Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Установившиеся и переходные режимы работы электрических цепей. Учебное пособие.pdf
Процесс будут протекать аналогично и при коротком замыкнии
r
+
цепи переменного тока, но тогда I
будет мгновенным значением тока
0
цепи в момент замыкния.
4.5.2. Замыкание цепи на добавочное сопротивление
Предполагается, что цепь r, L, отключаясь от источника напряже-
, замыкается на добавочное сопротивление R без предваритель-
ния U
0
ного размыкания цепи, что можно осуществить с помощью переключателя, схематически показанного на (рис. 4.2, а). Для тока цепи после
переключения может быть использовано полученное выражение (4.37),
но сопротивление цепи теперь равно r + R:
+
Rr
−
t
L
.
eIi
= (4.42)
0
Из-за уменьшения постоянной времени ток будет затухать быстрее (рис. 4.2, б). ЭДС самоиндукции
di
Le
L
поддерживает в цепи ток .
после переключения
б)
LI
dt
i
= Значение ЭДС в первый момент
+
Rr
⎛
−−=−=
⎜
L
⎝
e
L
Rr
+
−
⎞
L
e
⎟
⎠
Rr
+
=
L
Rr
+
t
−
L
eU
00
(4.43)
R
а)
Рис. 4.2
81
)0( U
r
r
r
r
r
r
L
(4.44)
0
Rr
+
ie
==
больше напряжения U0 во столько раз, во сколько увеличилось сопротивление цепи. Это явление называется перенапряжением.
Казалось бы, что процесс размыкания цепи можно рассматривать
как замыкание цепи на добавочное сопротивление R = ∞; но при этом
перенапряжение, а следовательно, и напряжение на выключателе должно в первый момент равняться бесконечности, чего быть не может.
В действительности по
д воздействием возрастающего напряжения
произойдёт пробой промежутка между контактами выключателя, и в цепь
окажется включённым увеличивающееся по мере разведения контактов
сопротивление электрической дуги. Цепь и её уравнение становятся нелинейными, и расчёт не может быть выполнен элементарным путём. Эта
задача является основной в теории выключающей аппаратуры.
4.5.3. Включение цепи на постоянное напряжение
U
0
′′
Принуждённый ток
i
=
, а переходной ток
r
−
Ae
t
L
.
U
0
′′+′
iii
= (4.45)
+=
Ток до переходного процесса, а следовательно, и в перый момент
после включения равен нулю:
i
U
0
,0)0(
=+= A
(4.46)
отсюда
U
A
0
−= (4.47)
и
r
t
i
r
r
U
U
U
000
L
e
r
r
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
t
L
⎟
−=−=
0
⎟
⎠
r
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
−−− t
L
⎟
−=
eIe
,11
(4.48)
⎟
⎠
т.е. переходной ток постепенно нарастает до своего окончательного
значения I
и тем медленней, чем больше постоянная времени
0
L
=τ
(рис. 4.3, б); здесь показаны также принуждённая и свободная составляющие переходного тока.
82
r
r
(
−−=
б)
а)
Рис. 4.3
Напряжения на участках цепи:
a
0
⎛
⎜
−==
⎜
⎝
r
⎞
− t
L
⎟
;1
eUriu
⎟
⎠
r
−
di
Lu
L
==
dt
t
L
.
eU
(4.49)
0
Следовательно, в первый момент напряжения цепи целиком
сосредоточиваются на индуктивности и затем переходят на сопротивление.
4.5.4. Изменение сопротивления цепи
Пусть в цепи r + R, L (рис. 4.4, а) рубильник то замыкаается, шунтируется резистор R, то размыкается, вновь включая этот резистор,
причём промежутки между переключениями больше времени практического установления процесса. Тогда принуждённый ток меняется
от значения
U
0
= до .
I
1
И переходный ток после замыкания рубильника
r
t
−
L
U
0
I+=
2
IIA
211
(4.50)
R
,)0(,
IAIieAIi
=+=+=
(4.51)
2111111
)
.
(4.52)
83
−
=
ψ
=
б)
а)
Рис. 4.4
Окончательно
r
t
−
()
−−= (4.53)
После размыкания переходный ток
Rr
+
t
−
L
L
.
eIIIi
2111
,)0(,
IAIieAIi
=+=+=
1222222
откуда
(4.54)
,
IIA
212
и окончательно
Rr
+
t
−
()
−+= (4.55)
L
.
