Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика сплошных сред
.pdf
2.12. Ударная адиабата 91
отсчета — скорость v
.Найдеме¨е. Для этого воспользуемся
1
(12.8) и (12.4):
− p2)
− V
V
2
1
V
1
2
j
=
A
1
=
− p
p
1
V2− V
− A
A
2
2
1
2
=
(γ +1)p
=
2(p
1
(γ +1)p2+(γ − 1)p
+(γ −1)p
2
2V
1
1
, (12.15)
, (12.14)
1
откуда
v
2
= j2V
1
2
= γp1V
1
(γ +1)(p
1+
1
2γp
2
1
− p1)
. (12.16)
Сумма, стоящая в скобке, всегда больше единицы. Следовательно, газ налетает на ударную волну (или ударная волна
налетает на газ) со скоростью, большей скорости звука:
v
1>cs1
=γp1V1. (12.17)
Аналогично можно показать, что позади ударной волны газ
течет с дозвуковой скоростью:
v
2<cs2
=γp2V2. (12.18)
Соотношения (12.17) и (12.18) помогают понять физику
ударной волны на качественном уровне. С точки зрения газа 1,
картина явления выглядит так (рис. 28, а). Плотный, с большим
давлением газ 2 налетает на покоящийся газ 1 и «сминает» его
подобно бульдозеру. Поскольку граница раздела движется быстрее скорости звука, газ 1 остается в покое до самого прихода
фронта ударной волны (газ «узнает» о нем только тогда, когда
фронт уже пришел).
С точки зрения плотного газа картина иная (рис. 28, б).
Газ 2 находится в состоянии покоя, прич¨ем слева он удерживается за счет быстрого потока газа 1, который своим передаваемым импульсом уравновешивает давление газа 2. Газ 1 при
ударе о границу раздела сжимается, нагревается и становится
газом 2, поэтому граница раздела движется влево с некоторой
дозвуковой скоростью.
92 Гла ва 2
Рис. 28. Ударная волна с точки зрения редкого (а) и плот-
ного (б) газов.
Полезно также рассмотреть предельные случаи сильной и
слабой ударной волны. В случае сильной волны
p
p
2
→∞,
1
ρ
1
=
ρ
2
γ −1
V
2
=
V
1
, (12.19)
γ +1
так что степень сжатия газа при прохождении ударной волны
оказывается ограниченной. Для воздуха (двухатомный газ, γ =
=7/5) максимальная степень сжатия равна 6.
В случае слабой волны давление и плотность газа изменяются на малую величину:
= p1+ δp (δp p1),ρ2= ρ1+ δρ (δρ ρ1), (12.20)
p
2
связь между изменениями давления и плотности оказывается
такой:
δρ
ρ
1
≈−
δV
δp
≈
,δp= c
γp
V
1
1
2
δρ, (12.21)
s1
аскоростигазапримерноравны:
v
≈ v2≈ cs1≈ cs2. (12.22)
1
Таким образом, в пределе малого скачка давления ударная волна переходит в суперпозицию обычных звуковых волн.
2.13. Истечение газа через сопло
Рассмотрим практически важную задачу о стационарном
истечении газа из большого сосуда через узкое сопло с плавно
2.13. Истечение газа через сопло 93
меняющимся сечением S (рис. 29). Исходные давление p
плотность ρ
газа, а также давление на выходе из сопла p
0
0
заданы. Будем работать в рамках идеальной гидродинамики.
Рис. 29. Геометрия задачи об истечении газа через сопло.
Из уравнения Бернулли (3.7) имеем
∂l
2
= −
∂w
∂l
∂
v
2
= −
∂p
1
ρ
∂l
= −
2
c
∂ρ
s
, (13.1)
ρ
∂l
где координата l отсчитывается вдоль линии тока. Из этой формулы следует, что скорость потока в сопле увеличивается, когда давление и плотность газа падают.
Поскольку сечение сопла меняется плавно, течение можно
считать одномерным (т. е. все величины зависят только от l).
