Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Установившиеся и переходные режимы работы электрических цепей. Учебное пособие.pdf
В соответствии с законом сохранения энергии в цепи перемен-
∑
∑
ω
=
=
=
ω
=
I
ω
ного тока должны балансироваться независимо друг от друга активные и реактивные мощности приёмников и источников энергии:
=
PP и
∑∑
прист
=
QQ . Баланс для полных мощностей
прист
не соблюдается.
При расчёте цепей переменного тока комплексным методом
мощности S, P, Q представляют в комплексной форме:
∗
где
I − сопряжённый комплекс тока I .
222
×=×=+=+=+= IUZIIjXRIXjIRIjQPS )(
∗∗
, (1.42)
Таким образом:
][Mod SS = − модуль комплексной мощности;
∗
== IUSP − вещественная часть;
== IUSQ − мнимая часть.
]Re[]Re[
∗
]Im[]Im[
1.7. CИНУСОИДАЛЬНЫЙ ТОК
В АКТИВНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ
На рисунке 1.14, а изображено активное сопротивление R, по которому течёт ток
или
где
RIU = .
mm
Комплекс тока
&
U
жения
показаны на векторной диаграмме рис. 1.14, б.
tIi
sin . По закону Ома напряжение
m
&
и совпадающий с ним по фазе комплекс напря-
tRIiRu
ω
sin , (1.43)
m
tUu
sin , (1.44)
m
На рисунке 1.14, в даны кривые мгновенных значений тока i,
напряжения u и мощности
mm
Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую
IU
mm
и составляющую
2
ω изменяющуюся с частотой
IU
mm
sinsin t
ttIUp
,2cos
t
()
2
.2cos1
ω−==ωω=
2 . Потреб-
IU
mm
2
ляемая от источника питания за время dt энергия равна pdt.
21
ω
=
π2π ω
I
u
i
&
&
U
а) б)
u
i
p
t
в)
Рис. 1.14
1.8. ИНДУКТИВНОСТЬ В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Индуктивность L и активное сопротивление R свойственны почти
для любой катушки (обмотки), и на схеме она представляется в виде
их последовательного соединения.
Выделим из схемы одну индуктивность L (без активного сопротивления) – рис. 1.15, а. Если через L течёт ток
наводится ЭДС самоиндукции
di
dtL
i
а б
e
Uab = u
а)
u
i
p
L
&
U
&
E
L
π
22
в)
Рис. 1.15
()
mm
+1
б)
2
,sin tIi
m
то в катушке
.90sincos °−ωω=ωω−=−= tLItLILe
(1.45)
ωt
Положительное направление отсчёта для ЭДС
−
ϕ=ϕ
−==
()(
+ω=°+ωω
=
ω
=
ω
=
ω
=
I
e на рис. 1.15, а
L
обозначено стрелкой, совпадающей с положительным направлением
отчёта тока i.
Найдём разность потенциалов между точками a и b.
При перемещении от точки b к точке a идём навстречу ЭДС
,
e
поэтому
Из формулы
1
Г
где
= – инверсная индуктивность.
L
Положительное направление напряжения
следовательно, .
Lba
di
Lu = следует, что
dtL
= ,Г dtui
L
∫
u совпадает с поло-
ab
di
Leu =−=ϕ−ϕ=
dtLbaab
e ,
L
жительным направлением тока.
В дальнейшем индексы a и b у напряжения на индуктивности
(падения напряжения на индуктивности) ставить не будем:
Следовательно,
Произведение Lω обозначают
.
euu
(1.46)
Lab
)
tUtLIu
mm
.
LIU
mm
X и называют индуктивным
L
;90sin90sin °
(1.47)
сопротивлением:
LX
, (1.48)
1
=⋅⋅=ω=−LX
размерность его .ОмсОмс][][][
L
L
Таким образом, индуктивность оказывает переменному току со-
LX
противление
. Оно прямо пропорционально частоте. Кроме
L
того, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на 90°.
На рисунке 1.15, б вектор напряжения
на 90°. Комплекс ЭДС самоиндукции
&
U
с комплексом напряжений
.
&
U
опережает вектор тока
&
E
находится в противофазе
L
&
Графики мгновенных значений i, u, p изображены на рис. 1.15, в.
Мгновенная мощность
IU
ttIUuip
sincos (1.49)
mm
mm
2
t
ω=ωω== 2sin
проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либо u,
либо i.
23
За первую четверть периода, когда u и i положительны, p также
=
−=−
t
ω
=
ω
t
t
C
положительна. Площадь, ограниченная кривой p и осью абсцисс за это
время, представляет собой энергию, взятую от источника питания на
создание энергии магнитного поля в индуктивности. Во вторую четверть периода, когда ток в цепи снижается от максимума до нуля,
энергия магнитного поля отдаётс
я обратно источнику питания, при
этом мгновенная мощность отрицательна. За третью четверть периода
у источника снова забирается энергия, за четвёртую отдаётся и т.д.,
т.е. энергия периодически то забирается индуктивностью от источника, то отдаётся ему обратно.
