Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
3.1. Тензор деформации 121
— тензор деформации. Всюду далее будут рассматриваться
только малые деформации, для которых
1
1
1
1
∂u
1
1
α
1,u
1
1
1
1
∂x
β
αβ
∂u
1
=
α
2
∂x
β
∂u
β
+
∂x
α
. (1.4)
По определению, тензор деформации симметричен. Следовательно, его можно привести к главным осям, прич¨ем в разных точках тела направление главных осей может быть различным. Это значит, что любую деформацию можно представить
как сжатие или растяжение по трем взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 42, а).
Рис. 42. Деформация сдвига как сжатие и растяжение по
главным осям (а); к определению тензора напряжений (б).
Обозначим главные оси ξ1, ξ2и ξ3. Если две близкие точки
лежат на главной оси, то
dξ
=√1+2uiidξi,i=1, 2, 3. (1.5)
i
При деформации изменяется объ¨ем тела:
dV
= dξ
=
dξ
dξ
1
=
2
3
(1 + 2u11)(1 + 2u22)(1 + 2u33) dξ1dξ2dξ3≈
≈ (1 + u
+ u22+ u33) dV, (1.6)
11
прич¨ем относительное изменение объ¨ема равно следу тензора
деформации:
dV
− dV
= u
= div u. (1.7)
dV
αα
122 Гл ава 3
Тензор деформации можно тождественно переписать в ви-
γγδαβ
1
u
+
3
. (1.8)
γγδαβ
де
u
αβ
=uαβ−
1
u
3
Из такой записи видно, что любую деформацию можно представить как совокупность не изменяющей объ¨ем деформации
сдвига (первое слагаемое в правой части (1.8)) и всестороннего
сжатия (второе слагаемое).
3.2. Тензор напряжений
Тензор напряжений характеризует внутренние силы, возникающие между частями деформированного тела.
Выделим внутри тела некоторый объ¨ем. На этот объ¨ем через единичный элемент его поверхности dS действует упругая
сила dF (рис.42, б). По определению,
= σαβdSβ, (2.1)
dF
α
где σ
метричен. Как видно, в теории упругости определение тензора
напряжений такое же, как и в гидродинамике — это «силовая»
составляющая тензора плотности потока импульса, взятая с
обратным знаком. В частности, при всестороннем сжатии тела
давлением p
т. е. на выделенный объ¨ем они действуют только через границу этого объ¨ема. Однако можно представить их и в форме
объ¨емной силы. Действительно, для полной силы, действующей на объ¨ем V ,имеем
Следовательно, действие упругих сил эквивалентно действию
силы
на единицу объ¨ема тела.
— тензор напряжений. Можно показать, что он сим-
αβ
= −pδαβ. (2.2)
σ
αβ
Упругиесилыпосвоейприродесутьсилыповерхностные,
=
F
α
σαβdSβ=
S
f
α
∂σ
αβ
dV. (2.3)
∂x
β
V
∂σ
αβ
=
∂x
β
(2.4)
3.3.ЗаконГука 123
Уравнение равновесия деформированного тела имеет вид
∂σ
αβ
+ ρgα=0, (2.5)
∂x
β
где ρg — внешняя объ¨емная сила. Граничными условиями для
уравнения (2.5) будут
= σαβnβ, (2.6)
P
α
где n — внешняя нормаль к поверхности тела, аP —внешняя
сила, действующая на единицу поверхности.
3.3. Закон Гука
В случае малых деформаций связь между тензором напряжений и тензором деформации можно считать линейной.
Общий вид линейной связи между двумя тензорами 2-го ранга
такой:
= λ
σ
αβ
αβγ δuγδ
где λ
— некий тензор 4-го ранга, зависящий только от
αβγ δ
свойств среды. В случае изотропной среды общий вид этого
тензора можно построить из соображений тензорной размерности:
= aδαβδγδ+ bδαγδβδ+ cδαδδ
λ
αβγ δ
(a, b и c здесь постоянные коэффициенты), откуда
, (3.1)
βγ
(3.2)
σ
= aδαβuγγ+(b + c)uαβ. (3.3)
αβ
Таким образом, упругие свойства изотропной среды характеризуются двумя независимыми коэффициентами.
