Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
1.14. Магнитооптические эффекты 31
показано на рис. 4. Используется способность одноосного кристалла изменять поляризацию света с линейной на круговую.
Поляризационные фильтры («поляризатор» и «анализатор») находятся в скрещенном положении, потому в отсутствие поля в
конденсаторе свет через систему не проходит. При включении
поля поляризация меняется на эллиптическую и анализатор
частично пропускает свет.
1.14. Магнитооптические эффекты
Рассмотрим истинно изотропную среду без пространственной дисперсии, помещенную во внешнее однородное магнитное
полеB
му тензор диэлектрической проницаемости среды принимает
вид
прич¨ем коэффициент g не зануляется из соображений зеркальной симметрии, так какB
при отражении).
. Внешнее поле задает выделенное направление, поэто-
0
= ε
ε
αβ
⊥
B
−
δ
αβ
0αB0β
2
B
0
B0αB
0β
+ ε
—псевдовектор(неменяетзнака
0
+ ige
2
B
0
αβγ
B
0γ
B
, (14.1)
0
Рис. 5. Поворот плоскости поляризации во внешнем магнит-
ном поле (а) и в среде с естественной оптической активно-
стью (б). В кружках показана ориентация электрического
поля волны в плоскости, перпендикулярнойk.
Если волна распространяется параллельно внешнему полю
(k B
), то наша задача эквивалентна задаче о естественной
0
оптической активности (тензор (14.1) принимает тот же вид).
Следовательно, электромагнитные волны имеют в среде круговую поляризацию с несколько различными фазовыми скоростями, что и приводит к вращению плоскости поляризации линей-
32 Гл ава 1
но поляризованного света. Этот эффект (вращение плоскости
поляризации при наложении продольного магнитного поля) называется эффектом Фарадея (M. Faraday, 1845). Направление
фарадеевского вращения зависит от знака произведенияkB
0
поэтому при прохождении среды «туда и обратно» углы поворота складываются (рис. 5, а). Иная ситуация будет в случае
естественной оптической активности. Поскольку направление
вращения плоскости поляризации не зависит от направления
распространения волны, то после прохождении среды «туда и
обратно» поляризация света будет прежней (рис. 5, б).
При распространении волны почти поперек внешнего магнитного поля среда ведет себя как одноосный кристалл. Этот
эффект называется эффектом Коттона — Мутона (A.Cotton,
H. Mouton, 1907). Действительно, в случае
,
z B
k x (14.2)
0
имеем
⎛
2
ω
ε
−i
⊥
2
c
2
2
ω
ω
g
2
c
2
c
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
00
2
ω
i
g 0
2
c
ε⊥− k
2
ω
c
2
ε− k
2
0
⎛
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
2
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
E
x
⎟
⎟
⎟
⎟
E
y
⎟
⎟
⎠
E
z
=0, (14.3)
откуда находим волны:
,
2c2
k
= ε,E
2
ω
2c2
k
= ε⊥−
2
ω
2
g
,E
ε
⊥
=0,E B0; (14.4)
z
=0,E ⊥B0. (14.5)
x,Ey
В случае слабого внешнего поля волна (14.5) является почти
поперечной (E ⊥k):
|g|ε
∼ 1 ⇒|Ex||Ey|. (14.6)
⊥
Наличие в среде двух линейно поляризованных поперечных
волн с разными фазовыми скоростями приводит к изменению
1.15. Аналитические свойства 33
поляризации света (см. рис. 3, б). Можно также показать, что
если вектор векторk почти (но не строго) перпендикуляренB
0
то направления распространения волн (14.4) и (14.5) немного
различаются, что приводит к эффекту двойного лучепреломления.
