Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Установившиеся и переходные режимы работы электрических цепей. Учебное пособие.pdf
7. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
7.1. ЗАДАНИЕ
E
R1
C
L
К
R2
R
3
f = 50 Гц;
Е = 50 В;
R
= 4 Ом;
1
R
= 40 Ом;
2
R
= 40 Ом;
3
L = 31,8 мГн;
С = 200 мкФ
Рис. 7.1. Схема электрическая принципиальная
Для электрической цепи (рис. 7.1) найти закон изменения тока
в индуктивности, напряжения на ёмкости и напряжения
размыкании ключа К. В цепи действует постоянная ЭДС
U при
ab
)0(=fE
Задачу решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного решения построить графики изменения найденных
электрических величин в интервале от t = 0 до t = 3/|p|
, где |p|
min
min
–
меньший по модулю корень характеристического уравнения.
Определить входное сопротивление относительно источника и
закон изменения тока на этом сопротивлении, если источник задан
функцией e(t) = E(sin2πft + t), где t < τ – постоянная времени цепи.
Решить с помощью интеграла Дюамеля.
Определить входное сопротивление относительно источника и
закон изменения тока на этом сопротивлении, если исто
функцией e(t) = Ee
(–αt)
. Значение α принять численно равным R3.
чник задан
Решить спектральным методом.
Для электрической цепи (рис. 7.2.1) найти закон изменения тока
в индуктивности, напряжения на ёмкости и напряжения
мыкании ключа К классическим методом. В цепи действует постоянная ЭДС
7.2. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД
)0( =fE .
U при раз-
ab
.
141
=
i1
R
1
E
i2 i3
L
C
R
R2
К
Рис. 7.2.1. Схема электрическая с расставленными токами
3
Рассчитаем начальные условия до коммутации:
0
→=
E
==
II
21
+
RR
=
I
3
C
f
=
21
f
C
RIU
22
LX
L
0
→=
=ω=
LX
ER
2
−=−=
+
RR
UU
Cab
50
==
44
0
=ω=
;А0
=
0
−=
21
.
;А136,1
;В454,45
Поскольку после коммутации в схеме вынужденная ЭДС отсутствует, то токи будут свободным. По виду схемы (рис. 7.2.2) можно сделать вывод о том, что характеристическое уравнение будет иметь
2-й порядок, так как число основных независимых начальных значений послекоммутационной схемы равно 2 (количество реактивных
элементов).
i2 i3
L
C
R
2
R3
Рис. 7.2.2. Схема послекоммутационная
142
Для представленного контура составим уравнение по второму за-
=
−=−
=
′
−
=
=++
+
=−−−=
′
=
кону Кирхгофа:
di
L
Заменим ,pidtdi
В результате имеем характеристическое уравнение
Находим корни характеристического уравнения:
Рассчитываем свободный ток
Находим постоянные интегрирования
dt
piidt =∫:
2
2
14,64
1
′
⎧
+
⎨
′
⎩
+
=
A
1
Из начальных условий:
Поскольку )0(
iLU
, то
L
+
′
i
U
+
1
iRiR
iRiRpiL
idt
32
∫
C
i
pC
+++
RRpCCLp
32
pC
32
326
−−
pp
pp
21
−−
eAeAi
+=
2
eApeApi +=
2211
+=
;)0(
AAi
21
+=
ipi
−
2
pp
−
21
.)0(
AiA
12
+
URiRiU
332
URiRiU
332
L
L
.0
=+++
;032=+++
1)(
.0
=
;01)(
=+++ RRpCCLp
=+⋅+⋅
.59,2452;14,64
59,2452
tt
.