eIIIi
2122
4.5.5. Включение цепи на синусоидальное напряжение
Пусть цепь r, L включается на синусоидальное напряжение
)sin( ψ+ω= tUu
m
включения
(рис. 4.5, а). Тогда значение напряжения в момент
sin)0(mUu определяется величиной начальной фазы ψ,
которая в этом случае называется также фазой включения. Принуждённый ток
U
′
i
=
m
ω+
U
m
()
sin . (4.56)
z
⎛
t
⎜
22
⎝
Lr
)(
−ψ+ω
ϕ−ψ+ω= t
L
ω
⎞
arctgsin
=
⎟
r
⎠
84
Переходный ток
z
z
z
z
=ϕ−
z
= (4.57)
U
m
′′+′
iii
i
()
z
U
m
()
r
t
−
L
,sin
Aet
+ϕ−ψ+ω=
,0sin)0( =+ϕ−ψ= A
откуда
U
m
A
()
,sin ϕ−ψ−=
(4.58)
и окончательно
r
t
U
()()
i
t
U
mm
−
L
(4.59)
.sinsin
e
ϕ−ψ−ϕ−ψ+ω=
Переходное напряжение на сопротивлении пропорционально току
riua= , а на индуктивности
L
di
ω
Lu
== (4.60)
dt
sin
z
⎛
⎜
⎝
r
π
tU
⎞
+ϕ−ψ+ω
⎟
22
⎠
()
mmL
r
t
−
L
.sin
eU
ϕ−ψ+
При включении в момент, когда принуждённый ток равен нулю,
например, при
ψ
i
0
U
m
t
ω= sin и ,
u
L
ω
= tU
z
π
⎛
sin
⎜
mL
⎝
⎞
+ω
(4.61)
⎟
2
⎠
т.е. свободного тока и свободных напряжений на участках цепи нет,
и сразу после включения наступает установившийся процесс (рис. 4.5, б).
а) б)
в)
Рис. 4.5
85
В общем случае на синусоидальные установившиеся напряжения
r
z
=
′
′
=
+
′
′
на участках цепи и ток налагаются свободные составляющие, значения
которых уменьшаются по показательному закону. В результате ток i и
напряжения
гут превосходить их максимальные значения
u и Lu в течение некоторых промежутков времени мо-
a
I , amU , LmU при уста-
m
новившемся режиме, т.е. могут возобновить большой ток, называемый
сверхтоком, и перенапряжения. Их величина зависит от фазы включе-
ния ψ и от постоянной времени
L
=τ
, определяющих, соответствен-
но, начальные значения свободных составляющих и скорость их
U
уменьшения. Так, при включении значения
π
=ϕ−ψ
,
2
U
i
u
⎛
t
sin
⎜
z
⎝
L
ω
−= (4.63)
mL
z
U
π
⎞
+ω=
mm
−
⎟
2
z
⎠
r
tU
+ω
z
e
−
e
m
I
= , например при
m
r
t
−
L
;
(4.62)
r
t
L
.sin
При большой постоянной времени получается большой сверхток
(рис. 4.5, в), однако он не может превзойти двойную амплитуду
riu
установившегося тока. Аналогично поведение
ние же для
u меньше, так как в этом случае r и Lu
L
; перенапряже-
a
малы.
I2
m
4.6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ
С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ
СОПРОТИВЛЕНИЯ И ЁМКОСТИ
4.6.1. Короткое замыкание цепи
При коротком замыкании цепи с последовательным соединением
r и C (рис. 4.6, а)
0
uri , (4.64)
C
du
C
Ci
так как
ния
86
= , уравнение для переходного ёмкостного напряже-
dt
u , равного в этом случае его свободному значению Cu
C
du
C
rC
dt
.0=+
u
(4.65)
C
, будет
=
+
=
=
r
б)
а)
Рис. 4.6
Характеристическое уравнение
имеет корень
p1−=
rC
, тогда
=
′′
CC
rCp (4.66)
01
1
pt
t
rC
t
−−
τ
===
AeAeAeuu
,
где rC=τ – постоянная времени этой цепи. Если начальное напряже-
ние на ёмкости было равно
ния после замыкания, откуда определится постоянная интегрирования:
U , оно сохранится и для первого мгнове-
0
.)0(
UAu
(4.67)
C
0
Следовательно, напряжение на ёмкости убывает по экспоненте
(рис. 4.6, б)
1
rC
.
eUu−= (4.68)
0
C
Ток
du
C
Ci
dt
CU
⎛
−==
⎜
0
rC
⎝
t
1
⎞
rC
e
⎟
⎠
−=
t
−−
U
0
rC
e
(4.69)
r
возникает при коротком замыкании цепи скачкообразно, принимая
U
значение
0
− , а затем убывает по тому же экспоненциальному закону.
Так как это ток разряда, то знак его отрицательный.
87
Энергия, расходуемая на нагрев сопротивления r за время пере-
r
=
′
+
=
ходного процесса:
∞
0
∞
2
dtriW
U
0
∫∫
0
1
rC
===
2
,
CUdte
(4.70)
0
2
t
2
2
−
т.е. равна энергии, запасённой в ёмкости до замыкания цепи.
