Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
2.15.Слабаяударнаяволна 101
Рис. 33. Решение уравнения Бюргерса в области ударной волны.
поведение жидкости в области ударной волны после момента
опрокидывания.
Вблизи ударной волны решение уравнения Бюргерса можно искать в виде
u = u(x − c
t). (15.18)
s0
Оно оказывается таким:
u = c
− δu th
s0
δu(x − c
2ν
t)
s0
eff
, (15.19)
где δu характеризует различие величины u с двух сторон ударной волны (рис. 33).
В газах ν
∼ csλ,гдеλ — длина свободного пробега.
eff
Отсюда можно оценить ширину ударной волны:
ν
eff
c
s
∼
Δx ∼
δu
λ λ. (15.20)
δu
Таким образом, чем слабее ударная волна, тем е¨ефронтшире. Из (15.20) также следует, что гидродинамическое описание
внутренней структуры применимо только к слабым ударным
волнам, в которых скачок скорости газа намного меньше скорости звука.
Вязкость — не единственный эффект, способный остановить нелинейное укручение фронта волны. Нелинейное укручение фронта может быть также скомпенсировано дисперсионным расплыванием волнового пакета. В этом случае профиль
волны описывается другим известным уравнением математической физики — уравнением Кортевега — де Вриза.
102 Гл ава 2
2.16. Закон подобия
Пусть u и L характерные скорость и пространственный
масштаб некоторого стационарного течения (рис. 34). Если
жидкость несжимаемая, а кинематическая вязкость ν =const,
то движение жидкости описывается уравнениями (1.12) и (8.9).
В безразмерных переменных
r
=
L
,v
r
v
,t
=
u
ut
=
,p
L
p
=
2
ρu
(16.1)
эти уравнения принимают вид
div
v
=0,
∂v
+(v∇)v= −∇p+
∂t
ν
Lu
v
(16.2)
(штрихи у операторов означают дифференцирование по безразмерным координатам). Решение системы (16.2) полностью
определяется геометрией задачи и безразмерным параметром
Lu
Re =
, (16.3)
ν
называемым числом Рейнольдса. Таким образом, течения одинакового типа с одинаковым числом Рейнольдса подобны (закон подобия).
Рис. 34. Примеры характерных параметров течения.
В случае более сложного движения жидкости (нестационарного, в поле тяжести и т. п.) тип решения определяется б´ольшим числом безразмерных параметров, тоже имеющих
свои названия.
2.17. Турбулентность 103
Законы подобия полезны тем, что позволяют применять
результаты измерений над маленькими моделями к настоящим
объектам при условии одинаковости безразмерных параметров.
2.17. Турбулентность
Гидродинамическая турбулентность — это явление, наблюдаемое во многих течениях, при котором в жидкости образуются многочисленные вихри различных размеров и течение становится нерегулярным. Вихри влияют на свойства течения в
целом: меняется сила сопротивления, способность переносить
частицы и т. п.
Теория турбулентности сложна и далека от завершения. Из-за нерегулярности турбулентных движений приходится пользоваться статистическим описанием жидкости и даже
получать результаты из соображений размерности.
Будем считать жидкость несжимаемой. Тогда характер течения (в частности, турбулентное оно или нет) будет определяться только числом Рейнольдса. В уравнении движения
жидкости
∂v
+(v∇)v = −
∂t
за возникновение вихрей и усложнение течения отвечает слагаемое (v∇)v. Действительно, если бы его не было, то из (17.1)
следовало бы уравнение
∇p
+ νv (17.1)
ρ
∂ rot v
для завихренности, исключающее генерацию и нарастание в
жидкости случайных вихрей. Поскольку
|(v∇)v|
|νv|
турбулентность будет появляться при больших числах Рейнольдса.
Механизм возникновения турбулентности при увеличении
Re может быть разным в различных системах. Один из возможных вариантов такой (сценарий Ландау — Хопфа). При
= νrot v (17.2)
∂t
uL
=Re, (17.3)
∼
ν
104 Глава 2
превышении числом Рейнольдса некоторого критического значения Re
«гладкое» (ламинарное) решение уравнения (17.1)
кр
становится неустойчивым. Это значит, что малое периодическое возмущение ламинарного течения быстро нарастает со
временем и движение жидкости становится почти периодическим. При увеличении Re это периодическое движение тоже
становится неустойчивым, т. е. на него накладывается почти
периодическое возмущение с каким-то другим периодом. При
дальнейшем увеличении Re у движения жидкости появляются
все новые периоды и течение приобретает сложный и запутанный характер.
