Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Установившиеся и переходные режимы работы электрических цепей. Учебное пособие.pdf
Т
T
i
Im
I
I
ср
i(t)
0 Т/2
Рис. 1.5
Действующее значение переменного тока (напряжения) определяется как среднеквадратичное значение функции за период:
T
1
2
I
T
I
dtti
)(
0
2
1
m
T
2
T
T
1
m
T
0
I
m
≈== (1.14)
2
Аналогично получим для напряжения
U 707,02≈=
Количество энергии, выделяемое переменным током в резисторе R
за время Т, по закону Джоуля будет равно
а активная мощность соответственно
T
2
I
22
tdtI
sin
.707,0
I
m
U
m
T
2
==
∫
0
W
P == (1.17)
T
m
T
U
. (1.15)
m
2
,
RTIRdtiW
(1.16)
.2RI
1
1
⎛
⎜
∫∫∫
2
⎝
0
ω−=ω==
2cos
2
t
⎞
=
dtt
⎟
⎠
11
Количество энергии, мощность – параметры электроэнергии на
ψ
+
переменном токе, которые характеризуются действующими значениями напряжения U и тока I, поэтому все расчёты и эксперименты осуществляют именно для действующих значений. Максимальные значения данных функций необходимы для экспериментальных расчётов
в радиотехнике и в технике связи.
Ранее приведённые формулы для мощности и энергии п
еременного
тока аналогичны с формулами для постоянного тока, поэтому можно
сделать вывод, что действующее значение переменного тока эквивалентно энергетически постоянному току.
Синусоидальная функция времени, как периодическая функция,
характеризуется следующими коэффициентами :
– коэффициент амплитуды
I
– коэффициент формы
I
ф
I
U
mm
U
I
U
U
π
===κ
срср
;41,12а≈===κ
(1.18)
.11,1
≈
(1.19)
22
1.4. ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ
ПЕРЕМЕННЫХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ
Сложение, вычитание токов и напряжений – необходимые действия при расчёте цепей переменного тока, но иногда можно столкнуться
с некоторыми трудностями (эти операции оказываются довольно громоздкими), когда токи и напряжения заданы аналитическим или временными диаграммами. Чтобы упростить задачу при работе с синусоидальными величинами, был разработан метод построения векторных диаграмм. По
кажем, что синусоидальная величина может быть
изображена вращающимся вектором.
Пусть вектор
против часовой стрелки. Начальное положение вектора
углом ψ (рис. 1.6). Проекция вектора
жением
m
I вращается с постоянной угловой частотой ω
m
I на ось у определяется выра-
m
)sin(
ωtI
, которое соответствует мгновенному значению
I задано
m
переменного тока. Таким образом, временная диаграмма переменного тока является развёрткой по времени вертикальной проекции
вектора
,mI вращающегося с угловой частотой ω.
12
ψ
ψ
y I
ω
ψ
I
ψ
I
ω
i
m
i
1
i
0
α = ψ + ωt1x
t
1
m
0
t
1
m
t
Рис. 1.6. Изображение синусоидального тока
вращающимся вектором
y
E1
E
ϕ
ψ1
ψ
0
2
2
x
Рис. 1.7
Синусоидальные величины, показанные векторами, помогают наглядно увидеть начальные фазы этих величин и сдвиг фаз между ними.
На векторных диаграммах длины векторов соответствуют действующим значениям тока, напряжения и ЭДС, так как они пропорциональны амплитудам этих величин.
На рисунке 1.7 показаны векторы
и
1
и сдвигом фаз ϕ.
2
E и 2E с начальными фазами
1
Векторная диаграмма – это совокупность векторов, которые
характеризуют процессы в цепи переменного тока, построенные в выбранных масштабах и с соблюдением правильной их ориентацией друг
относительно друга и которые соответствуют нулевому моменту
времени. Токи или напряжения, показанные на ней в виде векторов,
имеют одинаковую частоту.
