Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Установившиеся и переходные режимы работы электрических цепей. Учебное пособие.pdf
Z
ϕ==
Рис. 1.23. Векторная диаграмма резонанса напряжений
Одинаковые по величине амплитуды колебания реактивных мощностей P
и PC при резонансе напряжений находятся в противофазе.
L
Что же касается энергий электрического и магнитного полей, то в те
моменты времени, когда энергия запасается в электрическом поле
конденсатора, этот запас осуществляется за счёт энергии магнитного
поля катушки. В другие моменты времени имеет место обратный
переход энергии из электрического поля в магнитное.
L
L==ω
C
.0Q
R
R
(1.62)
Добротность показывает, во сколько раз напряжение на индуктивности (или на ёмкости) превышает напряжение на входе схемы
в резонансном режиме. Практически в радиотехнических устройствах Q
может доходить до 300 и даже больше.
Рассмотрим треугольник напряжений, сопротивлений и мощностей на примере электрической цепи с индуктивностью.
U
a
U
R
I
a
U
aa
;sin;cos;cos ϕ=ϕ==ϕ UUUU
La
L
La
SUIIUP
;sin;cos;cos ϕ=ϕ==ϕ ZXZR
(1.63)
;sin;cos;cos ϕ=ϕ==ϕ IIII
.sincosϕ=
(1.64)
31
а) б) в)
Рис. 1.24. Векторная диаграмма действующих значений тока I
и напряжений U (а), треугольники сопротивлений (б) и мощностей (в)
В технике, связи и радиотехнике для настройки цепи на определённую частоту используют явление резонанса напряжения. В редких
случаях происходит самопроизвольное появление резонанса, так,
например, в электроэнергетических установках (линиях электропередачи) резонанс напряжений – явление вредное, так как возникают
перенапряжения, опасные для изоляции установок.
1.13. РЕЗОНАНС ТОКОВ
Рассмотрим схему при параллельном подключении реальной
индуктивности и ёмкости (рис. 1.25).
Входное сопротивление большинства потребителей электрической энергии имеет индуктивный характер. Для того чтобы снизить
потребляемый ими ток за счёт уменьшения его реактивной составляющей и тем снизить потери энергии в генераторе и подводящих
проводах, параллельно приёмнику энергии включают батарею конденсаторов.
а) б)
Рис. 1.25. Параллельное подключение реальной индуктивности и ёмкости
32
В результате параллельного включения конденсаторов электроприёмники, которые обладают индуктивностью, получают реактивную
мощность на образование магнитного поля полностью или частично
от конденсаторов, а не от генераторов электростанции.
Компенсация сдвига фаз – это уменьшение угла сдвига фаз между
напряжением на приёмнике и током, потребляемым от генератора.
Она особенно существенна для энергоёмких потребителей, например
крупных заводов. Компенсация сдвига фаз применима в месте ввода
линии питания в распределительном устройстве.
Значение ёмкости батареи конденсаторов можно определить
по формуле
P
C
()
п
2
ω=U
.tgtg
ϕ−ϕ
(1.65)
Обычно с помощью батареи конденсаторов компенсацию угла
сдвига фаз осуществляют не полностью, повышая cosϕ до 0,90…0,95.
Ещё большее повышение требует значительных вложений на
установку батарей конденсаторов, которые в этом случае экономически не оправдываются.
Реактивные составляющие токов индуктивной и ёмкостной ветвей при резонансе токов равны по величине и противоположны по
фазе. Следова
её реактивный индуктивный ток
тельно, при резонансе токов любой параллельной цепи
I и реактивный ёмкостный ток
L
p
I
C
р
взаимно компенсируются.
При резонансе токов вся энергия, которая подводится к цепи,
расходуется на выделение теплоты в активном сопротивлении цепи,
а между индуктивностью и ёмкостью происходит колебательный
обмен запасённой энергией (рис. 1.26).