4.6.2. Включение цепи на постоянное напряжение
При включении цепи r, C на постоянное напряжение
ёмкость будет заряжать до принуждённого напряжения
Тогда переходное напряжение
= (4.71)
′′
′
+
0
CCC
t
−
rC
.
AeUuuu
+=
U (рис. 4.7, а)
0
.0Uu
C
Напряжение на ёмкости до переходного процесса, а следователь-
но, и в первый момент после включения равно нулю:
C
откуда
UА −= и
0
C
,0)0(
=
AUu
0
t
rC
(4.72)
t
⎛
⎜
000
⎜
⎝
⎞
−−
rC
⎟
,1
eUeUUu (4.73)
−=−=
⎟
⎠
т.е. напряжение на ёмкости постепенно нарастает до своего окончательного значения и тем медленней, чем больше постоянная времени
rC=τ (рис. 4.7, б).
б)
а)
Рис. 4.7
88
Ток зарядки
+ω=
t
−−
U
0
rC
,
e
r
rC
t
1
⎞
rC
e
=
⎟
⎠
du
C
Ci
dt
⎛
CU
−−== (4.74)
⎜
0
⎝
при включении цепи возникает скачком и изменяется по тому же показательному закону, что и ток разряда, но имеет положительный знак.
Следовательно, энергия расходуется на нагрев сопротивления за
время переходного процесса, независимо от величины r будет такой
1
2
же, как и в случае разряда, т.е.
CUW =
, и равна энергии, которая
0
2
запасается в ёмкости при её разрядке.
Интересно отметить, что при разрядке конденсатора постоянным
током
ренней проводимостью, время зарядки до заданного напряжения
было бы
I , например от источника тока с пренебрежимо малой внут-
0
U
t =
CU
0
, т.е. конечным, а потери в сопротивлении trIW
I
0
2
=
0
0
при малом r будут малы.
4.6.3. Включение цепи на синусоидальное напряжение
При включении цепи r, C на синусоидальное напряжение
)sin( ψ
tUu
m
,
где ψ – фаза включения (рис. 4.8, а), принуждённое напряжение
на ёмкости
= tU
u
1
1
2
⎛
+
r
⎜
ω
C
⎝
⎛
⎜
2
⎝
⎞
⎟
⎠
−ψ+ω−
t
1
arctgsin
−
ω
Cr
π
⎞
⎟
2
⎠
⎛
sin
⎜
CmC
⎝
π
⎞
−ϕ−ψ+ω=
;
⎟
2
⎠
(4.75)
Переходное напряжение
= (4.76)
CmCCC
CmC
′′
′
+
откуда постоянная интегрирования
π
⎛
sin
⎜
⎝
⎛
sin)0( =+
sin
UA , (4.78)
Cm
−ϕ−ψ= AUu
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎞
−ϕ−ψ+ω=
⎟
2
⎠
π
⎞
⎟
2
⎠
π
⎞
−ϕ−ψ−=
⎟
2
⎠
t
−
rC
;
AetUuuu
+
,0
(4.77)
89
ω
=
=
в) б)
а)
Рис. 4.8
и окончательно
t
−
sin
π
⎛
⎜
⎝
⎞
−ϕ−ψ+ω=
⎟
2
⎠
⎛
sin
⎜
CmCmC
⎝
π
⎞
rC
.
eUtUu
⎟
⎠
(4.79)
−ϕ−ψ−
2
Переходный ток цепи
t
du
C
Ci
dt
()
tI
m
I
⎛
m
sinsin
+ϕ−ψ+ω==
⎜
Cr
ω
⎝
−
π
⎞
rC
.
e
⎟
⎠
(4.80)
−ϕ−ψ
2
При включении в тот момент, когда принуждённое напряжение
на ёмкости равно нулю, например при
tUu
sin и ,
CmC
π
,
=ϕ−ψ
2
π
⎛
sin
⎜
m
⎝
⎞
(4.81)
+ω= tIi
⎟
2
⎠
т.е. сразу после включения наступает установившийся процесс.
В общем случае на синусоидальные установившиеся напряжение
на ёмкости и ток в цепи налагаются свободные составляющие, значения которых уменьшаются по показательному закону. В результате ток
riu
и
i и напряжения
a
ни могут превосходить максимальные значения
u в течение некоторых промежутков време-
C
I , ,
U CmU . Вели-
m
am
чины сверхтока и перенапряжений зависят от фазы включения ψ и
от постоянной времени rC, определяющих, соответственно, начальные
значения свободных составляющих и скорость их уменьшения.
При включении в тот момент, когда принуждённое напряжение
на ёмкости получает максимальное значение
U , а принуждённый
Cm
ток равен нулю, например при ψ – ϕ = 0:
90