1.9. КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Если приложенное к конденсатору напряжение во времени не ме-
няется, то заряд
на одной его обкладке и заряд Cuq
на
Cuq
другой (C – ёмкость конденсатора) неизменны, и ток через конденсатор
di
0==
не проходит (
i
во времени, например по синусоидальному закону (рис. 1.16, а)
). Если же напряжение на конденсаторе меняется
d
,sin tUu
m
(1.50)
то по синусоидальному закону будет меняться и заряд q конденсатора:
== и конденсатор будет периодически перезаря-
m
,sin tCUCuq
жаться. Периодическая перезарядка конденсатора сопровождается
протеканием через него зарядного тока
d
di
i
d
() ()
d
°+ωω=ωω=ω== 90sincossin tCUtCUtCU
mmm
. (1.51)
Положительное направление тока через конденсатор (рис. 1.16, а)
совпадает с положительным направлением напряжения. Из сопоставления формул (1.50) и (1.51) видно, что ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90°. Поэтому на векторной диаграмме рис. 1.16, б вектор тока
&
U
ния
на 90°. Амплитуда тока
m
I опережает вектор напряже-
m
I равна амплитуде напряжения mU ,
m
делённой на ёмкостное сопротивление
1
Действительно,
24
X
C
CUI =
.
=
ω
U
U
=ω=
mm
1
ω
mm
.
(1.52)
X
C
C
δ
I
&
I
u
i
а) б)
u
m
&
U
m
i
p
ωt
&
I
&
1
C
в)
&
U
&
I
1
&
I
&
R
I
2
&
I
г)
Рис. 1.16
2
&
U
д)
Ёмкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и
измеряется в омах. Графики мгновенных значений u, i, p изображены
на рис. 1.16, в. Мгновенная мощность
IU
uip
mm
.2sin2t
ω== (1.53)
За первую четверть периода конденсатор потребляет от источника питания энергию, идущую на создание электрического поля в конденсаторе. Во вторую четверть полупериода напряжение на конденсаторе уменьшается от максимума до нуля, и запасённая электрическая
энергия отдаётся источнику (мгновенная мощность отрицательна).
За третью четверть периода энергия снова запасается, за четвёртую
отдаётся и т.д.
25
Если проинтегрировать по времени обе части равенства
t
C
ϕ
=
ϕ
=
<
−
=
ω
=
ϕ==
du
,
(1.54)
Ci =
d
то получим
== .1idt
u (1.55)
∫
Равенство (1.55) позволяет определить напряжение на конденсаторе через ток по конденсатору.
1.10. КОМПЕНСАЦИЯ РЕАКТИВНОЙ
МОЩНОСТИ ПРИЁМНИКОВ ЭНЕРГИИ
Активная мощность приёмника
cosUIP
характеризует интен-
сивность потребления им энергии и зависит от режима его работы.
Реактивная мощность приёмника
sinUIQ характеризует
интенсивность обмена энергией между электромагнитным полем приёмника и остальной цепью. Эта мощность положительна при индуктивном характере приёмника (ϕ > 0) и отрицательна при ёмкостном характере (ϕ < 0). В промышленных условиях преобладающее большинство
приёмников имеют активно-индуктивный характер (ϕ > 0) и потребляют
положительную реактивную мощность
.0>LQ Параллельное подклю-
чение к таким приёмникам конденсаторов, потребляющих отрицатель-
0
ную реактивную мощность
Q и, таким образом, являющихся гене-
C
раторами реактивной мощности для приёмников, позволяет уменьшить
.CLQQQ
(компенсировать) суммарную реактивную мощность:
Компенсация реактивной мощности позволяет при неизменной
активной мощности уменьшить потребляемый от сети ток:
I
=
22
QQP
)( −+
CL
U
. (1.56)
Схема цепи в режиме компенсации реактивной мощности показана на рис. 1.17.
При увеличении ёмкости компенсирующего конденсатора С пропорционально будет увеличиваться потребляемый им ток
C
CUI
2
Ток линии, равный геометрической сумме токов нагрузки и конденсатора (
), вначале будет уменьшаться (при
C
21
QQ > ), достиг-
CL
III +=
нет своего минимального значения при полной компенсации реактив-
cos
ной мощности
QQ > (рис. 1.18).
LC
III
a
, а затем начнёт возрастать при
22min1
.
26
ϕ
′
I
′′′′′
′
′′′′′
′′′′′
′
I1 I
Rл X
R2X2XC I
л
U
1
U
л
2
U
С
Рис. 1.17
+1
U2
III
CCC
′
III
111
2
+j
III
CCC
Рис. 1.18
−
j
Из геометрии рис. 1.18 следует соотношение
P
′
−ϕ=
′
III
aaC
U
′
)tgtg(tgtg
ϕ
−ϕ=ϕ
22
. (1.57)
Тот же ток из закона Ома
U
2
′
I
C
X
C
′
ω==
CU
. (1.58)
2
Из совместного решения этих двух уравнений вытекает формула
для расчёта ёмкости компенсирующего устройства от первоначального
значения tgϕ
до заданного tg
2
P
′
C , мкФ. (1.59)
=
:
6
10
⋅
2
U
ω
′
)tgtg(
ϕ
−ϕ
2
На сегодняшний день сопротивление воздушных ЛЭП носит
активно-индуктивный характер с существенным преобладанием реактивного сопротивления (
в линии
л
)(
jXRIU+= почти на 90° опережает ток.
