Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Установившиеся и переходные режимы работы электрических цепей. Учебное пособие.pdf
I R1 XL
R2
Е
XC
Рис. 1.37
Анализ полученного уравнения показывает, что при изменении
параметров одного из элементов схемы возможны различные варианты
решения.
При изменении сопротивлений R
и R2 возможны два варианта
1
решения:
1) существует одна точка резонанса (корни уравнения веществен-
ные; один положительный, а другой отрицательный);
2) резонанс в схеме невозможен (корни уравнения комплексные).
При изменении индуктивности L или ёмкости C возможны три
варианта решения:
1) существуют две точки резонанса (корни уравнения веществен-
ные и оба положительные);
2) существуют одна точка р
езонанса (корни уравнения равные и
положительные);
3) резонанс в схеме невозможен (корни уравнения комплексные).
Решая уравнение резонанса относительно частоты, получим
L
2
R
−
1
=ω
0
LC
1
C
L
C
. (1.74)
2
−
R
2
Анализ этого уравнения показывает, что при R1 = R2 резонансная
частота имеет выражение
1
=ω , а при
0
LC
L
C
2
2
RR
==
для ω
2
1
получается неопределённое решение, что физически означает резонансный режим на любой частоте.
На рисунке 1.37 приведена схема последовательного контура,
в которой реальные элементы (катушка и конденсатор) представлены
различными схемами замещения.
0
41
Входное комплексное сопротивление схемы
jXRZ
1
вх
⎛
⎜
Xj
L
⎜
⎝
Условие резонанса
или
()
2
++=
L
2
2
XR
2
−+
C
+
XR
2
XX
L
э
R
−ω
L
R
2
−
−
22
C
−=
2
2
2
+
⎛
jXR
C
⎜
+=
R
1
⎜
jXR
C
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎛
⎜
ω
⎝
⎛
⎜
⎝
jXR
+=
ээ
2
XR
C
2
+
1
C
1
ω
C
0
=
22
XR
C
2
⎞
⎟
⎠
0
=
2
⎞
⎟
⎠
2
⎞
XR
C
2
⎟
+
22
⎟
+
XR
⎠
C
2
. (1.75)
. (1.76)
Анализ этого уравнения показывает неоднозначную зависимость
условия резонанса от значений параметров каждого элемента схемы.
Если сложная схема содержит в своей структуре несколько (более
двух) разнородных реактивных элементов, то при изменении частоты
в ней могут наблюдаться несколько резонансных режимов (как тока,
так и напряжения) в зависимости от структуры схемы.
1.15. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
РАСЧЁТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.15.1. Топологические определения схемы
С появлением ЭВМ и их широким применением для решения
сложных математических задач были разработаны специальные топологические расчёты сложных электрических цепей, графов и матриц.
Схема сложной электрической цепи (рис. 1.38, а) может быть
заменена (представлена) направленным графом (рис. 1.38, б) с соблю-
дением следующих условий:
1) узлы графа соответствуют узлам схемы;
2) ветви графа соответс
твуют ветвям схемы;
3) направление ветвей соответствует направлению токов в ветвях
схемы.
42
−
E
R
I1 Z1 E1
1
I4 Z
1
I2 I6 I3
Z2 Z6 Z3
а) б)
4 Z5 I5
4
E3
2
3
2
Рис. 1.38
1
2
4 4 5
4 4 5
2
2
3
3
Подграфом можно назвать любую часть графа. Минимальный
связанный подграф, соединяющий все узлы графа и не образующий
контуров, называется деревом графа (на схеме графа обозначается
жирной линией). Для определённого графа можно составить определённое множество вариантов деревьев, но в расчёте схемы принимается любой из вариантов. Связями или хордами называются ветви гр
афа,
не входящие в его дерево.
Структура графа и соответственно структура электрической схемы может быть описана с помощью топологических матриц или матриц соединения. Таких матриц несколько, для расчёта электрических
цепей используются две основные: [A] − матрица соединений «узлы–
ветви» и [B] − матрица соединений «контуры–ветви».
В общем случае сложная схема со
держит m ветвей и n узлов,
при этом максимальное число ветвей зависит от числа узлов:
)1(
nn
=
m
max
.
2
Чтобы составить таблицу соединений «узлы–ветви», необходимо
придерживаться следующих правил (табл. 1.1):
– ветвь выходит из узла;
– ветвь входит в узел;
– отсутствие связи с узлом.
43
№ узла/№ ветви 1 2 3 4 5 6
Таблица 1.1
1 1
2
−1
−1
0
3 0 1 1 0 0
4 0 0 0
0 1 0 0
−1
0 1 0
−1
−1 −1
1
Так как каждая ветвь имеет только один вход (−1) и один выход
(+1), то сумма чисел по вертикали для любого столбца равна нулю.
Можно сделать вывод, что независимыми являются только 3 из 4 строк
таблицы. Матрица соединений [A] «узлы–ветви» (табл. 1.2) полу-
чается из табл. 1.1 путём вычёркивания любой строки (например,
строки № 4):
№ узла/№ ветви 1 2 3 4 5 6
1 1
2
−1
−1
1
−1
1
3 1 1
Таблица 1.2
−1
Размерность матрицы соединений [A] «узлы–ветви» равна
[(n – 1]m, где n − 1 – число независимых узлов; m – число ветвей.
