Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Установившиеся и переходные режимы работы электрических цепей. Учебное пособие.pdf
t
r
t
−
rC
;
eUtUu
+
CmCmC
t
−
rC
.sin
e
(4.83)
m
π
sin
⎛
⎜
⎝
⎞
−ω= (4.82)
⎟
2
⎠
I
m
tIi
−ω=
Cr
ω
В этом случае при большой постоянной времени rC получается
большое перенапряжение на ёмкости, равное в пределе двойной
амплитуды 2
U установившегося напряжения на ёмкости, но малый
Cm
сверхток (рис. 4.8, б). При малой постоянной времени может полу-
U
Cm
,)0(
читься сверхток
I тока установившегося режима, но тогда перенапряжения на ёмко-
m
= во много раз превосходящий амплитуду
i
сти практически не будет (рис. 4.8, в).
4.7. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ
С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ
СОПРОТИВЛЕНИЯ, ИНДУКТИВНОСТИ И ЁМКОСТИ
Решение задачи короткого замыкания до определения постоянных интегрирования даёт выражение для свободной составляющей
тока или напряжения в цепи.
Пусть ёмкость, заряженная до напряжения
цепь с последовательным соединением сопротивления и индуктивно-
сти (рис. 4.9, а).
Тогда уравнение по второму закону Кирхгофа будет однородным:
так как
= ,
Ci
или .0
4.7.1. Короткое замыкание цепи
di
u
du
Lri (4.84)
C
C
dt
dt
2
rC
du
du
dt
2
r
2
L
dt
LC
du
ud
CC
2
d
1
CC
LCdt
U , замыкается на
0
;0=++
0
=++
u
C
=++
u
C
91
=+==+
=
б) а)
Рис. 4.9
Характеристическое уравнение
2
p (4.86)
L
0
=+=LCp
1
r
имеет два корня
2
1
r
Если
p −±−=
2
r 1
≠ , т.е. CLr /2≠ , корни будут различными:
2
LC
L
4
r
2,1
2
L
4
L
.
2
(4.87)
LC
.21pp ≠
В этом случае решение дифференциального уравнения
C
tptp
21
,
eAeAu += (4.88)
21
а ток цепи
du
C
Ci +== (4.89)
dt
tptp
21
.
epCAepCA
2211
В момент t = 0 напряжение на ёмкости и ток индуктивности, равный току всей цепи, будут такими же, как и до замыкания:
C
92
,0)0(,)0(
pCApCAiUAAu
(4.90)
2211021
откуда постоянная интегрирования
()(
(
<
=
A
−=
1
и, следовательно, ток и напряжения на участках будут:
CUpp
i −
−=
,
uriu −
−==
Ca
021
pp
−
21
Up
02
e
+
pp
−
21
di
Lu −
L
−== (4.94)
dt
2
Up
02
;
A
2
pp
−
21
ee
−=−
2
L
Up
01
e
pp
−
21
U
0
2
1
r
−
2
LC
4
L
Up
01
−=
U
2
r
4
L
−=
2
(4.91)
pp
−
21
0
1
−
2
LC
U
0
2
1
r
−
2
LC
4
L
ee
tptptptp
2121
)
;
(4.92)
tptptptp
2121
)
;
epep
12
(4.93)
tptp
()
21
.
epep
21
Характер переходного процесса зависит от соотношения между
параметрами r, L, C цепи.
Если ,2
1.
<< Это значит, что все вычисленные выше вели-
r >
L
C
pppp
2121
корни
.,0,0
p и 2p будут вещественными, причём
1
чины состоят из алгебраической суммы двух экспонент, имеющих разные знаки, причём первая экспонента затухает медленней, чем вторая.
В результате (рис. 4.9, б) напряжение конденсатора, начиная с
U ,
0
непрерывно убывает, оставаясь всегда положительным, так как его
первая экспонента положительная и больше второй отрицательной.