Связь между σ
и uαβобычно записывают в форме
αβ
1
=2μuαβ−
σ
αβ
3
u
γγδαβ
+ Ku
γγδαβ
(3.4)
(закон Гука). Коэффициент μ называют модулем сдвига, коэффициент K — модулем всестороннего сжатия. Формулу (3.4)
легко обратить. Поскольку
=3Kuγγ, (3.5)
σ
γγ
124 Глава 3
имеем
αβ
1
=
σ
γγδαβ
9K
u
1
+
2μ
1
σ
−
αβ
3
σ
γγδαβ
. (3.6)
3.4. Простые деформации
Простыми называются деформации, при которых в тензоре
напряжений отлична от нуля только одна компонента. Примером простой деформации может служить сжатие прямоугольного бруска двумя параллельными плоскостями (рис. 43).
Рис. 43. Пример простой деформации.
Пусть для определенности отлична от нуля только компонента σ
. Тогда в соответствии с (3.6)
zz
σ
σ
zz
zz
=
+
σ
9K
zz
3μ
−
9K
u
u
= uyy=
xx
u
= uyx= uxz= uzx= uyz= uzy=0, (4.3)
xy
zz
σ
6μ
≡
zz
σ
zz
, (4.1)
E
≡−σu
, (4.2)
zz
где, по определению,
E =
9Kμ
μ +3K
(4.4)
—модульЮнга,
σ = −
2μ − 3K
18Kμ
E =
3K −2μ
2(μ +3K)
(4.5)
— коэффициент Пуассона. Для описания простых деформаций
пара коэффициентов E и σ оказывается более удобной. Сложением или вычитанием (4.1) и (4.2) легко получаются обратные
3.5. Термодинамика деформирования 125
формулы:
1
1
3K
2μ
1
=
=
σ
+
E
E
1
2σ
−
E
E
⇒ μ =
⇒ K =
E
2(1 + σ)
E
3(1 − 2σ)
, (4.6)
. (4.7)
Отметим, что для жидкости, если е¨е рассматривать как
упругую среду,
μ =0,K>0,E=0,σ=1/2. (4.8)
3.5. Термодинамика деформирования
В отличие от жидкостей и газов, степень сжатия упругой
среды нельзя характеризовать скалярным давлением. Вместо
давления появляется тензорная величина σ
изменяются выражения для термодинамических потенциалов.
Найдем изменение внутренней энергии элемента среды
при его деформации. Для этого вычислим работу деформиру-
ющей внешней силыf:
δA =
fδudV, (5.1)
. Соответственно
αβ
где δu — изменение вектора смещения, а интегрирование ве-
дется по всему объ¨ему среды. Будем считать, что деформация
происходит медленно и в любой момент времени внешняя сила
с большой точностью уравновешена упругими силами. Тогда
∂σ
δA = −
αβ
∂x
δuαdV =
β
= −
∂σ
αβδuα
∂x
β
dV +σ
αβ
∂δu
∂x
α
dV. (5.2)
β
Изменение энергии малого элемента объ¨ема определяется работой, совершаемой над этим объ¨емом, и не зависит от деформации остальных частей среды. Следовательно, остальную
126 Глава 3
среду можно считать бесконечной и недеформированной на
бесконечности. Для такой среды первый интеграл в правой
части (5.2) зануляется, а второй приводится к виду
δA =
σ
∂δu
αβ
2
∂x
α
+
β
∂δu
∂x
β
α
dV =σ
αβδuαβ
dV. (5.3)
Таким образом, изменение внутренней энергии единицы
объ¨ема равно
δε = Tδs+ δA = Tδs+ σ
αβδuαβ
. (5.4)
Изменение энтропии вещества при его деформации (δs)определить сложно, поэтому в качестве энергетической характеристики деформации удобнее пользоваться свободной энергией
F = ε − Ts, δF = −sδT + σ
αβδuαβ
. (5.5)
При помощи закона Гука упругую добавку к энергии можно представить в виде полного дифференциала:
σ
αβδuαβ
=)2μuαβ−
= δ"μu
3
γγ
δ
αβ
αβ
−
+ Ku
u
γγ
3
δ
u
γγδαβ
αβ
*
=
δu
αβ
K
#
2
u
. (5.6)
γγ
2
2
+
Таким образом, энергия деформации равна
2
K
δ
αβ
2
u
+
. (5.7)
γγ
2
= μuαβ−
F
деф
u
γγ
3
Если деформация происходит при постоянной температуре (что
для медленных деформаций обычно имеет место), то изменение
свободной энергии среды равно энергии деформации.