Независимыми называются контуры графа, образованные одной
из хорд и ветвями дерева. Число независимых контуров, соответствующих числу хорд графа: k = m – (n – 1) = 3, контуры нумеруются
по номеру хорды (1, 2, 3). Направление обхода контура принимается
по направлению хор
Составим таблицу соединений «контуры–ветви», руководствуясь
следующими правилами (табл. 1.3):
1 – направление ветви совпадает с направлением обхода контура;
– направление ветви не совпадает с направлением обхода кон-
тура;
ветвь не входит в контур.
ды, которая входит в состав этого контура.
44
ϕ−ϕ
=
ϕ==−=
ϕ
Таблица 1.3
№ контура/№ ветви 1 2 3 4 5 6
1 1 0 0
−1
1 0
2 0 1 0 1 0 1
3 0 0 1 0 1 1
Данная таблица получила название матрицы соединений [B] −
«контуры–ветви». Размерность матрицы соединений [B] равна [k
где
)1( −−= nmk – число независимых контуров; m – число ветвей.
×
m],
Если матрицы соединений [A] и [B] составлены верно, то должно
выполняться условие:
1.15.2. Уравнения Ома и Кирхгофа в матричной форме
T
=AB
.0][][
Если в исследуемой сложной схеме содержатся параллельно
включённые ветви, то для составления матриц соединений такие ветви
необходимо заменить (объединить) одной эквивалентной ветвью.
В общем случае любая ветвь схемы кроме комплексного сопро-
тивления (проводимости)
, источник тока
E
к
. Схема и граф обобщённой ветви показаны
J
к
Z =
к
1
может содержать источник ЭДС
Y
к
на рис. 1.39, а, б.
Ток ветви –
I ; напряжение ветви –
к
Из потенциального уравнения ветви
следуют:
−+=
EJZIZU
⎫
к
кк
ккк
к
к
к
−+=
кк
− уравнения Ома для к-й ветви.
⎬
JEYUYI
⎭
к
U .
к
21
1
)(
ZJIЕ
к
к
к
2
Iк (Iк + Jк)EкZк
2 1
21
JкUк
а) б)
Рис. 1.39
45
Для всех m ветвей составим систему уравнений по этой форме:
[][][][][
=
∑
=
∑
[
[
⎫
EJZIZU
−+=
;
1
111
1
2
m
1
−+=
222
2
mmm
m
⎪
EJZIZU
;
⎪
2
⎬
−−−−−−−−−−−−−−
⎪
⎪
EJZIZU
−+=
.
⎭
m
Заменим полученную систему из m уравнений матричной формой. Для этой цели введём следующие обозначения матриц:
U
⎤
⎡
1
⎥
⎢
U
2
⎥
⎢
[] [] [] []
U
=
⎥
⎢
L
⎥
⎢
U
⎥
⎢
⎦
⎣
m
I
⎤
⎡
1
⎥
⎢
I
2
⎥
⎢
I
=
⎥
⎢
L
⎥
⎢
I
⎥
⎢
⎦
⎣
m
J
⎤
⎡
1
⎥
⎢
J
2
⎥
⎢
J
=
; ; ;
⎥
⎢
L
⎥
⎢
J
⎥
⎢
⎦
⎣
m
E
⎤
⎡
1
⎥
⎢
E
2
⎥
⎢
E
=
− столбцовые матрицы
⎥
⎢
L
⎥
⎢
E
⎥
⎢
⎦
⎣
m
соответственно напряжений, токов, источников тока и источников ЭДС;
Y
0
;
[]
=
Y
⎡
1
⎢
Y
0
2
⎢
⎢
LL
⎢
0
0
⎣
0
Z
⎡
1
⎢
Z
0
⎢
[]
Z
=
⎢
⎢
⎣
матрицы соответственно сопротивлений и проводимостей.
2
LL
0
0
0
... 0
⎤
⎥
0
... 0
⎥
⎥
L
LL
⎥
Z
... 0
⎦
m
0
... 0
⎤
⎥
0
... 0
⎥
− диагональные
⎥
L
LL
⎥
Y
... 0
⎦
m
Уравнения Ома в матричной форме получат вид:
] []
−+=
EJZIZU
⎫
[] [][][][][]
Уравнения Кирхгофа в обычной форме имеют вид: 0
вый закон Кирхгофа для узлов;
0
U – второй закон Кирхгофа для
⎬
−+=
.;JEYUYI
⎭
I − пер-
контуров.
Система уравнений Кирхгофа в матричной форме получается
]
через матрицы соединений
46
[][]
[]
[]
−−=
уравнений;-1)( 0
nIA
−−−=
nmU
А
уравнений-1)(0B
и
]
В
:
⎫
– m уравнений.
⎬
⎭
Составленная система уравнений содержит m неизвестных токов
[
∑
[
∑∑∑
и m неизвестных напряжений, всего два m неизвестных, и непосредственно не может быть решена.