13
α
ω
ωt′
y
i(t′)
i(0)
I
m
Рис. 1.8
α
x
С помощью вращающегося вектора можно наглядно показать любую синусоидальную функцию времени (рис. 1.8), например
)sin()(
+ω= tIti
m
(известно из курса математики), если учесть вы-
полнение некоторых условий:
а) длина вектора в масштабе равна амплитуде функции
I ;
m
б) начальное положение вектора при t = 0 определяется начальной
фазой α;
в) вектор равномерно вращается с угловой скоростью ω, равной
угловой частоте функции.
Если следовать данным указаниям, проекция вращающегося вектора на вертикальную ось y в системе координат х
−
у в любой момент
времени t′ равна мгновенному значению функции i(t′), следовательно,
)sin( α+ω= tIi
m
.
Рассмотрим процессы в схеме электрической цепи рис. 1.9.
Изобразим синусоидальные функции токов и напряжений вращающимися векторами для произвольного момента времени, например t = 0
(рис. 1.10, а). Момент времени, для которого строится векторная диаграмма, выбирается произвольно, так как при анализе установившегося режима в схеме мгновенные значения функций не представляют
интереса.
е Z1 u Z2
14
i
i1i
2
Рис. 1.9
u = e = Em sin(ωt + α)
= I
sin(ωt + ψ1)
i
1
1m
i2 = I
sin(ωt + ψ2)
2m
sin(ωt + ψ)
i = I
m
(
)
I
I
I
Em x y E I
I
I y x
1m
а) б)
2m
m
1
2
Рис. 1.10
Один из векторов принимают начальным, совмещают его на диаграмме с одной из осей координат (вектор Е на рис. 1.10, б совмещён
с осью y), а другие размещают по отношению к исходному вектору под
углом, который соответствует их сдвигам фаз.
На векторных диаграммах в выбранных масштабах длины векторов принимают равными их действую
щим значениям (рис. 1.10, б),
потому что в расчёт берутся действующие значения токов и напряжений.
1.5. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЛЕКСНОГО МЕТОДА РАСЧЁТА ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Как известно из пройденного материала по математике, ком-
плексное число
Z представляется в нескольких формах: показатель-
ной, тригонометрической и алгебраической:
j
α
,sincos jbajZZeZ
+=α+α==
(1.20)
где Z – модуль комплексного числа; j = 1− – мнимое единичное число;
α − аргумент комплексного числа; а – вещественная часть комплекс-
ного числа; jb – мнимая часть комплексного числа.
В основе перехода от одной формы комплексного числа к другой
лежит известная из математики формула Эйлера
α
j
.sincos α+α=
je
(1.21)
Соотношения между коэффициентами различных форм ком-
плексного числа вытекают из формулы Эйлера:
22
baZZbZa =α+=α=α=
b
.arctg;;sin;cos
(1.22)
a
15
+
=
ψ
+
–
+1 (x)
a
Z, ρ
α, ϑ
+j (y)
b
j
Рис. 1.11
Приведём наиболее часто встречающиеся численные соотношения:
Комплексное число jbaZeZ
32
;1;/1 и т.д. (1.24)
j
α
+==
90901800
jjjj
°−°°±
;;;1;1
jejeee
−=+=−==
(1.23)
jjjjj −=−=−=
может быть изображено
вектором на комплексной плоскости (рис. 1.11), при этом алгебраиче-
jbaZ
ской форме числа
нат (a → x; b → y), а показательной форме числа
соответствует декартова система коорди-
α=j
ZeZ − полярная
система координат (Z → ρ; α → θ).
С уверенностью можно говорить, что каждой точке (вектору)
на комплексной плоскости соответствует определённое комплексное
число, а за каждое комплексное число отвечает определённая точка
(вектор) на комплексной плоскости соответственно.
