Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Установившиеся и переходные режимы работы электрических цепей. Учебное пособие.pdf
−
=
а) б)
Рис. 4.18
Следовательно, преобразования импульса в рассматриваемой цепи R, L
будут такими же, как в упомянутой цепи R, C и в частности, будет
осуществляться приближённое дифференцирование, если выполняется
условие
L
<<=τ .
R
t
и
Для второй цепи R, L (рис. 4.18, б) коэффициент передачи имеет
вид
j
ωτ
11
. (4.152)
1
1
+
j
ωτ
=ω
Lj
ω
1
+
=
R
j
L
ω
1
R
)(
K
которое приведено к виду, соответствующему выражению (4.112).
Следовательно, в такой цепи R, L можно осуществлять преобразование
сигнала, подобное рассмотренному для цепи R, C, если в последней
выходное напряжение снимается с ёмкости. В частности, рассматриваемую цепь R, L можно приближённо назвать интегрирующей,
если между постоянной времени цепи τ и длительностью входного
импульса
t существует неравенство
и
R
.
t
>>=τ
и
L
Иногда интегрирующие цепи R, L и R, C в различных радиотехнических устройствах образуются за счёт сопротивления R и нежелательных, но имеющихся в схемах так называемых паразитных ёмкостей
C и индуктивностей nL . В этом случае интересуются длитель-
n
ностью фронта импульса на выходе цепи, если на вход подан прямоугольный импульс, т.е. производится оценка искажения импульса за
счёт интегрирующего действия цели с паразитными параметрами.
Длительность фронта –
ttt
, где
12ф
t и 2t – моменты време-
1
ни, в которые выходной импульс достигает соответственно 10 и 90%
111
амплитудного значения U. Так как нарастание фронта импульса про-
()(
)
ω
=ω=ωϕ==ω
исходит на выходе интегрирующей цепи по экспоненциальному закону (первый член выражения (4.134)), то можно записать равенства
откуда определяется длительность фронта
τ−τ−
tt
21
−=−=
,19,0;11,0
eUUeUU
(4.153)
ttt
12ф
.
τ=−= 2,2
4.12. УСЛОВИЯ НЕИСКАЖЁННОЙ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛА
В различных радиотехнических устройствах возникает необходимость обеспечить передачу через некоторую линейную цепь импульса
или другого сложного сигнала без искажения его формы. Таким образом, если на входе цепи действует импульс
тельно получить импульс напряжения
вых
но, может быть, другую амплитуду.
Исходя из спектрального состава негармонического напряжения,
можно установить условия неискажённой передачи его линейной целью. Для этого необходимо, чтобы соотношения амплитуд и фаз гармонических составляющих выходного напряжения были соответственно такими же, как и у входного напряжения. Это означает, что как
изменения амплитуд, так и запаздывание во времени всех гармо
ческих составляющих не должны зависеть от частоты.
Отсюда следует, что коэффициент передачи такой цепи
)(
ωϕ−
j
)()(
ω=ω
eKK
должен удовлетворять условиям:
ωϕ
Здесь
dt)(
=
0
– время фазового запаздывания (фазовой задерж-
ω
d
ки). При выполнении условий (1.154) можно записать
ω−
jt
=ω0)(
KeK . (4.155)
На рисунке 4.19 изображены частотная и фазовая характеристики
цепи, удовлетворяющей условиям (4.154). Такая цепь должна иметь
бесконечно широкую полосу пропускания и линейно изменяющуюся
фазовую характеристику, тангенс угла наклона которой равен времени
задержки
t . Поясним сказанное с помощью рис. 4.20, на котором по-
0
казаны графики входного напряжения
выходного напряжения
112
u .
