Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
2.8.Вязкаяжидкость 81
где A, B и C — не зависящие от скорости коэффициенты.
В рамках гидродинамики это утверждение принимается как
постулат.
Внутреннего трения не возникает при вращении жидкости
как целого с угловой скоростьюΩ.Следовательно,прискорости
тензор σ
v =r ×Ω,v
должен тождественно зануляться. Имеем
αβ
α
= e
αikxiΩk
(8.4)
∂x
αik
i
∂x
β
αβkΩk
Ωk+ Be
+ Be
= Ae
σ
αβ
= Ae
∂x
βik
∂x
βαkΩk
i
Ωk+ Cδαβe
α
=(A − B)e
∂x
γik
∂x
αβkΩk
i
Ωk=
γ
=0, (8.5)
откуда A = B.
Традиционно вязкий тензор напряжений записывают в
форме
αβ
∂x
∂v
= η
σ
∂v
β
α
+
∂x
β
2
δ
−
3
α
αβ
∂v
∂x
γ
+ ζδ
γ
αβ
∂v
γ
. (8.6)
∂x
γ
Комбинация тензоров в круглых скобках удобна тем, что имеет
нулевой след. Коэффициент η называют динамической вязкостью или просто вязкостью. Коэффициент ζ называют второй
вязкостью. Можно показать, что η и ζ положительны (это следует из закона возрастания энтропии).
С учетом вязкости уравнение движения жидкости (1.3)
принимает вид
dt
∂π
=
∂x
αβ
+ ρgα= −
∂x
β
"η
∂v
∂x
α
β
∂
β
α
+
dv
ρ
∂p
+ ρgα+
∂x
α
∂v
β
2
+
∂x
δ
−
3
α
αβ
∂v
∂x
γ
+ ζδ
γ
αβ
∂v
∂x
#
γ
γ
. (8.7)
Коэффициенты η и ζ, вообще говоря, зависят от p и ρ.Но
зачастую изменение этих коэффициентов незначительно и их
можно вынести из под знака дифференцирования:
dv
ρ
= −∇p + ρg + ηv +
dt
η
+ ζ∇divv. (8.8)
3
82 Глав а 2
Уравнение (8.8) с g =0называется уравнением Навье — Сток-
са. В несжимаемой жидкости оно принимает вид
= −
∇p
+ νv, (8.9)
ρ
dv
dt
где коэффициент ν = η/ρ называют кинематической вязкостью.
2.9. Уравнение теплопереноса
Пусть на жидкость не действуют внешние силы (g =0)
и жидкость не нагревается внешними источниками тепла. Тогда, при наличии диссипативных процессов, уравнение баланса
энергии принимает вид
2
ρv
∂
∂t
Здесь ε — внутренняя энергия единицы массы, T —температура, κ — теплопроводность жидкости. Слагаемые в круглых
скобках (в левой части уравнения) представляют собой полную энергию (кинетическую и внутреннюю) единицы объ¨ема.
Слагаемые в квадратных скобках суть поток энергии, который складывается из конвективного переноса энергии вместе с
жидкостью (первое слагаемое), работы внутренних сил (второе
и третье слагаемые) и теплопроводности (четвертое слагаемое).
Выражение для работы внутренних сил требует пояснений. Пусть на объ¨ем dV через элемент его поверхности dS
действует сила dF . В единицу времени внутренние силы совершают над объ¨емом работу
2
= −
+ ρε=
)
∂
ρv
∂x
α
α
v
2
+ ε+ v
2
p − σαβvβ− κ
α
∂T
∂x
*
. (9.1)
α
A =vdF =v
=v
(pδαβ− σαβ) dSα=(vαp − σαβvβ) dSα, (9.2)
β
= −vβπβαdSα=
βdFβ
откуда и следует выписанное выше выражение.
2.9. Уравнение теплопереноса 83
С помощью уравнений непрерывности (1.1) и движения
(1.3) можно из (9.1) исключить кинетическую энергию и получить уравнение теплопереноса:
= σ
αβ
∂v
α
+ div (κ∇T ). (9.3)
∂x
β
ρT
ds
dt
Здесь в левой части стоит количество теплоты, полученной
единицей объ¨ема в единицу времени, а справа — теплота, выделившаяся вследствие вязкой диссипации или пришедшая из
соседних слоев жидкости в результате теплопереноса.