Зная о том, что синусоидальную функцию представляют вектором, а вектор – комплексным числом, следовательн
о, синусоидальные
токи и напряжения, которые характеризуют установившийся режим
цепи переменного тока, также показываются комплексными числами:
m
()
tIe
ω= sin
im
j
i
– комплексная амплитуда
eIIψ=⇔
m
i
i
IejIψ=⇔ – комплексное действующее значение.
Здесь ⇔ − знак соответствия.
16
Чтобы произвести расчёты цепей переменного тока, нужно произ-
()(
()(
вести некоторые математические действия с синусоидальными функциями, так как они заменяются комплексными числами (изображениями), то и данные операции выполняются с комплексными числами.
Сложение (вычитание) комплексных чисел производится в алгеб-
раической форме:
()()
)
=++=+=
jbajbaZZZ
221121
α
j
.
=+=++−=
12212121
Zejbababajbbaa (1.25)
Умножение комплексных чисел может выполняться как в алгеб-
раической, так и в показательной формах:
()()
)
=++==
jbajbaZZZ
221121
α
j
;
=+=++−=
12212121
jjj
α+ααα
212121
Zejbababajbbaa (1.26)
)(
j
2121
α
+=====
.
jbaZeeZZeZeZZZZ
(1.27)
Деление комплексных чисел может выполняться как в алгебраи-
ческой, так и в показательной формах:
Z
1
Ζ
Z
2
=
+
)(
jba
11
==
+
2
+
ba
2
2
=
+
)(
jba
22
bbaa
2121
+
2
Ζ
Ζ
Ζ
−
j
2
+
ba
2
2
j
α
1
eΖ
1
1
2
j
α
2
eΖ
2
−+
))((
jbajba
2211
=
−+
))((
jbajba
2222
)()(
baab
2121
2
Z
j
1
Z
2
α
j
Ζ=+=
ejba
α−α
)(
21
2
+
2
; (1.28)
j
α
+=Ζ====
−++
2
ba
2
jbaee
. (1.29)
)()(
baabjbbaa
21212121
=
Возведение в степень (извлечение корня) комплексного числа
выполняется только в показательной форме:
ψ
ψ
2
αψψ
jjnnnj
;)(
===
ZeeMMeZ (1.30)
α
jjj
.
===
ZeeMMeZ
(1.31)
Установим порядок дифференцирования и интегрирования синусоидальных функций в комплексной форме. Пусть задана некоторая
функция тока и её комплексное изображение:
m
ψ
j
=⇔ψ+ω=
IeItIi )sin( . (1.32)
Производная и интеграл от этой функции и их комплексные
изображения будут равны:
17
di
=
dt
I
−=
idt
∫
ω
⇔
t
I
e
ω
mm
90)90(
jjj
°ψ°+ψ
I
mm
=ψ+ω
ω
I
=
ω
°−ψ°−ψ
jjj 90)90(
=
ee
⇔°+ψ+ωω=ψ+ωω= )90sin()cos( tItI
;
IjeeIeI
ω=ω=ω⇔
(1.33)
⇔°−ψ+ω
)90sin()cos( t
I
. (1.34)
ω
j
Таким образом, дифференцированию синусоидальной функции
времени соответствует в комплексной форме умножение её комплексного изображения на множитель jω, а интегрированию – соответственно деление на тот же коэффициент:
di
dt
1
⇔ I
idt
;Ij
ω⇔
∫
.
(1.35)
ω
j
Для того чтобы существенно облегчить расчёт цепей переменного тока в комплексной форме, производят замену математических
операций 2-го рода (дифференцирование, интегрирование) операциями
1-го рода (умножение, деление).
Используя новейшие инженерные устройства в режиме compl,
можно избежать трудности при выполнении всех операций с комплексными числами непосредственно так же, как с обычными числами. Но обязат
ельно учитывается, что даже эти современные инженерные калькуляторы выполняют действия над комплексными числами
только в алгебраической форме
),( jbaZ +
а значит и результаты,
полученные после расчёта, выдают также в алгебраической форме.
