны в изотропном диэлектрике с
проницаемостью ε(ω) условие (20.2) принимает вид
kv cos θ =
kc
. (20.3)
ε(ω)
1.20. Черенковское излучение 47
Следовательно, волны с частотой ω будут излучаться только
при условии v>c/
ε(ω) иподугломθ(ω),таким,что
c
cos θ(ω)=
. (20.4)
vε(ω)
Найдем спектральную интенсивность черенковского излучения в изотропной среде с диэлектрической проницаемостью ε(ω). Для этого через преобразование Фурье найдем поле,
создаваемое заряженной частицей в месте е¨е расположения, и
вычислим работу этого поля над частицей.
Одиночная заряженная частица создает в среде ток
j(r, t)=qvδ(r −vt); (20.5)
его фурье-образ
j(k, ω)=
=
1
(2π)
qv
(2π)
qvδ(r −vt) e
2
i(ω−kv)t
e
2
−ikr+iωt
drdt =
drdt =
qv
δ(ω −kv). (20.6)
2π
Создаваемое частицей поле удовлетворяет уравнениям Максвелла в фурье-представлении, которые в данном случае принимают вид
ik ×E=
ik ×B= −
iω
B, (20.7)
c
iω
c
εE +
4π
j(k, ω). (20.8)
c
ПодстановкаB из (20.7) в (20.8) да¨ет
k
kE− k
k ×
k ×E= −
2
E = −
ω
c
2
εE +
2
ω
c
2
εE +
2
4πω
ic
2qωv
δ(ω −kv). (20.10)
2
ic
Скалярно умножая (20.10) наk,находим
2qkvδ(ω −kv)
kE =
iεω
j(k, ω), (20.9)
2
, (20.11)
48 Глав а 1
подставляем это выражение в (20.10):
2
−k
2
εω
+
2
c
E =
2qω
ic
2
δ(ω −kv)
⎜
⎝
⎛
v −
k
kvc
2
εω
⎞
2
⎟
,
⎠
и получаем комплексную амплитуду отдельной плоской гармоники
E(k,ω)=
2iqω δ(ω −kv)
c2(k2− ω2ε/c2)
⎛
⎜
⎝
v −
k
kvc
2
εω
⎞
2
⎟
. (20.12)
⎠
Обратное преобразование Фурье да¨ет нам поле частицы:
E(r, t)=
1
(2π)
2
E(k, ω) e
ikr−iωt
dkdω. (20.13)
Полная мощность излучения I равна работе, совершаемой полем в единицу времени, взятой с обратным знаком:
I = −qvE(vt,t) (20.14)
или
I = −
2iq
4π2c
2
2
ωδ(ω −kv)
k2− ω2ε/c
(kv)
2
−
v
2
εω
2c2
2
e
i(kv −ω)t
dkdω.
(20.15)
Чтобы найти распределение мощности излучения по спектру, нужно в выражении (20.15) провести интегрирование
по всем возможным значениям волнового вектора. Для этого
представим dk ввиде
2
dk
d(kv)
dk = k
⊥dk⊥
dkdϕ =
⊥
2
dϕ (20.16)
v
(рис. 13, б). Интегрирование по dϕ и d(kv) благодаря симметрии
задачи и наличию δ-функции производится тривиально:
I = −
2
iq
2πc2v
k
2
− c2/ε)
ω (v
2
+ ω2/v2− ω2ε/c
⊥
2
dk
dω. (20.17)
⊥
2
1.20. Черенковское излучение 49
Интеграл (20.17) да¨ет нам полную потерю энергии частицей. Эта потеря энергии может идти по двум каналам.
Во-первых, энергия тратится на черенковское излучение. Вовторых, энергия идет на нагрев, возбуждение или ионизацию частиц среды. Эти потери называют ионизационными,
даже если ионизации как таковой не происходит. Ионизационные потери сопровождаются диссипацией энергии поля, потому в формулах они учитываются через ненулевую мнимую
часть диэлектрической проницаемости. Так как Im ε =0при
ω>0 (раздел 1.15), то диссипация в среде есть всегда и че-
ренковское излучение всегда сопровождается ионизационными
потерями.
Можно, однако, разделить два канала потерь, формально устремив Im ε к нулю в формуле (20.17). Получившийся
интеграл будет описывать только черенковское излучение, не
связанное с диссипацией. Сразу положить Im ε =0нельзя, поскольку тогда в выражении (20.17) появляется математическая
неопределенность из-за неинтегрируемой особенности в знаменателе и четности подынтегрального выражения как функции ω.Обозначим
Re ε(ω)=ε
, Im ε(ω)=ε
(20.18)
и перейдем в (20.17) к интегрированию по положительным ча-
dk
и нечетность ε:
2
⊥
± ω (v2− c2/(ε± iε))
2
k
+ ω2/v2− ω2(ε± iε)/c
⊥
±
.
2
стотам, используя четность ε
∞
∞
dω
0
0
I = −
2
iq
2πc2v
(20.19)
Будем считать, что ε
(ω) =0во всем интервале частот (тем
самым из рассмотрения исключается черенковское возбуждение продольных волн, возможное в некоторых средах). Тогда
можно пренебречь ε
в числителе большой дроби в (20.19) и
привести слагаемые к общему знаменателю:
A
B −iC
−
B + iC
A
=
2iAC
B2+ C
,
2
50 Глава 1
так что выражение (20.19) примет вид
∞
∞
I = −
2
iq
2πc2v
dω
0
0
2iω (v2− c2/ε)(ω2ε/c2) dk
2
(k
+ ω2/v2− ω2ε/c2)2+(ω2ε/c2)
⊥
2
⊥
.
2
(20.20)
Всилутождества
γ
−−− →
πδ(x) (20.21)
γ→0
∞
δk
0
2
ω
2
+
⊥
v
2ε
ω
−
2
2
c
2
.
dk
⊥
при ε
→ 0 имеем
q
I =
c2v
2
∞
ωv2−
0
x2+ γ
2
c
ε
2
dω
(20.22)
При интегрировании δ-функции получается либо 0,либо1 в
зависимости от знака выражения ω
2/v2−ω2ε/c2
.Поэтомудля
спектрального распределения интенсивности черенковского излучения получается следующая формула:
c
vε(ω)
ε(ω),
(20.23)
ε(ω)
. (20.24)
или
dI
dω
2
q
ω
=
vc
dI
dω
2
−
v
2
2
ωv
q
=
2
c
·!
2
c
ε(ω)
1,v>c/
0,v c/
sin2θ, cos θ =
Вся излученная энергия сосредоточена в конусе, раствор которого определяется равенством
cos θ
max
c
=
v√ε
max
(20.25)
(рис. 14, a), где ε
— максимальное значение диэлектриче-
max
ской проницаемости данной среды. Вдоль направления движения частицы черенковского излучения нет, что имеет простое
объяснение. У поперечной электромагнитной волны, бегущей
строго по оси системы, нет продольной компоненты электрического поля, которая бы тормозила частицу и забирала у нее
энергию.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]