вых
)(вхtu , то на выходе жела-
)(
tu , имеющий ту же форму,
ни-
const)(;const)(
tKK . (4.154)
0
tututu
sinsin)( ω+ω= и
2вх21вх1вх
ω=ω
=
=
ω
π=ω=ω=ϕ
Рис. 4.19
а)
б)
Рис. 4.20
Здесь начальные фазы обеих гармонических составляющих входного сигнала равны нулю, а
редачи
1)( =ωK , то амплитуды гармонических составляющих на входе
и выходе цепи соответственно равны
2
. Если модуль коэффициента пе-
12
uu
,
вх1вых1
uu
вх2вых2
. Далее,
если фазовая характеристика линейна, то, полагая фазовый сдвиг гармонической составляющей частоты
π
=ω=ϕ t
, находим фазовый сдвиг для гармонической составляю-
011
2
щей частоты
ω на выходе цепи:
2
2 tt ,
01022
на выходе цепи равным
1
T
π
t =
=
0
1
ω
. (4.156)
42
1
113
Таким образом, напряжение на выходе имеет ту же форму, что и
ω
напряжение на входе цепи, но «запаздывает» по времени на величину
T
π
t =
0
2
=
. Легко понять, что любой реальный сигнал будет передан
24
такой цепью без искажения его формы.
Справедливость условий (4.154) можно показать и аналитически
с помощью преобразования Фурье. Пусть на вход цепи подано напря-
)(
ωΨ−
жение )(
Выразим это напряжение с помощью интеграла Фурье:
tu , имеющее спектральную функцию
вх
∞
вх
∫
∞−
π
2
1
=
)( (4.157)
tj )]([
)(
ωΨ−ω
ωω
deStu
)()(
ω=ω
eSS .
j
или, пользуясь записью интеграла Фурье в тригонометрической форме, получим
∞
1
=
)(
вх
На выходе цепи, имеющей коэффициент передачи
получим напряжение, определяемое выражением
вых
∫
0
π
1
=
)( (4.160)
∫
π
2
ω−
jt
=ω0)(
KeK , (4.159)
∞
∞−
ωΨ−
j0)(
)(
ωωΨ−ωω
dtStu )](cos[)(
. (4.158)
ω−
jt
ω
jt
ωω
deKeeStu
или
∞
1
=
)( . (4.161)
вых
∫
π
2
Пользуясь тригонометрической формой записи, получим
∞
K
tu −=ωωΨ−−ωω
=
вых
∫
0
π
)(
∞−
ωΨ−−ω
ttj )]()([
0
ωω
deSKtu
.)()]()(cos[)()(
ttKudttS
(4.162)
0вх0
Действительно, напряжение на выходе имеет ту же форму, что и
на входе, но изменено по величине в K раз и запаздывает по отношению к входному напряжению на время
t .
0
Любая реальная цепь не удовлетворяет условиям (4.154), полоса
её пропускания обычно ограничена некоторой частотой
, где
г
модуль коэффициента передачи начинает убывать с ростом частоты.
114
ω=ω
ϕ
=
−∞=
t
ω
а)
б)
Рис. 4.21
Для выяснения некоторых свойств цепи с ограниченной полосой
пропускания рассмотрим так называемый идеальный фильтр нижних
частот. Частотная и фазовая характеристики такого фильтра изображены на рис. 4.21. В отличие от идеального, у реального фильтра нижних
частот частотная характеристика на граничной частоте не имеет резкого спада, а фазовая характеристика отличается от линейной.
Для идеального фильтра в по
==ω , где const
)(,const)( tKK
0
лосе его пропускания полагаем
t и здесь выбрано произ-
0
вольно. Пусть в момент t = 0 на фильтр подан перепад напряжения
величины E, для которого можно записать
)( d
Тогда напряжение на выходе фильтра определяется выражением
∞
1
⎡
вых
где )(sin
)(
+=
KEtu
∫
⎢
⎣
0
π
2
tt −ω – интегральный синус, значения которого для раз-
0г
ω
∞
1
⎡
Etf
⎢
2
⎣
−ω
tt
0
sin1
t
ω
⎤
. (4.163)
+=
∫
0
π
⎤
ω
⎥
⎦
ω
⎥
ω
⎦
1
1)(sin1
⎡
+=
⎢
π
2
⎣
−ω
⎤
)(sin
ttKEd
0г
⎥
⎦
, (4.164)
личных значений аргумента находятся по таблицам.
