Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Установившиеся и переходные режимы работы электрических цепей. Учебное пособие.pdf
Пользуясь рядом Фурье, мы найдём и сам ток в цепи, как сумму
всех составляющих тока, определяемых согласно выражению (4.120).
Выражение (4.120) можно записать через спектральную функцию,
тогда получим
Ω KSKYKS
Ω
π
Ω
.)()()(
ΩΩ=
ei
(4.120)
π
Данное равенство справедливо для любых K и Ω, т.е. можно
записать
).()()( ωω=ω
SYS (4.121)
ei
Пользуясь этим соотношением, теперь можно указать последовательность решения задачи при определении тока в цепи при воздействии на её вход одиночного импульса, т.е. непериодической ЭДС.
В этом случае по заданной ЭДС e (t) с помощью прямого преобразо-
вания Фурье (4.117) находится спектральная функция )(ω
S . Затем
e
на основании выражения (4.121) находится спектральная функция
импульса тока, после чего с помощью обратного преобразования
Фурье (4.118) находится сам импульс тока в цепи:
)( ωω
=
2
∞
1
i
∫
∞−
π
ω−
tj
.)(
deSti
(4.122)
Зная ток, легко определить и напряжение на элементах цепи.
Напряжение может быть найдено и непосредственно по коэффициенту
)(
ω
ϕ−
передачи цепи
j
)()(
ω=ω
eKK , т.е. известна амплитудно-частотная
)(ωK и фазово-частотная характеристики цепи. Для определения на-
пряжения на выходе цепи при воздействии на её вход сложной ЭДС
)(вхtu , которую будем также называть входным сигналом, необходимо
сначала с помощью выражения (4.117) найти спектральную функцию
входного сигнала )(
напряжение на выходе цепи (выходной сигнал):
ωS . Затем с помощью выражения (4.118) найти
вх
∞
1
)(
=
2
вхвых
∫
∞−
π
ω−
tj
.)()(
ωωω
deKStu
(4.123)
Из полученных формул можно сделать следующий вывод: электрические процессы (как стационарные, так и переходные) в любой
линейной цепи, вызываемые действием сложной ЭДС, полностью и
101
однозначно определяются частотными характеристиками цепи. Это
ωϕ′
ωϕ′
ψ>ψ
означает, что при воздействии одинаковых ЭДС на две цепи, имеющие
одинаковые частотные характеристики, но выполненные из физически
различных элементов, переходные процессы в них будут по характеру
одинаковыми.
Таким образом, при спектральном методе анализа переходных
процессов всегда пользуются комплексными характеристиками цепи –
комплексной проводимостью Y
или комплексным коэффициентом передачи
(ω), комплексным сопротивлением Z (ω)
)(ωK
.
Комплексный коэффициент передачи, определяемый как отношение комплексных амплитуд гармонических напряжений на выходе и
входе цепи в стационарном режиме, может быть записан в двух формах:
ψ
j
2
U
K
вых
U
вх
вых
вх
eU
ψ
j
1
eU
)(
ψ−ψ
j
12
′
ω=ω=ω===ω
)()(
ωϕ−ωϕ
jj
)()()()(
eKeKeK
(4.124)
или
.)()()(sin)()(cos)()( ω−ω=ωϕω−ωϕω=ω jNPjKKK (4.125)
Здесь амплитудно-частотная, или просто частотная характеристика цепи
)(ωK записывается в виде
U
K
вых
U
вх
22
,)()()(
ω+ω==ω NP
(4.126)
а фазово-частотная, или просто фазовая характеристика цепи определяется выражением
Величина )(
определяет угол сдвига (запаздывание) фазы
)(
ω
N
.
arctg)()(
−=ωϕ′−=ωϕ
(4.127)
)(
ω
P
выходного напряжения относительно фазы входного напряжения.
Во многих случаях целесообразно использовать не угол )(
)()( ωϕ′−=ωϕ , который положителен 0)( >ωϕ , когда
, а угол
, т.е.
21
если выходное напряжение отстаёт от входного.
В обратном преобразовании Фурье, в подынтегральном выражении имеется произведение )()()(
ωω=ω SKS , определяющее спек-
вхвых
102
тральную функцию выходного сигнала через спектральную функцию
входного сигнала с помощью комплексного коэффициента передачи.