Полный поток газа при этом равен
Q = ρvS, откуда ρv =
Q
, (13.2)
S(l)
и
a
так что плотность потока ρv (масса вещества, прошедшего
в единицу времени через единицу площади) есть известная
функция от l.
Из уравнения (13.2) легко находятся все параметры течения для произвольного сечения сопла S(l).Например,для
идеального газа выражаем все через плотность:
γ
ρ
p = p
0
= p(ρ), (13.3)
ρ
0
94 Глава 2
2
c
s
γp
=
ρ
2
v
+ w = w
2
γ−1
ρ
γp
0
=
ρ
ρ
0
0
w =
γp
(γ −1)ρ
⇒ v =2(w0− w)=v(ρ) (13.6)
0
= c
=
γ−1
ρ
2
s0
2
c
s
γ −1
ρ
0
= c
= w(ρ), (13.5)
ииз(13.2)находимзависимостьρ(l).
Рис. 30. Зависимость плотности потока от скорости газа для
γ =7/5.
2
(ρ), (13.4)
s
Качественные особенности истечения газа легко понять,
если продифференцировать плотность потока по l,
∂ρv
∂l
= ρ
∂v
∂l
2
ρv
∂
−
v
∂l
= ρ1 −
2
2
c
s
2
v
∂v
, (13.7)
2
∂l
c
s
испомощьюэтойформулыпостроитьграфикфункцииρv(v)
(рис. 30). При малых v поток растет почти линейно (коэффициент перед ∂v/∂t почти константа), затем рост замедляется и
при v = c
сменяется убыванием. Когда скорость v достигает
s
скорости истечения газа в вакуум (3.10), поток обращается в
нуль, так как в вакууме ρ =0.Изрис.30следует,чточто-
бы скорость истечения на выходе из сопла могла превысить
скорость звука, сопло должно сначала сужаться, а затем расширяться (так как ρv ∝ 1/S). Такое сверхзвуковое сопло называется соплом Лаваля. Самая узкая часть сопла, в которой
2.14. Простые волны 95
скорость газа равняется локальной скорости звука, называется
критическим сечением, а скорость в ней (v
) — критической
∗
скоростью.
Рис. 31. Ход давления в сопле при различных значениях pa.
Характер истечения газа определяется выходным давлени-
(рис. 31). Если перепад давления мал (paбольше некото-
ем p
a
рого значения p
1(p0,ρ0
ход газа зависит от p
p
в какой-то момент в самом узком месте сопла достигается
a
)), то течение всюду дозвуковое, а рас-
(вариант а на рис. 30). При уменьшении
a
скорость звука, после чего расход газа перестает зависеть от
выходного давления. При сверхзвуковом течении (вариант б)
расходом газа однозначно определяются все параметры потока, в том числе и давление на выходе. Поэтому сверхзвуковое
течение, описываемое нашей моделью, возможно только при
определенном значении p
ется расчетным. Если p
= p2(p0,ρ0). Такое течение называ-
a
a<p1
и pa= p2, то реализуется нерасчетный режим истечения: в сопле появляются ударные волны
и течение газа перестает быть одномерным и изэнтропическим.
2.14. Простые волны
Простая волна — это одномерная звуковая волна конечной
(не малой) амплитуды. Найдем закон движения такой волны.