Интересно отметить, что безразмерная величина Re
мо-
кр
жет быть очень большой (до 50 000 в трубах с плавным входом).
Турбулентное течение можно представить как результат наложения движений (турбулентных пульсаций) различных масштабов (рис. 35). Самые крупномасштабные пульсации
(основной или внешний масштаб турбулентности) имеют характерный размер порядка масштаба течения L,аскорость
в них — порядка средней скорости потока u.Накрупномасштабные пульсации накладываются пульсации меньших масштабов (λ). Изменение скорости жидкости на этих масштабах
u. Можно также ввести число Рейнольдса для этих мас-
v
λ
штабов:
λv
λ
=
Re
λ
, причем Re Re
ν
Наименьший масштаб пульсаций (λ
нольдса Re
∼ Reкр, называют внутренним масштабом турбу-
0
), для которого число Рей-
0
Reкр. (17.4)
λ
лентности. На этом масштабе вязкость становится существенной и происходит диссипация энергии.
Вихри меньших масштабов появляются в результате
неустойчивости вихрей больших масштабов. Следовательно,
в жидкости есть постоянный поток энергии от крупномасштабных к мелкомасштабным пульсациям. Энергия из масштабов λ ∼ L (область энергии) через промежуточные масштабы
(инерционный интервал) идет в масштабы λ ∼ λ
(область
0
диссипации) и переходит там в тепло (рис. 35). Очевидно, при
2.17. Турбулентность 105
Рис. 35. Внутренняя структура турбулентности.
«стационарной» картине турбулентности в пульсации масштаба λ приходит такое же количество энергии (в единицу времени в расчете на единицу массы), какое и уходит из них.
Величину можно оценить из соображений размерности. Имеем
эрг
[]=
сек · г
Движение жидкости в пульсациях масштаба λ λ
рактеризоваться только величинами λ, v
3
[u]
=
. (17.5)
[L]
и ρ (вязкость играет
λ
может ха-
0
роль только на внутреннем масштабе). Величину требуемой
106 Глава 2
размерности из них можно составить единственным способом:
3
v
λ
∼
. (17.6)
λ
Применяя эту оценку к внешнему масштабу, находим
1/3
λ
L
(17.7)
∼
3
u
,v
L
∼ (λ)
λ
1/3
∼ u
(спектр Колмогорова — Обухова). Несмотря на нестрогий вывод, формула (17.7) да¨ет правильную (подтверждаемую экспериментально) связь между масштабом вихря и величиной
пульсационной скорости в нем.
Для внутреннего масштаба имеем
4/3
λ
0
L
Re ∼ Reкр, (17.8)
Re
0v0
ν
uλ
0
∼
νL
1/3
∼
λ
=
0
4/3
откуда получаем оценку
λ
∼ L
0
Re
Re
3/4
кр
. (17.9)
Из (17.7) следует, что в турбулентном потоке диссипация
энергии не зависит от вязкости жидкости. Действительно, при
уменьшении вязкости уменьшается внутренний масштаб турбулентности, что приводит к увеличению градиентов скорости.
2.18. Логарифмический профиль скоростей
Рассмотрим стационарное турбулентное течение несжимаемой жидкости по трубе (рис. 36) и найдем, как вблизи стенки
ведет себя средняя (усредненная по времени) скорость потока
u = v.
Пусть на единицу поверхности трубы со стороны жидкости действует в среднем сила трения σ, равная плотности потока x-компоненты импульса на стенку. Этот поток импульса
2.18. Логарифмический профиль скоростей 107
Рис. 36. К нахождению логарифмического профиля скоростей.
обусловлен разностью давления на концах трубы. Характерный
поперечный масштаб изменения Π
этому вблизи стенки можно считать |Π
равен ширине трубы, по-
xy
|≈const = σ (серые
xy
участки на рис. 36).
Средний поток импульса есть некоторая функция от градиента средней скорости du/dy, плотности жидкости ρ ирасстояния до стенки y. Он не может напрямую зависеть ни от
вязкости ν (при условии y λ
), ни от абсолютного значения
0
скорости u.Ноизdu/dy, ρ и y можно построить величину требуемой размерности единственным способом, откуда получаем
оценку
|Π
xy
|∼ρy
2
du
2
. (18.1)
dy
Обращая эту формулу вблизи стенки, находим
du
dy
v
∗
≈
κy
,v
σ
, (18.2)
=
∗
ρ
где κ ∼ 1 — численный коэффициент (постоянная Кармана).