В спектральном методе иногда вызывает наибольшие трудности вычисление обратного преобразования Фурье. Определение же спектральной функции выходного сигнала более просто, и по её выражению (или графику) можно произвести качественный анализ переходного процесса, т.е. дать качественную оценку выходного сигнала.
4.10. СВОЙСТВА ЦЕПИ R, C
В качестве примеров применения спектрального метода рассмотрим процессы в цепи R, C и выясним некоторые её свойства, важные
для многих радиоэлектронных систем.
Будем рассматривать два случая цепи R, C. В первом случае выходное напряжение снимается с активного сопротивления (рис. 4.13, а),
а во втором с ёмкости (рис. 4.13, б).
Для первого случая коэффициент передачи цепи имеет выражение
ωτ
)(
K
R
=ω
+
R
ω
ω=
1
Cj
R
Cj
ω+
RCj
j
,
=
11
(4.128)
ωτ+
j
где τ = RC – постоянная времени цепи. На основании выражения
(4.128) находим частотную и фазовую характеристики цепи:
1
)(
=ωK
1
+
−=ωϕ
arctg)( . (4.130)
; (4.129)
1
22
τω
1
ωτ
а) б)
Рис. 4.13
103
ω
а)
ω
б)
н
Рис. 4.14
Графики этих характеристик показаны на рис. 4.14 a, б. Полоса
пропускания цепи, определённая на уровне 0,707, простирается
от нижней граничной частоты ω до ω → ∞. Частота
находится
н
из равенства
1
==
1
+
, (4.131)
1
22
τω
т.е.
707,0
1
2
1
=ω
.
н
τ
Рассмотрим случай воздействия на такую цепь прямоугольного
импульса (рис. 4.15, а). Сначала найдём его спектральную функцию
)(ωS . Для этого воспользуемся выражением спектральной функции
t
прямоугольного импульса, опережающего на время
пульс. Используя теорему запаздывания, получим
ω
t
и
sin2
U
)(
=ω
S
ω
t
j
2
e
U
=
j
ωω
t
⎛
j
⎜
⎜
ω
⎝
ω
t
⎞
−
−
−
j
⎟
eee
⎟
⎠
и
заданный им-
2
ω
t
ииии
j
U
2222
=
j
ω
ω−
tj
()
1
и
.
e
−
(4.132)
Затем, пользуясь обратным преобразованием Фурье, находим напряжение на выходе цепи
104
(
ω−
ω
tj
ω
tj
∞
1
=
)(
2
∫
∞−
π
2
ω
∞
e
τ
U
=
∞−
ωτ+π
j
ω
)()(
tj
−ω
d
Вычисляя первый интеграл, получим
∞
τ
∫
∞−
2
U
tj
=ωωω
deKStu
τ
U
1
ωτ+π
jU1
∫
2
π
∞
e
∫∫
∞−
1212
tj
ω
∞
1
∞−
−ω
ttj
)(
и
ω
d
ωτ+π
j
−
=ω
Uede
и
−ω
)
eetj
()
1
ωτ+ω
jj
=ω
d
. (4.133)
t
τ
. (4.134)
Второй интеграл отличается от первого подынтегральным множителем
, что указывает на фазовый сдвиг
t
у подынтеграль-
и
tj
ω−
и
e
ной функции по сравнению с функцией первого интеграла. Следовательно, при вычислении второго интеграла мы находим функцию, запаздывающую на время
числении первого интеграла, т.е.
Тогда на выходе цепи получим напряжение
t относительно функции, найденной при вы-
и
∞
τ
U
2
1
∫
∞−
1
ωτ+π
j
)(
2
−ω
)(
ttj
и
=ω
Uede
t
−
τ
−=
tt
−
и
−
τ
UeUetu . (4.136)
)(
tt
−
и
−
τ
. (4.135)
)(
Первый член в правой части выражения (4.136) показывает, как
изменяется напряжение на сопротивлении R во время заряда ёмкости
(когда
интервала времени
ся разностью первого и второго членов выражения (4.136), т.е.
tt < ) при подаче на вход цепи постоянного напряжения U. Для
и
tt ≥ напряжение на сопротивлении R определяет-
и
tt
⎛
−
τ
2
⎜
⎜
⎝
⎞
−
τ
⎟
−=
⎟
⎠
tt
−
)(
и
−
τ
t
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
−
τ
⎟
eUeeUetu 11)(
. (4.137)
−=
⎟
⎠
Это выражение показывает изменение падения напряжения на сопротивлении R за счёт тока разряда ёмкости C, появляющегося после
прекращения действия импульса. Таким образом, напряжение на выходе цепи в данном случае описывается разрывной функцией (4.136).