В одномерном случае уравнения идеальной жидкости (1.1)
и (1.8) имеют вид
∂ρ
∂t
∂ρv
+
∂x
=0,
∂v
∂t
+ v
∂v
∂x
= −
∂p
1
; (14.1)
ρ
∂x
96 Глава 2
течение мы считаем изэнтропическим:
s =const,p= p(ρ). (14.2)
Предположим, что между давлением, плотностью и скоро-
стью жидкости есть взаимооднозначное соответствие:
ρ = ρ(v),p= p(v). (14.3)
Тогда уравнения (14.1) принимают вид
dρ
=
, (14.4)
dv
2
∂v
s
ρ
ρ
∂x
(14.5)
∂v
∂t
+ ρ
+ v
∂v
∂x
∂v
∂x
+ vρ
= −
∂v
=0,ρ
∂x
2
c
∂ρ
s
= −
ρ
∂x
c
∂v
ρ
∂t
или
ρ
∂v
∂t
∂v
∂t
+v +
+v +
∂v
=0, (14.6)
∂x
ρ
2
c
ρ
∂v
s
ρ
=0. (14.7)
∂x
Эта система имеет решение при условии
2
ρ
c
ρ
s
=
ρ
ρ
или
ρ
= ±cs. (14.8)
ρ
Заметим, что в обычной звуковой волне связь (10.17) между
плотностью и скоростью жидкости такая же:
ρ
ρ
= ρ
v
= ±c
0
δρ
. (14.9)
s
Подстановка (14.8) в (14.6) да¨ет
∂v
∂t
+(v ±c
s
(v))
∂v
=0. (14.10)
∂x
Это уравнение сводится к известному уравнению Хопфа
∂u
∂t
+ u
∂u
=0,u= v ± c
∂x
путем домножения на du/dv.
(v) (14.11)
s
2.14. Простые волны 97
Для решения (14.11) нужно конкретизировать зависимость
(v). В случае идеального газа из (13.4) находим
c
s
2
dc
1
s
2
dv
c
s
c
(v)=cs0±
s
=
γ −1
ρ
γ −1
dρ
dv
2
γ − 1
= ±
,
c
s
v, u(v)=
dc
dv
γ +1
2
s
= ±
v ± c
γ − 1
2
, (14.12)
s0
,
где c
— скорость звука в невозмущенном (v =0)газе.
s0
Рис. 32. Эволюция простой волны, бегущей в направлении x.
Решение уравнения Хопфа характеризуется тем, что каждая точка профиля волны движется со скоростью u.Какследствие, профиль волны искажается (рис. 32). В некоторый момент времени наступает опрокидывание волны (рис. 32, в), т. е.
внекоторыхточкахпроизводныеdv/dx, dρ/dx и dp/dx обращаются в бесконечность. Физически опрокидывание простой
волны означает появление разрывов (ударных волн) и нарушение предположения об изэнтропичности движения (рис. 32, г).
После образования ударных волн возмущение постепенно затухает, так как в системе появляется диссипация.
Отметим, что искажение профиля гармонической волны
можно также интерпретировать как результат нелинейного
трехволнового взаимодействия, при котором наряду с волной
(k, ω) в спектре появляются высшие гармоники (nk, nω).
98 Глава 2
2.15. Слабая ударная волна
Чтобы проследить эволюцию волны после опрокидывания, необходимо учесть диссипативные процессы. Аналитически это удается сделать только в случае слабой диссипации и
малой амплитуды волны:
η, ζ, κ —малы,v c
,δρ ρ0. (15.1)
s0
Таким образом, в задаче появляются два сорта малых параметров.
Движение вязкой жидкости описывается уравнениями
(1.1), (8.8) и (9.3), которые в одномерном случае принимают
вид
∂ρv
∂ρ
dv
dt
= −
1
ρ
ρT
∂p
∂x
ds
dt
∂t
+
+
η
ρ
= σ
=0, (15.2)
∂x
∂
∂x
xx
v
2
∂v
∂x
+
1
ρ
+ κ
2
η
3
∂
∂x
2
+ ζ
T
2
∂
v
∂x
; (15.4)
2
, (15.3)
2
поскольку в волне изменение термодинамических параметров
жидкости мало, коэффициенты η, ζ и κ можно считать кон-
стантами.