]
Сделаем подстановку матрицы
из матричных уравнений
U
закона Ома, получим
[][]
IA−== 0
[]
[][] [ ][][][][]
в матричной форме.
− m уравнений Кирхгофа для токов
JZBEBIZB
Для сравнения приведём те же уравнения в обычной форме:
;0
=
I
−=
Сделаем подстановку матрицы
.
ZJEZI
∑∑∑
]
I из матричного уравнения
закона Ома, получим
[][][][][][][][]
[]
[]
0=−=UB
EYAJАUYA
− m уравнений Кирхгофа для напря-
жений в матричной форме.
Для сравнения приведём те же уравнения в обычной форме:
⎧
⎪
⎨
=
⎪
∑
⎩
−=
⎫
UYEJYU
⎪
.
⎬
0
⎪
⎭
1.15.3. Контурные уравнения в матричной форме
Вводим понятия контурных токов
I . Контурные токи замыкают-
к
ся по контурам-ячейкам графа, именуются по имени хорды, их направление совпадает с направлением хорды. Столбовая матрица контурных
токов
I
⎡
⎢
⎢
[]
=
I
к
⎢
⎢
⎢
⎣
I
L
I
⎤
1к
⎥
2к
⎥
.
⎥
⎥
⎥
+− )1(к
nm
⎦
47
Действительные токи связаны с контурными через матрицу
[
[
[
[
[] [ ]
T
]
IBI =
.
к
]
:
В
Заменим в уравнениях 2-го закона Кирхгофа действительные токи
]
] на контурные
[I
[][][]
I
согласно формуле
к
T
[]
[][][][][]
к
JZBEBIBZB −=
− матрица контурных сопротив-
лений.
Введём обозначения:
Z
[][][]
[]
к
ний в матричной форме;
[][][][][]
[]
к
[][][]
T
BZBZ − система контурных уравне-
==
EIZ =
− система контурных уравнений в обобщённой
ккк
Z
⎡
11
⎢
Z
21
⎢
⎢
⎣
JZBEBE
=−=
...
⎤
12
Z
......
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎥
...
22
⎥
⎥
...
⎦
E
⎤
11
⎥
− матрица контурных ЭДС;
Е
22
⎥
⎥
....
⎦
матричной форме.
1.15.4. Узловые уравнения в матричной форме
Вводим понятие узловых потенциалов ϕу. Потенциал последнего
n-го узла, для которого отсутствует строка в матрице [A], принимается
равным 0. Столбовая матрица узловых потенциалов
[]
Напряжения ветвей связаны с потенциалами узлов через матрицу
[][]
ϕ
ϕ
....
ϕ
⎤
1у
⎥
⎥
2у
.
⎥
⎥
⎥
⎥
− )1(у
n
⎦
]
T
][
ϕ= AU
.
у
А :
⎡
⎢
⎢
=ϕ
⎢
у
⎢
⎢
⎢
⎣
48
Подставим в уравнения 1-го закона Кирхгофа
ϕ
получим
J
⎡
⎤
11
⎢
[][] [][][]
[]
у
у
у
EYAJAJ
][]][[
JY =
− система узловых уравнений в обобщённой
у
⎥
=−=
J
− матрица узловых токов;
22
⎢
⎥
⎢
⎥
....
⎣
⎦
матричной форме.
[] []
T
][
ϕ= AU ,
у
49
2. ЗАДАНИЕ НА РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКУЮ РАБОТУ
Для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 2.1,
по указанным в табл. 2.1 параметрам, амплитуде и фазе ЭДС источников выполнить следующее.
1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений
для расчёта токов в ветвях схемы, записав её в интегральнодифференциальной и символической формах.
2. Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях
схемы с помощью лю
бого метода расчёта линейных электрических цепей.
3. Определить показания ваттметра, включённого в указанную
в табл. 2.1 ветвь, двумя способами: а) с помощью выражения для комплексов тока и напряжения на ваттметре; б) по формуле, при этом
с помощью векторной диаграммы тока и напряжения, на которые реагирует ваттметр, пояснить опр
еделение угла.
4. Подключить вольтметр для измерения напряжения на указанных в табл. 2.1 элементах и определить его показания.
5. Построить в масштабе на комплексной плоскости топографическую
диаграмму напряжений, совмещённую с векторной диаграммой токов.
6. Построить в масштабе на комплексной плоскости векторную
диаграмму напряжений и токов.
По данным расчёта записать выражение для мгновенного значения
тока одн
элементов цепи;
ветствующей маркировкой выводов.
ой из ветвей и построить график зависимости этой величины от ωt.
П р и м е ч а н и я :
• номер ветви соответствует нижнему индексу условных обозначений
• пункты 5 или 6 выполняются по указанию преподавателя;
• на схеме цепи обязательно изображать вольтметр и ваттметр с соот-
1
E
1
R
C
1
1
L1
2
E
1
C2
1
E
2
L
2
2
E
2
1
E
3
L
3
2
E
C3
3
R
3
Рис. 2.1
50