На рисунке 4.22 изображён график функции KEtu )(
вых
дающаяся здесь осцилляция, которая простирается до
. Наблю-
, является
следствием идеализации частотной характеристики фильтра. Частота
осцилляции совпадает с граничной частотой фильтра
. В реальной
г
цепи на её выходе сигнал не может предшествовать моменту подачи
сигнала на её вход.
115
=
K
ωωϕ=α
=
Рис. 4.22
Однако замена реальной частотной характеристики фильтра идеальной позволяет установить простую связь между полосой пропускания фильтра
ω и крутизной фронта выходного напряжения.
г
Крутизна фронта выходного напряжения находится с помощью
выражения
ω
tdu
вых
dt
1)(
=
∫
0
π
Наибольшая крутизна фронта достигается в момент
)(
tdu
вых
dt
⎤
lim
=
⎥
⎦
max
⎡
⎢
⎣
)(sin
ttKE
г
→
)(cos
dttKE
=ω−ω
0
)(sin
ttKE
−ω
tt
0
0г
)(
tt
−π
0
−ω
0г
. (4.165)
)(
tt
−π
0
tt
:
0
2
KEf
=
. (4.166)
г
В качестве длительности фронта сигнала принимается интервал
времени
Φ
значениям 0,1 и 0,9 от величины отношения
крутизна фронта между моментами
крутизне, то длительность фронта выходного напряжения
Заметим, что в момент
половине стационарного значения, а сама величина
определяет наклон фазовой характеристики
ttt−=
12
, где
t и 2t – моменты времени, соответствующие
1
tu )(
вых
. Так как средняя
E
t и 2t близка к максимальной
1
4,0
1,09,0
t =
ф
−
=
2
t напряжение на выходе фильтра равно
0
. (4.167)
ff
гг
t , как мы видели,
0
0
ddt )(tg
. Так как
116
при
tt = крутизна фронта достигает максимума, то считают условно
0
временем запаздывания или «задержкой» выходного сигнала момент
достижения фронтом сигнала наибольшей крутизны.
У реального фильтра нижних частот по мере возрастания частоты
модуль коэффициента передачи убывает. Граничной частотой реального фильтра обычно считают частоту
f , при которой коэффициент
г
передачи принимает значение 0,707 от его максимальной величины.
Длительность фронта импульса на выходе реального фильтра
обычно принимается равной
t ≅
ф
35,0
. (4.168)
f
г
Например, при подаче на вход цепи R, C сигнала в виде единичной функции напряжение на ёмкости имеет длительность фронта
, где τ = RC. Граничная частота цепи
t
τ= 2,2
ф
1
t ≅
ф
2,22,2
=τ=
2
π
35,0
ff
1
г
. Поэтому
πτ=ω2
, (4.169)
гг
т.е. совпадает с выражением (4.168).
Пользуясь формулой (4.168), можно выбрать полосу пропускания
реальной цепи по заданной длительности фронта выходного импульса,
если на входе действует импульс прямоугольной формы.
Метод интеграла Дюамеля применяется для расчёта переходных
процессов в электрических цепях в том случае, если в рассматриваемой цепи действует источник ЭДС u(t) произвольной формы, отличной
от стандартной (постоянной или синусоидальной).
Пусть к источнику ЭДС произвольной формы u(t) подключается
цепь с нулевыми начальными условиями и с заданной переходной
проводимостью.
Заменим непрер
той с интервалами по оси t между отдельными скачками, равными Δτ.
Первый скачок ЭДС равен u(0) и действует в момент t = 0. Все последующие скачки ЭДС можно определить как Δu = Δτ
действуют они с запаздыванием на τ, т.е. в момент t – τ.