Интегрирование (18.2) да¨ет
u ≈
κ
. (18.3)
ln
C
y
v
∗
Чтобы найти постоянную интегрирования C, нужно рассмотреть движение жидкости на очень малых расстояниях от стенки (y λ
), где начинает играть роль вязкость жидкости.
0
108 Гл ава 2
Здесь
∂v
σ = −Π
= σxy= η
xy
x
∂y
∂v
y
+
∂x
= ρν
du
, (18.4)
dy
откуда
2
v
u =
σy
ρν
y
∗
=
. (18.5)
ν
Формулы (18.3) и (18.5) должны переходить друг в друга на
границе вязкой области. Эта граница (y = y
)определяетсяиз
0
условия
uy
0
Re =
∼ 1. (18.6)
ν
Подставляя (18.5) в (18.6), находим
ν
,u(y
∼
y
0
u
) ∼ v∗, откуда C ∼
0
ν
. (18.7)
v
∗
Более точные выражения для C и κ можно найти только из
эксперимента:
v
u ≈
v
0.4
∗
ln
y
∗
. (18.8)
0.13 ν
Несмотря на нестрогий вывод, формулы (18.5) и (18.8) весьма
точно описывают поведение средней скорости турбулентного
потока вблизи стенки.
2.19. Достаточное условие отсутствия
конвекции
При нагревании большинства жидкостей их плотность
уменьшается. Поэтому если температура жидкости неодинакова по объ¨ему и холодные слои расположены над теплыми,
то система может оказаться неустойчивой и самопроизвольно возникнет движение (конвекция), стремящееся перемешать
жидкость и выровнять е¨етемпературу.
Найдем, при каких условиях конвекция энергетически
невыгодна. Пусть идеальная жидкость находится в механическом равновесии:
v =0, ∇p = ρg, T = T (z). (19.1)
2.19. Достаточное условие отсутствия конвекции 109
Рис. 37. К выводу условия отсутствия конвекции.
Предположим, малый элемент жидкости переместился вверх
из слоя 1 в слой 2 (рис. 37). Его плотность на новом месте
стала ρ(p
жидкости сохраняется. Если плотность ρ(p
), поскольку энтропия при движении идеальной
2,s1
) окружающей
2,s2
жидкости окажется меньшей, то на элемент жидкости будет
действовать сила (разность силы тяжести и силы Архимеда),
стремящаяся вернуть его обратно. Таким образом, условие отсутствия конвекции имеет вид
ρ(p
) <ρ(p2,s1) (19.2)
2,s2
или, в терминах удельного объ¨ема жидкости V =1/ρ,
V (p
) − V (p2,s1) > 0. (19.3)
2,s2
Переходя к малым смещениям, получаем
V (p
) − V (p2,s1)
2,s2
z2− z
1
≈
dV
ds
ds
> 0. (19.4)
dz
p
Производные в (19.4) выражаются через теплоемкость c
пературный коэффициент расширения
dV
. (19.5)
dT
p
β =
1
V
итем-
p
110 Гла ва 2
Имеем
ds
dz
dV
ds
∂(Vp)
=
∂(sp)
p
dp
ds
=
dp
dz
T
∂(Vp)
=
∂(Tp)
1
=
V
ds
+
dT
∂(Tp)
∂(sp)
dV
dT
1
·
T
p
dT
dz
p
= ρV βg +
=
dT
ds
= −ρg
c
p
T
dT
dz
· VT =
p
∂(sT )
∂(pT )
= βg +
βV T
∂(Vp)
∂(sT )
c
p
T
c
p
+
dT
dz
, (19.6)
c
p
dT
T
dz
. (19.7)
=
Обычно β>0, так что выражение (19.6) положительно и система устойчива при условии ds/dz > 0.Итак,конвекцияне
может возникнуть при условии
> −
βgT
. (19.8)
c
p
dT
dz
Отметим, что этим условием допускается медленное падение
◦
температуры по направлению снизу вверх (например, 1
◦
6.7 км для воды при 20
Cи1◦на 100 м для воздуха).
на
2.20. Свободная конвекция
При нарушении условия (19.8) конвекция не всегда возникает, поскольку в реальной жидкости есть диссипация, мешающая конвективному движению. Для определения необходимого
и достаточного условия возникновения конвекции необходимо
решить спектральную задачу, т. е. наложить на невозмущенное состояние жидкости малое возмущение и найти, когда это
возмущение нарастает со временем. Проделаем это на примере жидкости, заключенной между двумя плоскопараллельными
пластинами (рис. 38).
Пусть в жидкости возникло какое-то движение в плоскости (x, z). Тогда все характеризующие жидкость величины
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]