Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Установившиеся и переходные режимы работы электрических цепей. Учебное пособие.pdf
4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
4.1. ПОНЯТИЕ О ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ
Переходным процессом называется процесс изменения режима
работы электрической цепи, возникающий в результате изменений
внутри самой системы или внешних воздействий на неё.
Переходные процессы вызываются коммутациями в цепи или
авариями (КЗ, внезапное отключение питания).
Коммутация – это изменение параметров или схемы цепи, например замыкание или размыкание ключей в схеме или быстрые
вариации параметров по сравнению со скоростью изменения токов и
напряжений в цепи.
Изучение переходных процессов позволяет: выявить возможные
опасные режимы работы цепи, в том числе превышения напряжения
на отдельных участках цепи, которые опасны для изоляции; возможные увеличения амплитуд токов; установить, как меняются по форме
и амплитуде сигналы при прохождении их через трансформаторы,
а также устройства управления и распределения электрической энергии, радиотехнические устройства, например усилители, фильтры и др.
Конечность времени перехода электрической цепи от одного установившегося режима работы к другому объясняется тем, что каждому состоянию цепи соответствует определённый запас энергии электрических и магнитных полей. Переход к новому режиму связан с нарастанием или убыванием энергии этих полей.
Энергия, запасённая в магнитном поле индуктивности L:
Энергия, запасённая в электрическом поле ёмкости C:
Энергии
W и CW не могут изменяться мгновенно, скачком, так
как при этом мощность, равная производной энергии по времени, достигала бы бесконечных значений, что физически невозможно, т.е.
dW
dt
И ИХ ОСОБЕННОСТЯХ
L
CW =
C
L
di
LL
L
dt
dW
∞≠⇒∞≠
; ∞≠⇒∞≠
2
i
L
LW =
.
(4.1)
2
2
u
C
.
(4.2)
2
du
CC
dt
C
dt
. (4.3)
71
Из сказанного следуют законы коммутации:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1. Ток через катушку индуктивности не может изменяться скач-
ком. Его значение до коммутации )0(
венно после коммутации )0(
i :
i равно значению непосредст-
−L
+L
)0()0(
ii . (4.4)
+−
LL
Момент времени t = 0 – момент коммутации.
2. Напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком.
Его значение до коммутации равно значению непосредственно после
коммутации:
)0()0(
uu . (4.5)
+−
CC
При этом следует отметить, что токи в резисторах и конденсаторах, а также напряжения на резисторах и катушках индуктивности могут изменяться скачком.
Значения тока в катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе в момент коммутации (t = 0) называются независимыми началь-
ными условиями.
При нулевых независимых начальных условиях, т.е. когда
i и 0)0(
−L
0)0(
u , (4.6)
−С
действие катушки в начальный момент после коммутации равносильно
разрыву в цепи:
ii , (4.7)
0)0()0( =
+− LL
а действие конденсатора равносильно короткому замыканию:
uu . (4.8)
В случае ненулевых независимых начальных условий, т.е. когда
ii ; (4.9)
uu , (4.10)
0)0()0( =
+− CC
0)0()0( ≠
+− LL
0)0()0( ≠
+− CC
катушка в начальный момент после коммутации равносильна источнику тока )0(
i , а конденсатор равносилен источнику ЭДС )0(+Cu .
+L
Значения остальных токов и напряжений при
0t в схеме после
+
коммутации называются зависимыми начальными условиями и опреде-
ляются из правил Кирхгофа по независимым начальным условиям.
72
4.2. ОСОБЕННОСТИ КЛАССИЧЕСКОГО
t
t
(
(
t
МЕТОДА РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Классический метод основан на использовании для расчёта переходных процессов обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа для
рассматриваемой цепи.
Дифференциальное уравнение – это уравнение относительно иско-
мой переменной и её производных:
n
d
⎡
()
ty
⎢
⎣
()
где
tx – искомая переменная, представляющая собой решение диф-
n
() () ()
txd
n
d
m
()
tyd
m
dt
ференциального уравнения;
1
−
txd
...
−
n
1
1
m
−
() ()
1
−
m
dt
)
ty – вынуждающая переменная, опреде-
tdx
()
=++++
tx
dt
tyd
dt
tdy
⎤
()
++++=
,...
ty
(4.11)
⎥
⎦
ляемая наличием в цепи источников электрической энергии. В общем
случае правая часть может также содержать производные от у.