4.13. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ
ывную кривую ЭДС u(t) приближённо ступенча-
tgα = e′(τ)Δτ и
117
τ
−
′=τ−Δ=′
′
Рис. 4.23
Ток на выходе цепи в произвольный момент времени t можно
рассматривать в соответствии с принципом наложения, как сумму частичных токов, возникающих под действием отдельных скачков ЭДС,
следующих друг за другом через промежутки Δτ в интервале времени
от 0 до t. Частичный ток, вызванный первым источником ЭДС, будет
равен i′(t) = u(0
скачками ЭДС, будут равны
Результирующий ток равен сумме частичных токов:
) g (t), а частичные токи, вызванные последующими
τΔτ
′
=
′′
+
+=
∑∑
)()()()(
tgutugti . (4.170)
−τ
tt
′
00
=τ
τΔτ
)()()()0()()()(
tgutgutititi
. (4.171)
Перейдём к бесконечно малым интервалам Δτ → dτ и заменим
сумму интегралом:
t
′
+=
∫
0
. (4.172)
dttgutguti
τ−τ
)()()()0()(
Полученное выражение для )(ti носит название интеграла Дюа-
меля и применяется на практике для расчёта переходных процессов
в электрических цепях при воздействии на них источников ЭДС или
тока произвольной формы.
Порядок применения интеграла Дюамеля:
1. Выполняют расчёт переходного процесса классическим или
операторным методом при включении исследуемой цепи к источнику
единичной постоянной ЭДС E = 1 и таким об
разом определяют необ-
ходимую переходную функцию по току g(t) или по напряжению k(t).
2. Определяют переходную функцию g(t – τ) или k(t – τ) путём
замены в выражениях g(t) или k(t) переменной t на (t – τ).
118
3. Находят производную от функции ЭДС dttudtu )]([)(
=
′
τ
′
τ
′
τ′−=′
и
в полученном выражении заменяют переменную t на τ, в результате
получают функцию
4. Выражения функций
)(
e .
)(
u , g(t – τ) или k(t – τ) подставляют
в формулу интеграла Дюамеля, выполняют интегрирование по переменной τ и подставляют пределы интегрирования по переменной t.
При необходимости упрощают структуру полученного выражения
искомой функции i(t) или u(t).
Замечания:
1. Если функция u(t) претерпевает скачки или разрывы, то она
разбивается на отдельные участки с плавным изменением функции,
при этом интеграл Дюамеля применяется к каждому участку в отдельности.
2. При расчёте переходных процессов в цепях постоянного или
синусоидального тока метод интеграла Дюамеля проигрывает классическому и операторному методам, поэтому для таких цепей он не пр
меняется.
и-
Пример. Рассчитать ток i(t) в цепи R, C при действии на неё
трапециевидного импульса с заданными параметрами (рис. 4.24):
Переходная проводимость схемы
t
1
tg
)( . (4.173)
rC
R
Производная от функций u(t) и u(τ):
tge
)(;
τ−
t
−−
11
rC
e
==τ−=
R
R
.)(;)( kuktu −=
τ
t
−−
RCRC
ee
Рис. 4.24
119
Так как функция u(t) в момент времени
=
≤
≤
∞≤≤
то её разбиваем на два участка (
∞...,...011tt ), для каждого из которых
находим своё решение для искомой функции i(t).
Решение для
)0()(
uti
R
)0(
u
R
Решение для
RC
0 tt
t
RC
∫
t
1
:
1
t
0
−−
11
ke
R
τ
t
⎛
−−
RCRC
⎜
ekCee
⎜
⎝
tt
:
+=
∫
τ
t
1
−−=
r
1
′
0
e
RCRC
dtee
⎞
e
⎛
⎟
⎜
⎟
R
⎝
⎠
t
)0(
RC
e
R
)0(
⎞
+=
⎟
⎠
tt
изменяется скачком,
1
t
−−
k
−=−+=
R
t
−
RC
kCekC
−
)()()()()()0()(
ttgtudttgutguti
−−τ−τ
11
τ
⎛
RCRC
⎜
RCee
⎜
⎝
. (4.174)
. (4.175)
t
⎞
⎟
=
⎟
⎠
0
120