105
<
=
а)
б)
в)
Рис. 4.15
График выходного напряжения показан на рис. 4.15, б и в соответственно для случаев
tt
и
и
tt<< . Как видно, во втором случае
и
импульс на выходе цепи существенно отличается по форме от входного.
Это свойство цепи, преобразующей входной импульс, используется для осуществления операции приближённого дифференцирования
электрических сигналов. Убедимся в этом.
Пусть необходимо осуществить дифференцирование сложного
напряжения )(
чить на выходе цепи напряжение
tu , имеющего спектральную функцию )(ωS , т.е. полу-
1
dttadutu )()(
,
12
где a – постоянный коэффициент. Коэффициент передачи дифференцирующей цепи )(ωK . Пользуясь выражением (4.123), находим
106
∞
1
=
)(
2
∫
∞−
π
2
∞
1
=
∫
∞−
π
2
ω
tj
deKStu
)()(
ω
tj
ωωω
)(
dejSa
d
=ωωω
a
dt
. (4.138)
∞
1
⎡
∫
⎢
π
2
⎣
)(
∞−
⎤
ω
tj
=
ωω
deS
⎥
⎦
Из этого выражения видно, что дифференцирующая цепь должна
<<ω
ω
τ
ω=ω
ϕ
иметь коэффициент передачи
π
j
)(
2
ω=ω=ω
aeajK . (4.139)
Однако реальные четырёхполюсники не имеют такого коэффициента передачи, и поэтому они могут осуществлять лишь приближённое
дифференцирование. Если в выражении (4.128) положить
1<<ωτ ,
то коэффициент передачи рассматриваемой цепи (см. рис. 4.13, a) соответствует приближённо выражению (4.139). B этом случае напряжение
на выходе цепи
)(2tu , т.е. падение напряжения на активном сопротив-
лении R будет приближённо пропорционально производной входного
напряжения
)(1tu , т.е.
ряющую условию
Условие
)(
2
. Поэтому цепь R, C, удовлетво-
dt
1<<ωτ , называют дифференцирующей цепью.
1<<ωτ выполняется тем лучше, чем меньше τ и чем
tdutu)(
1
τ≅
ниже частота составляющих входного сигнала. Это условие можно
1/
переписать так:
. Следовательно, процесс преобразования
н
входного напряжения ближе к процессу дифференцирования тогда,
когда основная часть его спектра находится вне полосы пропускания
цепи R, C. Если на цепь воздействует импульс напряжения, то условие
1<<ωτ равносильно требованию τ>>
, ибо чем больше
и
t , тем уже
и
его спектр.
Теперь рассмотрим случай, когда в цепи R, C выходное напряжение снимается с ёмкости (см. рис. 4.13, б). Коэффициент передачи
такой цепи имеет выражение
)(
=ω
K
11
ω
Cj
1
+
R
ω
Cj
1
=
. (4.140)
1
+ωτ
j
Частотная и фазовая характеристики, согласно выражению (4.140),
записываются в виде:
)(
1
=ωK
1
arctg)( . (4.142)
; (4.141)
22
τω+
t
107
а)
б)
Рис. 4.16
Графики этих характеристик приведены на рис. 4.16. Полоса
пропускания, определённая на уровне 0,707, ограничивается верхней
1
частотой
=ω
.
в
τ
Пусть на входе цепи действует прямоугольный импульс (рис. 4.17, а).