лл
RX >> ), поэтому падение напряжения
лл
27
=
′′′
′
′
′
+1
′′
U
2
U1
U
U
U2
′′
2
′
2
I
1
′
I
1
I
1
I
1
+j
−
j
Рис. 1.19
На рисунке 1.19 показано семейство векторных диаграмм токов и
напряжений для разных значений компенсирующей ёмкости С = var
при постоянном значении напряжения в начале линии
U
1
При анализе семейства диаграмм можно сделать выводы, что увеличение степени компенсации реактивной мощности повышает напряжение U
сация потери напряжения в линии ΔU = U
ная функциональная зависимость U
на выводах нагрузки, следовательно, происходит компен-
2
– U2. На практике указан-
1
= f(C) используется для поддер-
2
жания заданного уровня напряжения на выводах (шинах) нагрузки при
изменении её параметров.
Посредством компенсации реактивной мощности нагрузки
в энергосистеме решаются серьёзные технико-экономические задачи.
Во-первых, уменьшение тока линии электропередачи позволяет сни-
2
зить потери мощности в ней (
RIP = ) и повысить её КПД.
л
л
Во-вторых, с помощью регулируемых компенсирующих устройств
можно управлять напряжением на выводах нагрузки, поддерживать
его на заданном номинальном уровне при изменении потребляемой
активной мощности P
в широком диапазоне.
2
1.11. РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗОНАНСА
В электрической цепи, в которой содержатся катушки индуктив-
ности L и конденсаторы C, возможны свободные гармонические коле-
Li
бания энергии между магнитным полем катушки
28
W =
м
2
.const
2
и электри-
2
(
)
=−+
=
R
L C
RuLuC
Cu
ческим полем конденсатора
ний ω
, называемых свободными или собственными, определяется
0
W =
э
. Угловая частота этих колеба-
2
структурой цепи и параметрами её отдельных элементов R, L, C.
Резонансный режим цепи или просто резонанс – это явление увеличе-
ния амплитуды гармонических колебаний энергии в цепи, которое наблюдается при совпадении частоты собственных колебаний ω
нужденных колебаний ω, сообщаемых цепи источником энергии (ω
с частотой вы-
0
= ω).
0
В данном режиме колебания энергии между магнитным и электрическим полями замыкаются внутри цепи, обмен энергией между
источником и цепью отсутствует, а вся поступающая от источника
энергия преобразуется в другие виды, т.е. электрическая цепь по отношению к источнику энергии ведёт себя как чисто активное сопротивление R (активная пр
оводимость G). На этом основании условие
для резонансного режима можно сформулировать через параметры
элементов схемы, а именно: входное сопротивление и, соответственно,
входная проводимость схемы со стороны выводов источника энергии
должна носить чисто активный характер: Z
= 0; или в комплексной форме: Im[Zвх] = 0; Im[Yвх] = 0.
B
вх
= Rвх; Yвх = Gвх; Xвх = 0;
вх
1.12. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
Резонанс в цепи с последовательным соединением источника
энергии и реактивных элементов L и C получил название резонанса
напряжений. Простейшая схема такой цепи показана на рис. 1.20.
Комплексное входное сопротивление схемы
вх
RXXjRZ
.
CL
Рассмотрим схему при последовательном соединении активного
сопротивления, ёмкости и индуктивности (рис. 1.21).
Если в цепи есть последовательно включённые индуктивные и
ёмкостные сопротивления, мощность, которая запасена в течение
одной четверти периода в индуктивности, частично генерируется
ёмкостью; во второй четверти периода происходит обратное явление.
i
e
u
u
Рис. 1.20
29
=
(
ω=ω
Рис. 1.21. Последовательное соединение активного сопротивления,
ёмкости и индуктивности
Рис. 1.22
В свою очередь между сетью, индуктивностью и ёмкостью происходит
непрерывный обмен энергией.
Условие резонанса:
XX
; (1.60)
CL
)
CL
1 . (1.61)
Явление, при котором в последовательной цепи из элементов R, L, C
общее напряжение цепи совпадает по фазе с её током, называют
резонансом напряжений.
Резонанс напряжений возникает, когда реактивное сопротивление
цепи равно нулю (X = 0), т.е. когда индуктивное сопротивление равно
ёмкостному сопротивлению цепи (
XX = ). В этом случае индук-
CL
тивное и ёмкостное напряжения компенсируют друг друга
)0( =−CLXX , так как они равны по величине и противоположны по
фазе. Значения тока и мощности максимальны, от источника в цепь
поступает только активная энергия.
30