Ток i цепи и напряжение
всегда отрицательны, что соответствует току разряда. Напряжение
на индуктивности возникает скачком, принимая значение –
ходит через нуль в момент
нент, т.е. при
riu
на сопротивлении, начинаясь с нуля,
a
t при равенстве значений своих экспо-
0
tptp
0201
epep = , откуда
21
t−=
0
p
2
ln
p
1
(4.95)
pp
21
u
U ; про-
0
L
93
и затем становится положительным. Так как
=
=
[
[
производной
, в момент
dt
tt
абсолютное значение тока проходит
0
di
через максимум. Приравняв производную
что
u имеет максимум при 02tt
L
(см. рис. 4.9, б). Рассмотренный
u пропорционально
L
du
L
нулю, можно видеть,
dt
вид разряда называется апериодическим.
Энергетическая сторона апериодического процесса заключается
в следующем.
Так как напряжение
u непрерывно уменьшается, ёмкость отдаёт
C
энергию. Индуктивность с ростом тока накапливает энергию, но, начиная с
tt = , ток убывает, и индуктивность постепенно отдаёт энер-
0
гию. В течение всего процесса сопротивление рассеивает потребляемую им энергию.
2.
Пусть
r 2<
L
. Введя обозначения
C
r
2
1
,
LCL
ω=β=
2
и
0
LC
2
1
r
4
,
ω=−
(4.96)
2
L
можно переписать выражение для корней характеристического уравнения следующим образом:
p
r
2,1
2
L
1
j
LC
Так как ω – число вещественное, корни
2
r
2
4
L
p и 2p будут комплекс-
22
0
1
.
ω±β−=β−ω±β−=−±−= jj
(4.97)
ными.
После подстановки значений
ний выражения для тока и напряжений на участках получают вид:
i
,riua=
U
−=
2
ω
u
C
=
()()
Lj
U
0
()
−=
ω
j
2
⎛
β
t
β−
⎜
eU
0
⎜
ω
⎝
p и 2p и очевидных преобразова-
1
U
ttjtj
βω−β−ω+β−
00
ee
−
]
()
ee
+
j
−=−=
L
ω
()
+
ee
22
;sin
te
ω
(4.98)
()
ω−β−ω+β− tjtj
ejej
ω−ωω−ω
tjtjtjtj
⎞
⎟
.
(4.99)
⎟
⎠
]
=ω+β−−ω−β−
94
cos
Пусть ,
β
ctg
ω
=
0
C
Аналогично
U
()
[]
−=
u
L
ω
j
θ
=θ=
cos
⎛
⎜
sin
⎝
тогда
sin
θ
θ
θ
()
U
⎞
cossin
ω+ω
()
0
=
tteUu
⎟
sin
θ
⎠
()
ejej
=ω−β−−ω+β−
β−β−
tt
()
te
U
β−ω−β−ω+β−
ttjtj
00
sin2
θ
.sin
θ+ω
(4.100)
()
.sin
θ−ω
te
(4.101)
Ток и напряжение цепи, в которой r = 0 и, следовательно,
,0
U
0
−= tUutUuriut
i
ω
0
1
0
LC
L
π
,
, будут равны:
=θ=ω=ω=β
2
π
⎛
sin;;sin
⎜
⎝
⎞
+ω==ω
⎟
2
⎠
sin;
LCa
⎛
⎜
⎝
−ω=
00000
(4.102)
π
⎞
.
⎟
2
⎠
Следовательно, если бы в цепи не происходило рассеяния энергии, ток и напряжения на участках были бы синусоидальными функциями времени, т.е. имели бы место так называемые собственные
незатухающие колебания, угловая частота которых равна резонансной
1
частоте этой цепи
=ω , а период определяется по формуле
0
LC
Томсона
2
π
=
0
ω
0
.2
LCT π=
(4.103)
Для незатухающих колебаний на рис. 4.10 изображены диаграмма
и график мгновенных значений тока и напряжений на индуктивности и
ёмкости, которые аналогичны имеющим место при резонансе в цепи
с последовательным соединением r, L, и C. Следовательно, и здесь
происходит полный обмен энергиями между C и L.