Найдём выходное напряжение, снимаемое с ёмкости. Зная спектральную функцию такого импульса, найденную в предыдущем примере,
и коэффициент передачи цепи (4.123), с помощью интеграла Фурье
находим напряжение на выходе цепи:
U
)(
=
tu
2
2
U
=
()
1
−
∫
∞−
∞
∞−
e
ωπ
j
ω−
e
() ()
jj
∞
1
Вычисление первого интеграла даёт выражение
∞
U
∫
∞−
()
2
1
ω−
tj
e
ω−
tj
и
1
tj
−ω
d
ωτ+ωπ
1
ωτ+ωπ
jj
=ω
d
ωτ+
j
U
ttj
)(
−ω
∞
∫∫
∞−
и
e
1212
()
−=ω
eUde
1
ω
d
ωτ+ωπ
jj
ttj
. (4.143)
τ−ω
. (4.144)
Второй интеграл, отличающийся подынтегральным множителем
tjeω−
и
, даёт в результате вычисления функцию, запаздывающую на
t
и
относительно функции, полученной при вычислении первого интеграла.
Окончательное выражение для напряжения на выходе цепи имеет вид
2
108
()
⎡
τ−
t
⎢
⎢
⎣
−
)(
tt
и
⎤
−
11)(
τ
eUeUtu . (4.145)
−−−=
⎥
⎥
⎦
τ
τ
а)
б)
в)
Рис. 4.17
Как видно из этого выражения и графика рис. 4.17, б, на участке
времени
напряжения U, a после прекращения импульса, т.е. при
0 tt << происходит заряд ёмкости от источника постоянного
и
tt ≥ , проис-
и
ходит разряд ёмкости через сопротивление R. На рисунке 4.17, б, в
приведены графики выходного напряжения )(
случаев
t>τ и
и
t>>
. Как видно, во втором случае напряжение
и
tu соответственно для
2
)(2tu существенно отличается по форме от напряжения на входе.
Такое свойство цепи, преобразующей входной сигнал, используется для осуществления операции приближённого интегрирования
электрических сигналов. Покажем, что при условии
ние на ёмкости )(
цией, являющейся интегралом от функции )(
tu (рис. 4.17, в) приближённо можно считать функ-
2
tu .
1
t>>
напряже-
и
Пользуясь интегралом Фурье для напряжений на входе и выходе
цепи в общем случае, можно записать выражения:
=
)(
1
1
=
)(
2
2
∞
1
∫
∞−
π
2
∞
∫
∞−
π
ω
tj
ωω
deStu
)(
; (4.146)
tj
ω
ωωω
deKStu
)()(
. (4.147)
109
Так как должно быть выполнено равенство
τ
то можно записать
∞
1
2
⎢
2
π
⎣
⎡
)(
=
)(
∞−
= dttuatu )()(
∫
⎤
ω
ωω
dtdeSatu
⎥
⎦
, (4.148)
12
∞
a
=
∫∫∫
∞−
2
π
1
ω
)(
ω
S
ω
j
tjtj
ω
de
, (4.149)
где постоянная интегрирования по t считается равной нулю.
Таким образом, коэффициент передачи интегрирующей цепи
должен иметь вид
K . (4.150)
ω
j
a
=
=ω
)(
2
e
ω
π
j
−
a
Сравнивая выражения (4.123) и (4.150), видим, что коэффициент
передачи цепи R, C будет приближённо такой же, как и у интегрирующей цепи, если выполняется неравенство ωτ ب 1. Иными словами,
реальная цепь R, C будет интегрировать входной импульс тем точнее,
чем больше постоянная времени τ или чем выше частота составляющих спектра импульса. Это означает, что при заданной τ интегрирование осуществляется тем точнее, чем больше ширина спектра импульса,
т.е. чем меньше его длительность
t , а это и есть условие
и
t>>
.
и
4.11. СВОЙСТВА ЦЕПИ R, L
Так же как и в случае цепи с помощью цепи R, L можно осуществлять преобразования сигнала, соответствующие приближённому
дифференцированию и интегрированию. На рисунке 4.18, а, б приведены две схемы цепи R, L.
В первой выходное напряжение снимается
с индуктивности, а во второй – с активного сопротивления.
Коэффициент передачи первой цепи (рис. 4.18, а) имеет вид
)(
L
=τ
где
– постоянная времени цепи.
R
tj
L
jK
ω=ω
1
R
L
j
ω+
1
R
ω
=
1
, (4.151)
tj
ω+
Таким образом, коэффициент передачи такой цепи одинаков
по своим свойствам с коэффициентом передачи цепи R, C, если в последней выходное напряжение снимается с активного сопротивления.
110