Строгий вывод (9.3) довольно громоздок, но его основные
моменты можно понять из следующих соображеий. Все слагаемые, не содержащие σ
и κ, путем сложных преобразований
αβ
группируются в левую часть (9.3), так что в идеальной жидкости (9.1) переходит в уравнение адиабатичности
ds
=0. (9.4)
ρT
dt
Слагаемые с σ
и κ просто переписываются из правой ча-
αβ
сти (9.1) в правую часть (9.3). Кроме того, в процессе исключения из (9.1) производной ∂(ρv
2
)/∂t используется уравнение
движения
∂ρv
α
∂t
= −v
v
α
∂
(ρvαvβ+ pδαβ− σαβ) , (9.5)
α
∂x
β
вследствие чего в правой части (9.3) дополнительно появляется
слагаемое −v
/∂xβ, которое да¨ет
α∂σαβ
−v
∂σ
α
∂x
αβ
∂σ
αβvβ
+
∂x
β
α
= σ
αβ
∂v
α
. (9.6)
∂x
β
Если жидкость можно считать несжимаемой, а коэффициенты η и κ — константами, то уравнение теплопроводности
существенно упрощается. Поскольку
∂v
γ
= div v =0, (9.7)
∂x
γ
84 Глава 2
имеем
∂v
α
σ
αβ
∂x
β
= η
∂v
∂x
α
+
β
∂v
∂x
∂v
β
∂x
α
η
α
=
2
β
Левую часть (9.3) можно записать в виде
∂v
∂x
2
∂v
α
β
β
+
∂x
. (9.8)
α
= ρ
dQ
dt
= ρc
dT
, (9.9)
p
dt
ρT
ds
dt
где Q — количество теплоты, полученной единицей массы,
— теплоемкость единицы массы. Поскольку при нагрева-
а c
p
нии жидкости обычно ничто не препятствует е¨е расширению,
теплоемкость берется при постоянном давлении. Итак, уравнение теплопереноса принимает вид
dT
= χT +
dt
2c
∂v
ν
α
∂x
p
β
2
∂v
β
+
∂x
,χ=
α
κ
. (9.10)
ρc
p
Величина χ называется коэффициентом температуропроводности.
2.10. Звук
Для описания звуковых волн наиболее удобна модель идеальной сжимаемой жидкости.
Пусть в однородной жидкости есть малое возмущение. Будем обозначать невозмущенные величины индексом 0, а их
возмущения — буквой δ:
+ δp, ρ = ρ0+ δρ, s = s0+ δs, v = δv, (10.1)
p = p
0
p
=const,ρ0=const,s0=const.
0
Уравнения идеальной жидкости (1.1), (1.8) и (1.9) после линеаризации (т. е. выбрасывания квадратичных по амплитуде
2.10.Звук 85
возмущения слагаемых) принимают вид
∂δρ
+ ρ
divv =0, (10.2)
∂t
0
∂v
∂t
∇δp
= −
∂δs
∂t
, (10.3)
ρ
0
=0. (10.4)
Всилу(10.4)имеем
δp =
∂p
∂ρ
s
δρ +
∂p
∂s
ρ
δs = c
2
δρ, (10.5)
s
так что система (10.2), (10.3) сводится к волновому уравнению:
2
∂
∂t
δρ
= −ρ0div
2
∂
∂t
∂v
= ρ
∂t
2
δρ
2
− c
δρ =0. (10.6)
s
2
div ∇
0
δp
ρ
,
0
Очевидно, такие же уравнения получаются для δp и v.
Решением (10.6) является совокупность плоских волн с
различнымиk ичастотами
ω = ±kc
. (10.7)
s
Найдем энергетические характеристики плоской монохроматической звуковой волны с заданным волновым векторомk.