L
Если в цепи есть сопротивление
r 2<
, разряд, как видно из
C
приведённых выражений для тока и напряжений, также носит колебательный характер, но амплитуды тока и напряжения постепенно
t
уменьшаются, так как
β−
e
с ростом t стремится к нулю.
95
Угловая частота этих собственных затухающих колебаний
0
период собственных затухающих колебаний
2
1
LC
r
2
4
L
ω<−=β−ω=ω
, (4.104)
0
2
π
.
TT >
=
0
ω
22
Отношение мгновенного значения какой-либо величины, например тока, к значению этой величины через период T
U
⎛
=Δ )(sin:sin
⎜
ω
L
⎝
ω
te
U
⎡
⎞
00
⎟
⎢
ω
L
⎣
⎠
)(
⎤
TTtt
+ω
β+β−β−
eTte
=
⎥
⎦
называется декрементом колебания.
На рисунке 4.11 изображён график мгновенных значений тока и
напряжений для затухающих колебаний.
(4.105)
96
Рис. 4.10
Рис. 4.11
Энергетический процесс заключается в основном в обмене энер-
=++
=
=
+
гиями между ёмкостью и индуктивностью с непрерывным рассеянием
энергии сопротивления. Переходный процесс закончится, когда энер-
1
гия
сеяна.
жении тока дробь
даёт для этого критического случая
2
, первоначально запасённая в ёмкости, будет целиком рас-
CU
0
2
2
1
r
→−=ω
и стоящая в выра-
2
4
L
ttt
ω
⎞
⎟
1
⎠
r
t
−
2
L
.
t
=
(4.106)
→ω→ω 00
Если
r 2→
L
, частота 0
C
0sin
ωt
ω
⎛
⎜
⎝
. Раскрытие неопределённости
→
0
ω
⎞
⎟
ω
⎠
i
LC
cossin
⎛
=
⎜
⎝
U
0
te
−= (4.107)
L
Характер разряда будет апериодическим.
4.7.2. Включение цепи на постоянное и переменное напряжения
При включении цепи r, L, C на постоянное напряжение (рис. 4.12, а)
конденсатор будет заряжаться, и его установившееся напряжение
UuC= . Тогда
0
′′
′
+
= (4.108)
Ci +==
du
CCC
C
dt
Постоянные интегрирования определяются из начальных усло-
вий:
C
Выражение для )0(
u отличается от выражения для )0(Cu при
C
и .0)0(
210
= pCApCAi (4.110)
0)0(
AAUu
коротком замыкании только знаком перед
совпадают. Тогда постоянные интегрирования будут такими же,
но имеющими обратный знак, а, следовательно, свободные составляющие тока и напряжения при включении также будут отличаться
от случая короткого замыкания только знаком.
tptp
21
;
eAeAUuuu ++=
210
tptp
21
.
epCAepCA
(4.109)
2211
2211
U , выражения для i(0)
0
97
′
′
′
′
′
′
а) б)
в)
Рис. 4.12
Тогда i и
напряжение же
U и свободной Cu
ной
0
дическом случае возникает перенапряжение, равное в пределе
График мгновенных значений для апериодического случая пока-
зан на рис. 4.12, б, для периодического – на рис. 4.12, в.
При включении той же цепи на синусоидальное напряжение час-
тоты ω
ход решения остаётся тем же; переходный ток и напряжения
1
на участках будут представлять собой сумму принуждённых синусоидальных и свободных затухающих составляющих, носящих характер
апериодический или колебательный с собственной частотой ω,
в общем случае не равной частоте ω
от предыдущего случая будет зависеть также от момента включения.
В большинстве случаев изображение представляет собой такую
рациональную дробь:
98
u равны своим свободным составляющим i
L
u на ёмкости представляет собой сумму принуждён-
C
и
u
составляющих; поэтому на ёмкости в перио-
2U .