1.15. Аналитические свойства
диэлектрической проницаемости
Область аналитичности. Рассмотрим среду с частотной
дисперсией и диэлектрической проницаемостью
= ε(ω) δαβ. (15.1)
ε
αβ
В силу определений вектора электрической индукцииD (1.12)
и оператора ˆε (3.4) имеем
,
E(t)+
t
4πj(t) dt=D(t)=
−∞
t
ε(t − t)E(t) dt, (15.2)
−∞
откуда видно, что ядро оператора диэлектрической проницаемости должно содержать в себе δ-функцию. Введем, по определению, функцию отклика среды
. (15.3)
Тогда
f(τ )=ε(τ ) − δ(τ),τ= t − t
t
D(t)=E(t)+
f(t − t)E(t) dt. (15.4)
−∞
Заметим, что функция f(τ ) действительна (связывает действительные физические величиныD иE)истремитсякнулюпри
больших значениях аргумента (полеE из далекого прошлого
слабо влияет на текущее состояние системы).
В Фурье-представлении из (15.3) получаем
∞
ε(ω)=1+
0
f(τ ) e
iωτ
dτ. (15.5)
34 Глав а 1
Интеграл в (15.5) заведомо сходится при Im ω>0,прич¨ем в
силу свойств преобразования Лапласа ε(ω) является аналитической функцией в области сходимости.
Четность. Из формулы (15.5) с очевидностью следует
∗(ω∗
ε(−ω)=ε
). (15.6)
В частности, на мнимой полуоси Im ω>0 функция ε(ω) принимает действительные значения. На действительной оси
Re ε(−ω)=Re ε(ω), Im ε(−ω)=−Im ε(ω). (15.7)
Асимптотика при больших частотах. Если частота поля ω велика по сравнению с частотами движения всех электронов в атомах вещества, то все электроны можно рассматривать как свободные, пренебрегая их взаимодействием друг с
другом и с ядрами атомов. Это позволяет установить справедливую для любых сред асимптотику ε(ω) при больших часто-
тах. В быстроосциллирующем (с частотой ω)полеE свободные
электроны движутся по закону
m˙v = −eE, (15.8)
приобретают скорость
исоздаютток
v =
j = −env =
eE
imω
2
ine
E, (15.10)
mω
(15.9)
где n — полное число электронов в единице объ¨ема. Из формул (15.10) и (3.9) находим проводимость и диэлектрическую
проницаемость такой среды:
σ
αβ
Величина
= σδαβ,σ=
2
ine
,ε(ω)=1−
mω
ω
4πne
=
p
2
m
4πne
mω
2
. (15.11)
2
(15.12)
называется электронной плазменной частотой. Таким образом,
2
ω
ε(ω) −−−− →
ω→∞
1 −
p
. (15.13)
2
ω
1.15. Аналитические свойства 35
Вещественные значения. Функция ε(ω) в верхней полу-
плоскости принимает каждое вещественное значение не более
одного раза. Для доказательства этого факта вычислим интеграл
I =
1
2πi
dε
dω
,a∈R (15.14)
ε − a
dω
C
по контуру C (рис.6, а), проходящему над вещественной осью
ω и замыкающемуся через комплексную бесконечность. В силу
принципа аргумента интеграл I равен разности между числом
нулей и числом полюсов знаменателя ε(ω) − a внутри контура C.ПосколькувнутриC функция ε(ω) аналитична и не имеет полюсов, то число I показывает, сколько раз ε(ω) принимает
значение a.
Рис. 6. Соответствие контуров интегрирования на плоскости
комплексной переменной ω (а) и ε (б).
Для вычисления I перейдем к переменной ε:
Контур C
1
I =
2πi
на плоскости комплексной переменной ε (рис. 6, б)
dε
. (15.15)
ε − a
C
проходит через единицу при ω = ∞ ичерезε(0) при ω =
=0.УчастокC
, соответствующий положительной полуоси
действительной оси ω и обозначенный ’+’, будет лежать в верхней полуплоскости, поскольку в среде всегда есть диссипация
(пусть даже очень маленькая), а для положительности Q при
36 Глав а 1
ω>0 в силу (7.9) нужно Im ε>0.Отрицательнаяполуосьω
в силу (15.7) перейдет в симметричный относительно действи-
тельной оси ε участок контура C
ление обхода C
Контур C
будет таким, как показано на рис. 6, б.