а) б)
Рис. 1.26. Эквивалентная схема потребителя и батареи конденсаторов (а)
и её векторная диаграмма (б)
33
===
=
а) б)
Рис. 1.27. Эквивалентная схема параллельного соединения двух
идеальных индуктивного и ёмкостного элементов (а)
и её векторная диаграмма (б)
Резонанс токов не представляет особой опасности, в отличие
от резонанса напряжений. Он возникает в цепи, когда включены мощные конденсаторные батареи и реактивные катушки, что учитывается
при расчёте сети и не является неожиданным.
При использовании реальной индуктивности и ёмкости в отличие
от идеализированного случая, когда I = 0 (рис. 1.27), условие резонанса
1
L
Если
,02=R то
ω
1
=
222
LR
ω+
L
ω
ω+
1
C
ω
2
R
+
2
ω=
222
LR
.
(1.66)
1
22
C
ω
.
C
(1.67)
Напряжения на реактивных элементах равны по модулю, противоположны по фазе и взаимно компенсируют друг друга:
X
== ;
L
а напряжение на резисторе равно напряжению источника (рис. 1.28, 1.29):
L
L
UjjXIU
R
X
()
C
R
C
.EURIU
C
, (1.68)
UjjXIU
−=−=
R
Равные по модулю напряжения на реактивных элементах
X
L
UUU
== могут значительно превосходить напряжение источ-
CL
R
.RXX
>>
ника U = Е при условии, что
34
CL
ω
=
C
C
R1L
C
&
–
I
1
a
&
I
&
I
2
а)
+j
b
&
I
2
&
I
U
ab
+1
&
I
1
Рис. 1.28
б)
UC
+1
I
UL
U = UR
+j
UL
Рис. 1.29
U
C
Выясним энергетические процессы, протекающие в цепи в резонансном режиме. Пусть в цепи протекает ток
напряжение на конденсаторе составит
u
C
Сумма энергий магнитного и электрического полей равна
WWW
m
э
2
CI
+
1
⎛
2
C
⎜
⎝
LC
1
∫
cos
2
⎞
⎟
⎠
I
== t
idt
ω
22
2
t
m
. (1.69)
ω
cos
2
LICuLi
m
sin
222
2
LI
mm
const.
==ω
2
m
2
+ω=+=+= t
(1.70)
j
,sin tIi
тогда
35
Как видно из выражения (1.70), сумма энергий магнитного и
−
электрического полей равна постоянному значению. Это показывает,
что между магнитным и электрическим полями происходит непрерывный обмен энергией, суммарное значение которой постоянно, а обмен
энергией между источником и цепью отсутствует, при этом поступающая от источника энергия преобразуется в другие виды.
Электрическая цепь с посл
едовательным соединением элементов
R, L, C в технике получила название последовательного колебательного контура. Свойства такой цепи, как колебательный контур, характеризуют следующие параметры:
1
− резонансная частота
− волновое сопротивление
=ω
0
;
LC
L =
0
1
=ω=ρ
ω
0
L
;
C
C
− добротность
Qρ=
.
R
Чем больше добротность контура Q, тем выразительнее проявляются в нём резонансные явления; например, напряжения на реактивных элементах больше напряжения источника в Q раз: U
= UC = UQ.
L
При изменении частоты источника ω = var будут изменяться
сопротивления реактивных элементов и, как следствие, будут изменяться ток в цепи и напряжения на отдельных участках.
Частотными характеристиками контура называются зависимости
сопротивлений отдельных элементов и участков от частоты (рис. 1.30):
X = ωL; CX =
L
X =
XX
CL
; Z =
1
;
Cω
()
XXR ++ .
2
CL
Резонансными характеристиками называются зависимости режимных параметров от частоты: U
, UC, I, ϕ = f(ω) (рис. 1.31).
L
Полосой пропускания резонансного контура называют область частот
Δω = ω
своего максимального значения, т.е.
контура обратно пропорциональна его добротности: Δω =
36
− ω2, на границах которой ток I в 2 раз меньше
1
.
I = 0,707I
. Полоса пропускания
max
1
.
Q
Z
E
X
L
X = XL − X
C
R
0 1 2
ω/ω
0
X
C
Рис. 1.30
U, I, ϕ
90°
0 1 2
−90°
На рисунке 1.32 в относительных единицах представлено семейство резонансных характеристик с различными значениями добротности.