0
. Переходный процесс в отличие
1
4.8. ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
1
mm
p
ϕ
)(
=
pF
)(
−
10
1
nn
−
10
apapa
+++
...
m
,
(4.111)
bpbpb
+++
...
n
L
,
=
ϕ
−
у которой m < n,
уравнения
a и kb – вещественные числа, а корни
k
0)(=pF не кратны и не равны корням уравнения
ppp ...,,,
n
21
0)(
p
Тогда дробь может быть разложена на простые дроби:
)(
p
ϕ
=
pF
p
ϕ
21 n
Для определения коэффициента
pp
умножить на
− (4.113)
pp
и устремить p к
в неопределённость
:
k
⎛
A
1
⎜
k
⎜
−
pp
⎝
1
p . Тогда левая часть превратится в kA , а правая –
k
0
, раскрытие которой даёт
0
pA
ϕ=
A
1
=
))...(()()()(
pppppp
−−−
−
n
A следует обе части равенства
A
k
++
−
++
pp
k
d
lim)(
dp
ppkk
→
k
d
dp
A
2
+
pp
1
k
−
pp
−
2
⎞
A
n
⎟
⎟
−
pp
⎠
n
pp
)(
k
ϕ
=
pF
′
)(
A
++
−
ϕ
−=
)(......)(
pp
k
p
)(
k
(4.114)
.
pF
)(
k
n
pp
p
pF
....
(4.112)
)(
)(
Следовательно,
p
ϕ
)(
n
1
′
ϕ
n
1
1
k
)(
k
p
k
′
pF
k
,
(4.115)
pppF
−
k
)(
tp
k
e
(4.116)
)(
а так как
p
ϕ
)(
=
∑
pF
)(
1
pp −
tp
k
≓
e ,
k
pϕ
≓ .
∑
)()(pF
Это и есть теорема разложения, позволяющая по изображению в
виде рациональной дроби найти оригинал, равный сумме показательных функций времени, умноженных на постоянные коэффициенты.
Если при этом один из корней F(p) равен нулю, соответствующая
показательная функция превращается в постоянную величину.
99
.
4.9. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
4.9.1. Нахождение токов и напряжений
в цепях с помощью преобразований Фурье
Представляя сложную ЭДС через гармонические составляющие,
мы пользуемся парой преобразований – прямым преобразованием,
когда находим спектральную функцию
∞
=ω )()(
∫
∞−
tj
ω−
, (4.117)
dtetfS
и обратным преобразованием, когда находим функцию f (t) по её спектральной функции:
∞
1
)( ωω
=
∫
∞−
2
π
ω−
tj
.)(
deStf
(4.118)
Можно заметить, что время t и частота ω входят в эти формулы
симметричным образом.
Эти преобразования, называемые прямым и обратным преобразованиями Фурье, лежат в основе спектрального метода анализа переходных процессов. Рассмотрим суть этого метода на примере нахождения тока в линейной цепи, на входе которой действует сложная периодическая ЭДС.
пектральный состав сложной ЭДС, можно на основании
Зная с
принципа суперпозиции найти результат воздействия этой ЭДС на цепь.
Действительно, определив ток в цепи как следствие воздействия каждой
гармонической ЭДС, можно найти и результирующий ток, как сумму
результатов воздействия гармонических составляющих этой ЭДС.
Пользуясь комплексным методом, найдём ток в цепи, имеющей
роводимость Y
п
последовательности импульсов e
(ω) при воздействии на неё ЭДС, в виде периодической
(t). Эта ЭДС может быть выражена
рядом Фурье. Пусть Ω есть частота следования импульсов. На основании выражения K-я гармоническая составляющая будет иметь ком-
Ω
плексную амплитуду
функция ЭДС e
(t). Под действием ЭДС в цепи возникает периодиче-
Ω=Ω )()( KSKC
ee
, где )( ΩKS
π
– спектральная
e
ская последовательность импульсов тока. При этом K-я составляющая
тока может быть определена через гармоническую составляющую
ЭДС согласно закону Ома:
)()()( ΩΩ=Ω KCKYKC
. (4.119)
ei
100