Первым этапом классического метода расчёта переходных процессов является составление дифференциального уравнения для искомой переменной электрической цепи на основе правил Кирхгофа при
мгновенных значениях токов и напряжений. Дифференциальное уравнение составляется для схемы после коммутации.
Например, на основании второго правила Кирхгофа имеем
)
tdi
L =++
dt
1
() () ()
tRi
∫
C
tudtti
. (4.12)
Если в полученном уравнении выразить ток через напряжение на
конденсаторе:
du
C
Ci
= , (4.13)
dt
то получим следующее дифференциальное уравнение относительно
напряжения на конденсаторе:
2
() ()
LC
tut
2
d
RC
tdu
CC
dt
() ()
=++
C
tutu
. (4.14)
Вторым этапом классического метода является нахождение решения дифференциального уравнения, которое представляет собой
сумму частного и общего решений.
73
Частное решение находят для установившегося режима, когда
+
=
(
(
()(
)
(
)
переходный процесс в электрической цепи закончен. При этом искомый ток (напряжение) определяют одним из рассмотренных ранее методов расчёта цепей постоянного или переменного тока в зависимости
от вида входного сигнала – постоянного или переменного (тоже получается из дифференциального уравнения, в котором производные по
переменной величине приравнены к нулю для постоянного тока или
заменены соответствующим образом для переменного тока).
Токи или напряжения, полученные в результате частного решения дифференциального уравнения, для установившегося режима называют установившимися, или принуждёнными, и обозначают
или
,
i
пр
.
u
пр
,
i
u
y
y
Общее решение дифференциального уравнения соответствует
свободному режиму работы электрической цепи, т.е. режиму работы
цепи при отсутствии внешнего источника электрической энергии.
Найденные в результате общего решения однородного дифференциального уравнения токи и напряжения называют свободными
составляющими тока и напряжения переходного процесса (поскольку
они не зависят от источников питания) и обозначают )(
Искомый ток и напряжение имеют вид:
)()()(
tititi
; (4.15)
прсв
. (4.16)
)()()(
tututu +=
прсв
ti , )(свtu .
св
Таким образом, искомые параметры представляют собой сумму
общего и частного решений дифференциального уравнения.
4.3. ПОНЯТИЕ ОБ ОПЕРАТОРНОМ МЕТОДЕ АНАЛИЗА
Из основных свойств определённых интегралов вытекают следующие два следствия для изображений. Если известны изображения
нескольких функций:
то
т.е. изображение суммы функций равно сумме их изображений.
74
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
()
1
tf
)
≓
,1pF
∑
)
tf
≓
2
n
1
k
()
tf
2
n
≓
∑
1
tfpF
...,,
()
k
≓
n
,
pF (4.18)
,pF
n
(4.17)
При A = const
(
(
)
ω
t
ψ+ωψ=
ψ
[
[
)
tAf ≓
,pAF (4.19)
т.е. при умножении функции на постоянную величину изображение
функции должно быть умножено на эту величину.
Изображение постоянной величины
()
A ≓
∞
∫
0
dtAepF
∞
A
−−
e
p
A
ptpt
,
=−==
0
(4.20)
p
т.е. изображением постоянной является она сама, делённая на p.
Изображение показательной функции
at
e ≓
∞∞
()
∫∫
00
∞
tapapptat
−−−
)(
dtedteepF
−===
−
−−
)(
e
ap
11
.
=
0
ap
−
(4.21)
Из этого соотношения могут быть найдены изображения следующих функций:
1
at
−
e
≓ ,
tj
ω
sin ≓ ,
+ω cossinsincos)sin( ≓
sin
te ≓
cos
1
j
2
⎛
1
≓
⎜
2
⎝
1
2
1
⎛
≓
⎜
2
⎝
ap +
t
−=ω
ee
−
ω−+
eete
+=ω ≓
−
ω−+
at
e−−1 ≓
tjte
ω+ω=
sincos ≓
22
ω+ωp
)()(
ω−−ω+−−
jajatat
]
11
tjatjaat
)()(
ω−−ω+−−
]
11
a
app +
+
1
=
ω−
jp
ωcos ≓
=
p
−
ttt ω
⎞
=
⎟
ω++
japjapj
⎠
⎞
=
⎟
ω++
japjap
⎠
ω
ap
)(
+
ap
ap
)(
;
)(11app
jp
ω+
(4.23)
;
22
ω+
p
(4.24)
;
22
ω+p
p
sincos
22
ω+
p
;
(4.26)
22
ω++
(4.27)
.