В отсутствие деформации энергия должна быть минимальной. Следовательно,
μ 0,K 0 ⇒ E 0,σ 1/2. (5.8)
Заметим также, что обычно σ>0, т. е. подавляющее большинство веществ при растяжении в одном направлении сжимается
вдвухдругих.
3.6.Звуквтвердомтеле 127
3.6. Звук в твердом теле
Если на некоторый малый объ¨ем среды действуют нескомпенсированные упругие силы, то этот объ¨ем будет ускоряться
по закону
2
u
∂
α
ρ
2
∂t
Поскольку
∂u
αβ
∂x
β
имеем
∂x
∂u
∂x
∂
α
β
β
+
)2μ
∂u
∂x
u
−
u
αβ
β
1
u
=
2
α
∂σ
αβ
=
∂x
=
β
∂
1
=
2
∂x
β
3
γγ
δ
+ Ku
αβ
γγδαβ
*
.
(6.1)
1
∇
+
α
divu, (6.2)
α
2
2
∂
u
ρ
= μu + μ∇div u −
2
∂t
2μ
∇div u + K∇div u =
3
= μu +
μ
+ K∇divu. (6.3)
3
Вектор смещения всегда можно представить в виде
u = u
+ ul, div ut=0, rot ul=0. (6.4)
t
Взяв дивергенцию уравнения (6.3), получаем уравнение
на u
:
l
∂
ρ
2
div u
2
∂t
div!ρ
l
= μdiv ul+
2
u
∂
l
−
2
∂t
μ
+ Kdivu
3
4μ
+ K
3
/
l
,
l
=0. (6.5)
Поскольку ротор выражения в фигурных скобках также равен
нулю, это выражение есть константа. Так как в отсутствие деформаций (при u
≡ 0)среданаходитсявпокое,этаконстанта
l
равна нулю. Следовательно,
2
∂
u
l
2
∂t
= c
2
l
l
,c
4μ
1
2
=
l
ρ
+ K. (6.6)
3
128 Гл ава 3
Мы получили волновое уравнение, описывающее распространение продольного звука в упругой среде. Величина c
называ-
l
ется продольной скоростью звука. В случае плоской монохроматической волны
rot u
=ik × u
l
=0 ⇒ u
l
k, (6.7)
l
отсюда и название.
Аналогично, взяв ротор (6.3), получаем волновое уравнение для поперечного звука:
2
rot u
∂
ρ
t
= μrot ut, (6.8)
2
∂t
где c
t
волне u
2
∂
u
t
2
∂t
= c
2
t
t
,c
— поперечная скорость звука. В плоской поперечной
⊥k. Заметим, что в силу (5.8) всегда
t
c
. (6.10)
l>ct
μ
2
=
, (6.9)
t
ρ
3.7. Продольные колебания стержней
Скорость звуковой волны в ограниченном твердом теле
может оказаться иной, нежели в неограниченном. Покажем
это на примере продольной звуковой волы в тонком длинном
стержне (рис. 44).