С точностью до членов второго порядка малости в присутствии
волны энергия единицы объ¨ема жидкости изменяется на величину
∂
2
∂ρ
ρε
2
δρ
s
. (10.8)
2
2
2
ρv
δ
+ ρε=
2
ρ
∂ρε
∂ρ
2
v
0
+
2
δρ +
s
Из термодинамического соотношения
p
dε = Tds−pdV = Tds+
dρ (10.9)
2
ρ
86 Глава 2
находим
∂ρε
∂ρ
s
= ε +
p
= w, (10.10)
ρ
где w — энтальпия единицы массы. Е¨е дифференциал
2
c
s
dρ, (10.11)
ρ
2
c
s
. (10.12)
=
ρ
s
откуда
dw = Tds+ Vdp= Tds+
∂
2
∂ρ
ρε
∂w
=
2
∂ρ
s
Итак, плотность энергии звуковой волны равна
W =
2
ρ
v
0
+ w
δρ +
2
0
2
2
δρ
c
s
2ρ
0
v2
ρ
0
=
2
2
2
δρ
c
s
+
2ρ
0
, (10.13)
где угловые скобки означают усреднение по периоду волны; линейное по амплитуде возмущения слагаемое при таком усреднении зануляется.
Из уравнения сохранения энергии
∂W
∂t
=ρ
=
v−
0
∂
∂t
∇δp
2
v
ρ
0
+
2
2
c
s
+
ρ
0
ρ
0
2
2
δρ
c
s
2ρ
=
0
δρ (−ρ0divv)= −div (vδp) (10.14)
получаем выражение для плотности потока энергии звуковой
волны:
S = vδp . (10.15)
В плоской монохроматической волне
−iωv = −
2
=
v
ikδp
2c4
k
ω2ρ
,v =
ρ
0
δρ
s
2
0
2
= c
kδp
, (10.16)
ωρ
0
2
δρ
2
, (10.17)
s
2
ρ
0
2.11. Поверхности разрыва 87
откуда (при ω = kc
)
s
W =+ρ
,
2
v
0
,
S = c
k
W
. (10.18)
s
k
Как и можно было ожидать, энергия бежит со скоростью звука
в направлении вектораk.
Для импульса волны имеем
P = δ ρv = δρv =
kc
2
s
ωρ
δρ
0
=
2
k
ρ
v
0
ω
k
2
=
ω
W. (10.19)
Соотношение между энергией и импульсом волны оказывается
таким же, как и в электродинамике сплошных сред. Отсюда,
в частности, следует, что звуковую волну можно представлять
как совокупность квантов с энергией ω иимпульсомk.
Коэффициент пропорциональности между потоками энергии и импульса, очевидно, будет таким же, что позволяет по
аналогии с (10.19) выписать плотность потока импульса звуковой волны:
k
i
S
=
Π
ik
k
ω
k
k
i
k
c
·
=
ω
k
W =
s
k
ikk
W. (10.20)
2
k
2.11. Поверхности разрыва
В принципе, гидродинамикой допускаются разрывные решения, при которых характеризующие жидкость величины
(плотность, давление или скорость) меняются скачком. Однако
потоки вещества, импульса и энергии через поверхность разрыва должны быть непрерывными. В идеальной гидродинамике
эти условия непрерывности принимают вид
} =0, (11.1)
{ρv
x
.
2
=0, (11.2)
x
} =0, (11.3)
xvt
/
=ρv
2
v
+ w0=0, (11.4)
x
2
!
-
p + ρv
2
ρv
v
x
+ ρε+ pv
2
{ρv
x
88 Гла ва 2
где ось x перпендикулярна поверхности разрыва, vt—тангенциальная компонента скорости, w — энтальпия единицы массы; фигурные скобки означают скачок величины при переходе
через разрыв. Из уравнений (11.1)–(11.4) имеем:
если ρv
если ρv
=0, то {p} =0; (11.5)
x
=0, то {vt} =0. (11.6)
x
Поверхности разрыва классифицируются в зависимости от того, какая величина терпит разрыв:
тангенциальный разрыв: ρv
контактный разрыв: ρv
ударная волна: ρv
=0, {p} =0, {vt} =0,
x
=0, {p} =0, {ρ} =0,
x
=0, {p} =0, {vt} =0.
x
2.12. Ударная адиабата
Найдем, как соотносятся между собой давления и плотности с разных сторон ударной волны. Будем работать в системе
отсчета, в которой разрыв покоится, v
Без ограничения общности поверхность разрыва можно считать плоской. Из уравнений (11.1)–(11.4) в нашем случае сле-
=0и vx> 0 (рис. 27, а).
t
Рис. 27. Геометрия задачи (а); ударная адиабата для двух-
атомного газа (б).