Резонанс в цепи с параллельным соединением источника энергии
и реактивных элементов L и C получил название резонанса токов.
Простейшая схема такой цепи показана на рис. 1.33.
U
C
I
ϕ
Рис. 1.31
U
L
ω/ω
0
37
(
=+−
=
=−=
I/I
max
1
0,707
Δω
0 1 2
Рис. 1.32
Q = 1
Q = 5
Q = 10
ω/ω
0
I IR IL IC
E U R L C
Рис. 1.33
Комплексная входная проводимость схемы
)
GBBjGY
. (1.71)
Условие резонанса токов: 0
1
=ω
0
− резонансная (собственная) частота.
LC
вх
э
CL
BBB или C
CL
1
Lω=ω
, откуда
Из полученного равенства следует, что резонансного режима
в цепи можно достичь изменением параметров элементов L и C или
частоты источника ω.
В резонансном режиме полная проводимость схемы равна активной
проводимости и имеет минимальное значение:
2
()
2
GBBGY
=−+=
CL
а ток источника также минимален и совпадает по фазе с напряжением
источника (ϕ = 0): I = UY = UG.
38
,
−
=
=
=
=
=
–jI
I
I
I
I
I
I I
IL I
+1
U
= IR
C
L
+j
C
Рис. 1.34
Токи в ветвях с реактивными элементами ),(
)(
jBUI = I
равны по модулю, противоположны по фазе и компенси-
L
C
C
руют друг друга, а ток в резисторе G равен току источника
Равные по модулю токи в реактивных элементах
но превосходить ток источника I при условии, что
L
L
II
могут значитель-
CL
.GBB
>>
CL
jBUI
L
G
).( UGII
Векторная диаграмма токов и напряжений показана на рис. 1.34.
Электрическая цепь с параллельным соединением элементов G, L
и C в технике получила название параллельного колебательного
контура. Свойства такой цепи, как колебательный контур, характеризуют следующие параметры:
− резонансная частота
− волновая проводимость
1
=ω ;
0
LC
=γ
ω
1
0
C
CL=ω=
0
;
L
− добротность
Qγ=
.
G
Резонансные характеристики параллельного контура представлены на рис. 1.35.
C
0 1 2
Рис. 1.35
G
ω/ω
0
39
I
E
1.14. РЕЗОНАНС В СЛОЖНЫХ СХЕМАХ
Схемы замещения реальных электрических цепей могут существенно отличаться от рассмотренных выше простейших последовательной или параллельной схем. Хотя условие резонансного режима в общем виде [Im
) = 0 и Im (Yвх) = 0] для любой схемы сохраняется,
(Zвх
однако конкретное содержание этих уравнений будет определяться
структурой схемой замещения.
На рисунке 1.36 приведена эквивалентная схема параллельного
контура, в которой реальные элементы цепи (катушка и конденсатор)
представлены последовательными схемами замещения.
Входная комплексная проводимость схемы
Y
=
вх
+
⎛
⎜
−
j
⎜
⎝
1
Условие резонанса
или
X
+
L
XR
B
э
2
1
+
−
21
−
22
L
X
=
1
ω
L
()
ω+
LR
⎛
11
jXRjXR
CL
X
C
+
XR
С
2
L
−
22
XR
+
L
−
2
R
R
1
⎜
=
⎜
⎝
1
⎞
⎟
22
⎟
⎠
X
+
2
1
⎛
⎜
ω
C
⎝
⎛
2
+
⎜
2
⎝
+
22
XR
+
−=
C
22
XR
C
2
⎞
⎟
⎠
1
ω
C
2
jBG
. (1.72)
ээ
0
=
. (1.73)
0
=
2
⎞
⎟
⎠
⎞
R
2
⎟
−
22
⎟
XR
+
⎠
СL
Отличие данного условия резонанса от аналогичного условия для
простейшей схемы рис. 1.37 состоит в том, что в этом уравнении присутствуют параметры активных элементов R
и R2.
1
R
1 I1 R2
I
2
L C
Рис. 1.36
40