пересекает действительную ось только в двух
точках. Следовательно, если a ∈ (1,ε(0)),товнутриC
(обозначенный ’–’). Направ-
появляется один простой полюс I =1и действительное значение a
принимается один раз. В противном случае ε(ω) не принимает
значения a в верхней полуплоскости переменной ω.
Из доказанной теоремы, в частности, следует, что ε(ω)
принимает действительные значения только на мнимой полуоси
Im ω>0,прич¨ем монотонно убывает на ней от ε(0) до 1.
1.16. Теорема Крамерса — Кронига
Аналитическую функцию можно полностью восстановить
по е¨е действительной или мнимой части. Применительно к диэлектрической проницаемости это означает, что по дисперсии
волны (определяемой Re ε) можно найти декремент ее затухания (выражающийся через Im ε) и наоборот.
Рис. 7. К доказательству теоремы Крамерса — Кронига (кон-
тур интегрирования).
Получим соответствующие формулы для среды с диэлектрической проницаемостью (15.1), прич¨ем будем считать ε(ω)
аналитической при Im ω 0. Выберем ω
интеграл
ε(ω) − 1
C
ω − ω
dω (16.1)
0
∈ R ивычислим
0
1.16. Теорема Крамерса — Кронига 37
по контуру C (рис. 7). Поскольку внутри контура подынтегральное выражение аналитично, этот интеграл равен нулю.
Сдругойстороны,
ω0−ρ
=
+
C
R
−R
+
R
+
, (16.2)
ω0+ρ
ρ
прич¨ем интеграл по большой полуокружности в силу асимптотики (15.13) зануляется:
ε(ω) − 1
R
ω − ω
dω = −
0
R
2
ω
p
dω −−−− →
3
ω
R→∞
0, (16.3)
интеграл по малой полуокружности сводится к полувычету:
ε(ω) − 1
ρ
ω − ω
dω = −πi Res
0
ε(ω) − 1
ω − ω
0
= −πiε(ω0) − 1, (16.4)
а интегралы по участкам действительной оси объединяются в
один интеграл в смысле главного значения. Таким образом,
∞
ε(ω) − 1
−∞
ω − ω
dω = πiε(ω0) − 1, (16.5)
0
откуда, взяв отдельно действительную и мнимую части, получаем формулы
∞
Re ε(ω) −1
−∞
−∞
ω − ω
∞
Im ε(ω)
ω − ω
dω = −π Im ε(ω0), (16.6)
0
dω = πRe ε(ω0) − 1, (16.7)
0
известные как формулы Крамерса — Кронига (H.A. Kramers,
R. L. Kronig, 1927). Формулы (16.6) и (16.7) позволяют по известной мнимой части диэлектрической проницаемости найти
вещественную и наоборот.
38 Глава 1
Мнимая часть ε(ω) не только положительна при ω>0,
но и не может быть пренебрежимо малой во всем интервале
частот. Действительно, перепишем левую часть (16.7) в виде
−∞
∞
Im ε(ω)
ω − ω
=
∞
0
0
Im ε(ω)
ω − ω
dω =
dω +
0
∞
Im ε(ω)
0
ω − ω
∞
Im ε(ω)
ω + ω
0
dω +
0
−∞
dω =
0
0
Im ε(ω)
ω − ω
∞
2ω Im ε(ω)
ω2− ω
0
0
dω =
2
0
dω, (16.8)
где в одном из интегралов мы сделали замену ω →−ω ивос-
пользовались нечетностью Im ε(ω).Приω
небречь ω
кой (15.13):
2
в знаменателе (16.8) и воспользоваться асимптоти-
∞
2ω Im ε(ω)
−
ω
0
2
0
dω = −π
→∞можно пре-
0
2
ω
p
,
2
ω
0
откуда получаем правило сумм:
∞
Аналогично при ω
ω Im ε(ω) dω =
0
→ 0 из (16.8) имеем
0
∞
Im ε(ω)
0
dω =
ω
π
2
2
πω
p
. (16.9)
2
ε(0) − 1. (16.10)
Формулы Крамерса — Кронига и их следствия легко обобщить на среды, диэлектрическая проницаемость которых имеет
полюс в нуле (проводящие среды).