2.12. Ударная адиабата 89
дует
ρ
1v1
p
1
= ρ2v
+ ρ1v
2
v
1
2
+ w
(v ≡ vx), (12.1)
2
2
= p2+ ρ2v
1
2
v
2
=
1
2
2
, (12.2)
2
+ w
. (12.3)
2
Введем объ¨ем единицы массы V =1/ρ и поток вещества через
разрыв j = ρv.Из(12.2)имеем
p
− p2= ρ2v
1
2
− p
p
2
V2− V
2
2
− ρ1v
1
1
= j2(V2− V1),
1
= −j2< 0. (12.4)
Из этого неравенства и требования возрастания энтропии (формула (12.13)) следует, что в ударной волне
p
,V2<V1, (12.5)
2>p1
т. е. вещество всегда переходит из области меньшего давления
вобластьбольшегоисжимаетсяприэтом.Подставляя(12.4)
в(12.3),получаем
2
2
2
j
2
=
2
(V
− V
1
2
− p1)(V1+ V2)
2
2
),
2
. (12.6)
w
2
− w1=
− w1=
w
2
− v
v
1
2
(p
2
Уравнение (12.6) называется ударной адиабатой или адиабатой
Гюгонио. Вместе с уравнением состояния вещества оно позволяет при заданных параметрах газа в одной области найти
зависимость p(V ) вдругой.
Для дальнейшего продвижения нужно конкретизировать
уравнение состояния вещества. Наиболее практически важным
является случай идеального газа с энтальпией
w =
γ
pV +const. (12.7)
γ −1
90 Глав а 2
После арифметических преобразований уравнения (12.6)
2γ(p
(2γp2+(γ −1)(p1− p2)) = V1(2γp1+(γ −1)(p2− p1)),
V
2
− p1V1)=(γ − 1)(p2− p1)(V1+ V2),
2V2
ударная адиабата для идеального газа принимает вид
(γ −1)p
V
2
=
V
(γ +1)p2+(γ −1)p
1
+(γ +1)p
2
A
1
1
=
, (12.8)
A
2
1
где
A
=(γ −1)p2+(γ +1)p1, (12.9)
1
=(γ +1)p2+(γ −1)p1. (12.10)
A
2
При заданных p
и V1зависимость p2(V2) представляет собой
1
гиперболу со смещенными относительно осей асимптотиками
(рис. 27, б).
Интересно найти изменение энтропии газа при его прохождении через фронт ударной волны (энтропия не сохраняется
даже в модели идеального газа). Для идеального газа имеем
ln(pVγ)+const, (12.11)
s = c
v
где c
— теплоемкость единицы массы при постоянном объ¨еме.
v
Поскольку
ds
1
2
c
=
v
dp
2
∂ ln V
1
+ γ
p
2
∂p
2
=
p
2
∂ ln A
1
+ γ
2
∂p
2
∂ ln A
1
− γ
∂p
2
2
, (12.12)
получаем
2
ds
2
1
c
=
v
dp
2
1
p
+
2
γ(γ −1)
A
1
γ(γ +1)
−
A
2
(γ
=
− 1)(p2− p1)
p2A1A
2
2
> 0.
(12.13)
Итак, вторым законом термодинамики разрешены только ударные волны с p
,прич¨ем увеличение энтропии тем больше,
2>p1
чем больше разность давлений на разрыве.
Важной характеристикой ударной волны является ско-
рость е¨е движения в неподвижном газе, т. е. в нашей системе
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]