Линеаризуем уравнения (15.2)–(15.4), используя малость
амплитуды волны:
∂v
∂t
= −
∂δρ
∂t
∂δp
1
ρ
0
∂x
4η
1
+
ρ
0
3
∂p
1
−
ρ
0
∂s
+ ρ
+ ζ
∂v
=0, (15.5)
0
∂x
2
∂
v
= −
2
∂x
∂δs
∂x
ρ
1
+
ρ
∂p
∂ρ
s
∂
∂x
∂δρ
∂x
2
v
2
−
, (15.6)
1
ρ
0
4η
+ ζ
0
3
∂δs
∂t
κ
∂2δT
=
ρ0T
0
. (15.7)
2
∂x
2.15.Слабаяударнаяволна 99
Затемсведемэтусистемукодномууравнению.Дляэтогопродифференцируем (15.6) по времени и воспользуемся (15.5) и
(15.7):
∂
∂t
= c
= −
2
s
∂x
∂2v
−
2
c
∂
s
ρ
+
2
κ
2
ρ
0
−ρ
0
∂x
4η
1
ρ
0
3
∂p
∂s
T
0
2
v
2
0
−
+ ζ
ρ
∂v
∂x
∂x
1
ρ
0
3
∂
3
1
+
ρ
∂p
∂s
3
∂
v
∂x2∂t
∂T
0
ρ
−
∂p
4η
3
∂
∂x
s
+ ζ
δp +
κ
ρ0T
3
∂
v
∂x2∂t
∂2δT
∂x
0
∂T
∂s
−
=
2
δs. (15.8)
p
Содержащее δs слагаемое здесь имеет второй порядок по малости диссипации, потому его можно опустить:
∂
+ c
∂t
1
=
ρ
0
∂
∂
s
∂x
4η
+ ζ
3
∂t
− c
3
∂
∂x2∂t
∂
v =
s
∂x
v
−
V
∂p
κ
2
ρ
∂s
T
0
0
∂T
∂p
3
δp
∂
. (15.9)
3
∂x
s
Термодинамические производные в (15.9) с помощью стандартной техники преобразования якобианов выражаются через теплоемкости:
∂p
∂s
V
=
∂(pV )
∂(sV )
∂T
∂p
=
s
∂(Ts)
∂(ps)
=
∂(pV )
∂(sV )
∂(ps)
∂(Ts)
∂(TV)
∂(sV )
∂(Ts)
∂(ps)
∂(VT)
∂(sT )
∂(pT )
−
∂(ps)
∂(pV )
∂(Ts)
−
= T
=
∂(pT )
∂(sT )
1
c
−
v
∂(Vs)
∂(Ts)
1
c
p
=
, (15.10)
где мы использовали равенства
∂(Ts)
∂(pV )
=1,c
p
= T
∂s
,c
∂T
p
v
= T
∂s
. (15.11)
∂T
V
100 Гла ва 2
Уравнение (15.9) описывает обыкновенную звуковую волну, которая бежит со скоростью звука и медленно меняется
из-за малой диссипации. Будем считать, что волна бежит в
направлении x,тогдавней
∂t
∂
≈−c
∂
∂
,
s
∂x
∂t
− c
∂
s
∂x
≈ 2
∂
,δp≈ c
∂t
2
δρ ≈ ρ0csv (15.12)
s
(для неизменного профиля волны равенства были бы точными).
Тогда уравнение (15.9) принимает вид
∂
∂v
2
∂t
∂t
+ c
1
=
ρ
0
4η
∂v
=
s
∂x
3
∂
+ ζ
3
v
∂x2∂t
+
κ
1
c
2
ρ
c
s
0
3
∂
ρ0csv
1
−
c
v
p
∂x2∂t
(15.13)
или, после интегрирования по времени,
0
+ c
4η
3
∂v
s
∂x
+ ζ +
∂v
∂t
1
=
ν
eff
2ρ
= ν
∂2v
, (15.14)
eff
2
κ(c
∂x
p
cpc
− cv)
v
. (15.15)
Поскольку малые эффекты аддитивно складываются, при
одновременном учете вязкости (этот раздел) и малой нелинейности волны (раздел 2.14) изменится только коэффициент перед ∂v/∂x:
+ u(v)
∂v
∂x
= ν
∂2v
,u= v + cs(v). (15.16)
eff
2
∂x
∂v
∂t
Прислабойдиссипациипроизводнаяdu/dv ≈ const;домножением (15.16) на не¨е получаем уравнение Бюргерса:
+ u
∂u
∂x
= ν
∂2u
. (15.17)
eff
2
∂x
∂u
∂t
Это уравнение есть обобщение уравнения Хопфа (14.11). Им
описывается как нелинейное искажение профиля волны, так и
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]