1.17. Электромагнитные волны в средах
с частотной дисперсией
Пусть на полупространство, заполненное средой с проницаемостью (15.1) (рис. 8a), падает по нормали электромагнитная волна с резким передним фронтом, так что электрическое
1.17. Электромагнитные волны в средах 39
поле на границе (при x =0)
E
(t)=
0
0,t<0,
−iω0t−δt
Ae
,t>0.
(17.1)
Слабое затухание δ>0 (δ → 0)здесьвведеновформулудля
того, чтобы в дальнейшем избежать неопределенностей при
интегрировании. Найд¨ем в одномерном случае, как эта волна
будет распространяться в среде.
Рис. 8. Геометрия задачи (а), замыкание контуров интегри-
рования (б).
Стандартный метод определения E(x, t) состоит в следующем. На границе мы разлагаем поле на плоские монохроматические волны, находим закон распространения отдельной
гармоники в среде, после чего интегрированием собираем из
гармоник полное поле в произвольной точке в произвольный
момент времени. Амплитуды отдельных гармоник E(ω) получаем преобразованием Фурье по времени:
∞
E(ω)=
√
1
2π
Ae
0
−iω0t−δteiωt
dt =
√
iA
2π(ω −ω0+ iδ)
. (17.2)
Поле отдельной гармоники
E(x, t)=E(ω) e
ik(ω)x−iωt
, (17.3)
где k(ω) — закон дисперсии электромагнитных волн,
k(ω)=
ω
ε(ω), (17.4)
c
40 Глава 1
прич¨ем поскольку мы рассматриваем граничную задачу (временная зависимость поля в некоторой точке задана), то частота
ω действительна, а k может принимать комплексные значения.
Полное поле получается интегрированием (17.3):
∞
E(x, t)=
√
1
2π
−∞
E(ω) e
ik(ω)x−iωt
dω. (17.5)
Как видно из (17.2), наибольший вклад в интеграл (17.5)
дают гармоники с ω ≈ ω
, что позволяет разложить k(ω) вряд
0
вблизи этой точки:
ω − ω
k(ω)=k(ω
dk
0
)+
(ω − ω
dω
k
= k(ω0),vg=
0
)+...≈ k0+
0
dω
dk
.
0
v
g
, (17.6)
Следовательно,
∞
−∞
ik0x−iω0t
e
ω − ω0+ iδ
dω
i(ω−ω0)(x/vg−t)
e
. (17.7)
E(x, t) ≈
iA
2π
Для вычисления интеграла (17.7) замкнем контур интегрирования по большой полуокружности (рис. 8, б), прич¨ем при
x>v
при x<v
t контур замыкается через верхнюю полуплоскость, а
g
t — через нижнюю, чтобы вклад в интеграл от по-
g
луокружности стремился к нулю за счет экспоненциальной малости подынтегрального выражения. Интеграл по замкнутому
контуру легко вычисляется через вычеты. Так как подынтегральная функция аналитична в верхней полуплоскости и имеетпростойполюсвнижней(приω = ω
− iδ), окончательно
0
получаем
x>v
t : E(x, t)=0; (17.8)
g
iA
ik0x−iω0t
t : E(x, t)=
x<v
g
Учет второй производной d
e
2π
ik0x−iω0t
≈ Ae
2
k/dω2в(17.6)да¨ет расплывание
переднего фронта волны (рис. 9).
(−2πi) e
−δ(x/vg−t)
≈
. (17.9)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]