A и 2A :
1
tptp
21
;
;)0(
ApApi
2211
)0()0(
++
;
+++ CL
+++ CL
.А/с44,0)0( ==
.0110161036,6
;0)0()0()0(
.В014,0)0()0()0(
143
Откуда:
−=−=−
=
+++
′
′++
−=−
=
(
′
=
A
1
Следовательно, закон изменения тока в индуктивности имеет вид
−
−
)0()0(
ipi
2
++
=
pp
21
AiA
12
+
2452,5964,14
+−
−−
eei
−=
1,1362452,590,44
⋅+
=
;А167,1
.А031,0167,1136,1)0(
59,245214,64 tt
.031,0167,1
Пользуясь вторым законом Кирхгофа, рассчитаем закон измене-
ния напряжения на конденсаторе:
;032=
UiRiRiL
C
tp
′
C
Аналогично, рассчитаем закон изменения напряжения на участке a–b:
ab
−+−=
tp
2
2322
ab
′
−−=
tp
2
222
iLiRU
1
)(
eLpRAiLiRU
1213
1
)()(
eLpRRAiLRRiU
132132
;02=
tp
−+−=
−++−=
−−
eeeLpRRA
+−=++−
−−
eeeLpRA
−−=+−
59,245214,64
tt
.062,098,90)(
59,245214,64
tt
.178,13,44)(
7.3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД
Составляем характеристическое уравнение. В решении будем использовать найденные по классическому методу корни характеристического уравнения:
контура составим уравнение по второму закону Кирхгофа:
di
L
Перейдём к изображениям
Найдём изображение тока
dt
⎛
)(
⎜
⎝
=
pI
)(
pp Для представленного
21
1
iRiR
32
C
I
IRIRILp
+++
RRLppI
32
2
2
)(
pI =
Cp
Cp
232
⎞
1
=
⎟
⎠
−
)(
pN
pM
idt
∫
Li
)0(
2
C
32
.
)(
.59,2452;14,64
.0
=+++
U
C
−=+++
p
ULpi
−
C
p
)
CULpi
)0()0(
;
+++
pRRCLCp
1)(
)0(
.
)0()0(
;
144
С помощью формулы разложения перейдём к функции времени:
+=′
−
pN
pN
≑ .
Найдём производную знаменателя:
21
ti
)(
=
2
)()(pM
ULip
)0()0(
C
RRLp
++
321
−=
)(
1
e
′
pM
)(
1
tp
e
ee
22
+
2
59,245214,64
tt
−−
.032,0165,1
+
)(
pN
′
ULip
−
++
tptp
2
21
e
)(
pM
2
);(2)(
RRCLCppM +
32
)0()0(
C
tp
21
e
RRLp
=
322
Построим графики изменения найденных электрических величин
(рис. 7.3.1 – 7.3.3) в интервале от t = 0 до t = 3/|p|
= 0,05.
min
Рис. 7.3.1. График изменения тока в индуктивности
Рис. 7.3.2. График изменения напряжения на ёмкости
145
π
=
ω
=−=
Рис. 7.3.3. График изменения напряжения на участке a–b
7.4. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ
Определить входное сопротивление относительно источника и
закон изменения тока на этом сопротивлении, если источник задан
функцией
.)2(sin)( tftEte +
Находим комплексное сопротивление для входящих сопротивлений:
zz
+=
1
+
Заменяем
=
=
j
на р:
2
+=
Rz
1
2
32
2
2
+++
23
+++
1)(
RRpCCLp
32
326
−−
+⋅+⋅
pp
326
−−
110161036,6
+⋅+⋅
pp
zz
32
.
zz
32
pLRLCRpRpCR
=
)()(
+++
1)(
RRpCCLp
32
44108,415108,277
.
+++++++
RRpLRRRRRRpCRRCLp
2131213213
=
Данное выражение представляет собой характеристическое урав-
нение, имеющее следующие корни:
−
pp
21
.17,1382;59,114
Найдём переходную проводимость g(t) из условия, что переходная проводимость равна току при E = 1 B:
eAeAtg +=
21
tptp
21
.)(
146
По теореме разложения:
=−=
(
)
ω+=τ′
A′=
′
Вычислим производную от входного напряжения:
d
′
tu ππ+=+π=
Найдём ток с помощью интеграла Дюамеля:
t
′
=
0
⎡
tA
1
E
−=
⎢
p
1
⎣
11
3
−
()
[]
dt
t
∫∫
0
2
2
p
+ω
1
pN
;
)()(pM
ppM
AA
21
+−=
+−=τ−
()
[]
))cos(1()()()(
tA
ttpA
ωω−ωω
2
−+
p
2
326
−−
⋅+⋅=
;459,25;13,2
−−
eetg
eetg
.)cos(1)( tEu ω
1
График полученной функции представлен на рис. 7.4.