Рис. 44. К выводу продольных колебаний тонкого стержня.
Пусть длина волны λ намного превышает поперечный размер стержня a и на стержень с боков не действуют внешние
силы:
σ
=0 на границе. (7.1)
αβnβ
3.8. Изгиб стержней 129
Направим ось z вдоль стержня. На границе стержня в точках,
где n x,компонентыσ
, σyxи σzxтензора напряжений в
xx
силу (7.1) обращаются в ноль. Но поскольку стержень тонкий
(a λ), то внутри него эти компоненты не успевают вырасти до большой величины и их всюду можно считать малыми.
Аналогичными рассуждениями можно заключить, что внутри
стержня малы все компоненты тензора напряжений, за исключением σ
. Таким образом, деформацию тонкого стержня при
zz
прохождении по нему продольной волны можно считать простой.
В случае простой деформации уравнение движения короткого участка стержня легко преобразовать к виду
2
u
ρS
Δl
∂
z
= Sσzz(z + Δl) − σzz(z)≈ S Δl
2
∂t
= S
ΔlE
∂u
zz
∂z
= S
∂σ
∂z
ΔlE
zz
∂
∂z
=
2
u
2
z
, (7.2)
где ρ — плотность стержня, S и
Δl — сечение и длина рас-
сматриваемого кусочка (рис. 44). Из (7.2) получается волновое
уравнение
2
u
∂
z
2
∂t
2
u
∂
z
E
=
ρ
2
∂z
(7.3)
со скоростью звука, равной
скорость звука всегда меньше c
E/ρ. Можно показать, что эта
. Этот факт объясняется тем,
l
что тонкий стержень при сжатии в продольном направлении
расширяется в поперечном и потому при одинаковой степени
сжатия в стержне возникают меньшие напряжения, нежели в
неограниченной среде.
3.8. Изгиб стержней
Найдем деформации и напряжения, возникающие в тонком длинном стержне при его слабом изгибе. Стержень можно
считать тонким, если его толщина a мала с характерным масштабом изгиба λ (рис. 45, а). Для определенности будем считать, что изгиб происходит в одной плоскости под действием
130 Глава 3
поперечной силыF , приложенной к одному из концов (для
других способов изгиба аналогичным способом получаются те
же формулы).
Направим ось z вдоль стержня, а ось x расположим в
плоскости изгиба (при слабом изгибе различием направлений
x и z в разных сечениях стержня можно пренебречь). Рассуждениями, аналогичными проведенным в разделе 3.7, можно
заключить, что деформация изогнутого стержня будет простой
(только σ
=0). Более строго это утверждение получается из
zz
условий равновесия стержня. Например, для заштрихованного
участка на рис. 45, а, б имеем
y-момент: FL+σ
x-сила: −F +σ
xdS =0 ⇒ σzz∼
zz
dS =0 ⇒ σxz∼
xz
FL
, (8.1)
3
a
F
, (8.2)
2
a
где интегрирование ведется по сечению стержня, откуда
xz
a
∼
σzz. (8.3)
σ
zz
L
σ
При рассматриваемом изгибе верхняя часть стержня растягивается, а нижняя сжимается. Области растяжения и сжатия разделяет нейтральная поверхность; будем отсчитывать
расстояние x от нее (рис. 45, в). Участок стержня, отстоящий
на расстоянии x от нейтральной поверхности и имевший до
изгиба длину
Δl, вследствие изгиба удлинится на величину
x
dl =
Δl, (8.4)
R
где R — локальный радиус кривизны нейтральной поверхности.
Отсюда находим ненулевые компоненты тензоров деформации
и напряжений:
x
dl
=
=
u
zz
Δl
,u
R
= uyy= −σuzz,σzz= E
xx
x
. (8.5)
R
Положение нейтральной плоскости находится из условия равновесия стержня:
z-сила:
σ
zz
dS =0 ⇒
xdS =0, (8.6)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]