Следовательно, необходимо из исходного комплексного числа, кото-
α
),(
рое задаётся в показательной форме
=jZeZ
после преобразований
получить его в алгебраической форме.
Главную роль в развитии теории электрических цепей переменного тока сыграл американский инженер Штейнметц, который
в 1910 – 1912 гг. предложил расчёт цепей переменного тока комплексным методом.
1.6. МОЩНОСТЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
В сложной электрической цепи, состоящей из разнородных элементов R, L, C, одновременно происходят следующие физические процессы:
а) необратимый процесс преобразования электрической энергии
в другие виды (тепловую, механическую и др.), который называется
активным;
18
б) обратимый процесс колебания энергии между переменным элек-
ϕ−ωω=
2
трическим полем конденсаторов
2
⎛
W и источником энергии, который называется реактивным.
⎜
м
⎜
⎝
⎞
Li
=
⎟
⎟
2
⎠
⎛
W
⎜
э
⎜
⎝
⎞
Сu
=
, магнитным полем катушек
⎟
⎟
2
⎠
В цепи создаётся обобщённый энергетический процесс при наложении друг на друга процесса преобразования и колебания энергии.
Пусть электрическая цепь носит активно-индуктивный характер и
может быть представлена простой схемой, состоящей из источника
ЭДС е и пассивных элементов R и L, включённых последовательно
(ри
с. 1.12).
Напряжение и ток на входе схемы, как функции времени, и их
комплексные изображения будут равны:
m
sin
m
0
j
UeUtUu =⇔ω=
; (1.36)
ϕ−
j
=⇔ϕ−ω=
IeItIi )sin( . (1.37)
Мгновенная мощность, как функция времени, состоит из двух
слагаемых:
=
Первое слагаемое
= )sin(sin)( ttIUuitp
cos
2
mm
)(
tp
1
IUIU
mmmm
2
IU
mm
2
характеризует процесс
0cos
>ϕ=
).()()2cos(
tptpt
+=ϕ−ω+ϕ= (1.38)
21
преобразования электрической энергии в другие виды (активный про-
цесс). Второе слагаемое
)(
tp
2
mm
2
изменяется по перио-
)2cos(
ϕ−ω= t
IU
дическому закону с частотой 2ω и характеризует процесс обмена энер-
гией между магнитным полем приёмника и источником энергии (реактивный процесс).
i R L
e u
Рис. 1.12
19
Активная мощность P – это количество энергии, которая преоб-
ϕ
разуется в приёмнике в другие виды в единицу времени. Математически активная мощность может быть получена как среднее значение
мгновенной мощности за период
T
1
PP
cp
IU
mm
)(
T
2
T
1
dttp
T
.coscos
ϕ=ϕ= UI
IU
mm
cos
2
T
IU
1
dt
T
mm
∫∫∫
2
000
=ϕ−ω−ϕ===
dtt
)2cos(
(1.39)
Реактивная мощность Q характеризует интенсивность обмена
энергией между магнитным полем приёмника и источником и определяется по формуле
2
sin
2
LI
LIUIQ
m
2
(1.40)
.
ω=ω=ω=ϕ= W
max
Реактивная мощность индуктивного характера (ϕ > 0) положи-
тельна, а ёмкостного характера (ϕ < 0) – отрицательна. Противо-
положность знаков указывает на тот факт, что колебания энергии
в разнородных элементах совершаются в противофазе.
В технике используется понятие полной мощности S, которая
не имеет физического смысла и определяется по формуле
.22QPUIS +== (1.41)
Мощности S, P, Q образуют прямоугольный треугольник, кото-
рый называется треугольником мощностей (рис. 1.13).
Хотя физическая размерность мощностей S, P, Q одинакова,
а именно [B⋅A], для каждой из них на практике применяется своя единица измерения: для активной мощности P − ватт [Вт], для реактивной
мощности Q − вольт-ампер реактивный [вар], для по
лной мощности S −
вольт-ампер [B⋅A].
S Q
Р
Рис. 1.13
20