+⋅+⋅=
pppN
36 −−
;108,41510,6555)(
17,138259,114 tt
)(
22
.)314sin(467,31)314cos(843,2410666,8)(
tttti −+⋅=
;11016103,36)(
;459,2513,2)(
)(17,1382)(59,114 τ−−τ−−
tt
.459,2513,2)(
;2cos212sin)( ftfEtftE
τ−τ−
tptp
)(
21
2
2
2
p
+ω
2
=τ+ωω+=ττ−τ
deAeAtEdtguti
⎤
ttpA
ωω−ωω
)sin)cos(()sin)cos((
;
⎥
⎦
Рис. 7.4. График изменения тока во входном сопротивлении
147
=
α
−=−
=
7.5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД
Определить входное сопротивление относительно источника и
закон изменения тока на этом сопротивлении, если источник задан
функцией
,)(tEeteα−= где .
R
3
Поскольку изображение по Лапласу
t → jω, получим спектр функции
je )(
)(te ≑
E
.
ω+α=ωj
то, заменяя
,
tE+α
Находим спектр тока
je
ω
)(
=ω
,
jz
ω
)(
где
ji
)(
)( ωjz – входящее сопротивление относительно источника
Заменив jω на p, получим изображение тока и перейдём к функции времени с помощью формулы разложения:
2
326
−−
pp
+⋅+⋅
2333
−−
pi
E
)(
=
2
p
+α
=
′
tptp
21
;)(
eAeAti += ;17,1382;59,114
21
)(
A
′
)(
pM
График полученной функции представлен на рис. 7.5.
21
pN
= AA
;158,0;428,1
−==⇒
1)(
RRpCCLp
+++
32
)()(
501080010318
ppp
++⋅+⋅
1760632,6010912,42610278,0
323
−−
+⋅+⋅=
pppM
pp
21
=
;60,63210824,85310,8340)(
−=
.)(te
=
RRpLRRRRRRpCRRCLp
+++++++
2131213213
pN
)(
;
pM
)(
17,138259,114 tt
−−
eeti
.158,0428,1)(
Рис. 7.5. График изменения тока во входном сопротивлении
148
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Это учебное пособие даёт возможность учащимся электроэнергетического направления в отдельности проанализировать вычисления
электрических цепей в установившихся и переходных режимах
работы. При этом в начале методического пособия показана теория
по работе и рассмотрению электрических цепей переменного синусоидального тока, то, что подготавливает учащихся к наиболее глубокому
и подробному исследованию непростых проблем, со
с переходными процессами при изменении режимов работы (коммутациях, замыкании единичных компонентов и др.). Данный общетеоретический курс в последующем станет содействовать наиболее
глубокому исследованию и осознанию действий, совершающихся
в электроэнергетической системе при аварии.
Необходимость количественной оценки электрических величин
во время электромагнитного переходного процесса возникает в связи
с требованиями обеспечения надёжно
й работы отдельных элементов и
электроэнергетической системы в целом, что принесёт несомненную
пользу студентам не только при изучении дисциплин в университете,
но и в дальнейшей профессиональной работе.
Представленное учебное пособие также рекомендовано для
использования студентами технических неэлектроэнергетических
направлений при изучении электротехники.
пряжённых
149
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Демирчян, К. С. Теоретические основы электротехники :
учебник для вузов / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин. –
5-е изд. – СПб. : Питер, 2009. – Т. 1. – 512 с.
Демирчян, К. С. Теоретические основы электротехники :
2.
учебник для вузов / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин. –
5-е изд. – СПб. : Питер, 2009. – Т. 2. – 432 с.
3. Электромагнитное поле : учебное пособие для вузов /
Г. И. Атабеков, С. Д. Купалян, А. Б. Тимофеев, С. С. Хухриков ;
под ред. Г. И. Атабекова. – 5-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2009. – 432 с.
4. Атабеков, Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи : учебное пособие для вузов / Г. И. Атабеков. –
7-е изд., стер. – СПб. : Лань, 2009. – 592 с.
Лосев, А. К. Теория линейных электрических цепей / А. К. Ло-
5.
сев. – М. : Высшая школа, 1987. – 512 с.
Основы теории цепей : учебник для вузов / Г. В. Зевеке,
6.
П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, В. Н. Страхов. – М. : Энергоатомиздат,
1989. – 528 с.
Теоретические основы электротехники. Т. 1. : Основы теории
7.
линейных цепей / под ред. П. А. Ионкина. – М. : Высшая школа,
1976. – 544 с.
Сборник задач и упражнений по теоретическим основам
8.
электротехники / под ред. П. А. Ионкина. – М. : Энергоиздат. 1982. –
786 с.
Шебес, М. Р. Задачник по теории линейных электрических
9.
цепей / М. Р. Шебес, М. В. Каблукова. – М. : Высшая школа, 1990. –
544 с.
150