22
ω++
(4.22)
ψ+ψω
(4.25)
;
75
В справочниках приведены изображения многих других функций.
<
⇔
=
Решение дифференциальных уравнений при расчёте переходных
процессов классическим методом связано с определёнными трудностями, которые возрастают по мере увеличения числа реактивных элементов в электрической цепи. К таким трудностям в первую очередь
относится определение постоянных интегрирования, поэтому широкое
распространение нашёл метод решения дифференциальных уравнений,
в основу которого положено двустороннее преобразование Лапласа.
Этот метод получил название «операторный» и был введён в электротехнику английским физиком и инженером О. Хевисайдом. Операционное исчисление при интегрировании дифференциальных уравнений
исходит из того, что для заданной функции )(tf , которую называют
оригиналом действительной переменной t (если при 0
t функция
равна нулю, а при 0>t она возрастает не быстрее показательной
функции), может быть получена новая функция F(p) переменной p,
которую называют изображением заданной функции )(tf . Соответст-
вие между оригиналом и его изображением записывается в виде
.)()( pFtf
(4.28)
В качестве функциональных преобразований при переходе от
оригинала к его изображению используют прямое преобразование
Лапласа
∞
−
=
pt
∫
0
(4.29)
,)()( dttfepF
где p – комплексный параметр преобразования Лапласа, имеющий
размерность частоты (с–1).
Однако обычно прямое преобразование Лапласа записывают в виде
,)]([)( tfLpF
(4.30)
где L – указатель преобразования Лапласа.
Изображение F(p) имеет размерность оригинала
ную на с
–1
.
)(tf , умножен-
Обратное преобразование Лапласа осуществляется по формулам,
приведённым в табл. 4.1.
В этом случае оригинал имеет размерность изображения F(p),
умноженную на 1 с. Смысл и преимущества операторного метода следуют из алгоритма анализа электрической цепи операторным методом.
Переход от оригинала к изображению и обратно позволяет избежать сложных расчётов, связанных с решением интегродифференциальных уравнений. Этот переход можно осуществить с помощью
специальных таблиц соответствия (табл. 4.1).
76
4.1. Таблица соответствия оригиналов и изображений
±
+
+
+
+
+
+
+
ψ+ω
ω
t
ω
)(tf
)( pF
)(1 t
teα±
t
α−
ae
/)1(
−
atbt
−−
btat−−−−
t
α−
tωωα−
sin)/1(
α−
t
ω+α
−
atte−
at+−−
)/()( abaebe
−−
atbt
−−
)/()( abee
ωωα−ω
te
22
)(
)1( ateat−
/)1()/1( aatea
)/()]/()/[()/1( abaebeab
−−−
]sin)/([cos tte
])/[(
tte
]sin)/((cos1[
ωωα+ω−
22
pA /
)/(1 ap
pap )/(1
)])(/[( bpapp
)])((/[1 bpapp
)])(/[(1 bpap
22
ω++ app
22
])/[(1
ω++ ap
22
pp ])/[(1
ω+α+
2
)/( app +
2
)/(1 ap +
2
)(/1 app +
)/(
)/(
sin)(cos
22
ω+ψω+ψ pp
22
ω+α+α+ pp
ψα+±ψω
22
)/()cossin(
])/[()(
77
)sin(
t
t
sin
cos
tωα−
α−tet
cos
te
)sin( ψ±ω
p
22
ω+ω p
22
ω+pp
p
)(
ω+α+
4.4. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
=
′
′
ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ
Данный анализ проводят в следующей последовательности.
1. Представляют исходную схему замещения электрической цепи
в операторной форме, на которой указаны условно-положительные
направления токов и напряжений.
При нулевых начальных условиях появляются внутренние источники ЭДС: )0(
L и pu
i
/)0( , которые должны быть учтены при перехо-
C
де к схеме замещения в операторной форме. При этом направление ЭДС
источника )0(
тока, а направление ЭДС источника pu
L совпадает с условно-положительным направлением
i
/)0( противоположно ему.
C
2. Рассчитывают переходный ток (напряжение) в операторной
форме, применяя любой метод, рассмотренный для постоянного тока.
При этом изображение может быть представлено в общем виде
)()()(
pFpFpF
. (4.31)
21
Эта формула справедлива в случае, когда степень числителя
меньше степени знаменателя, а корни полинома )(
равны корням полинома )(
pF .
1
pF различны и не
2
3. По найденному изображению переходного тока (напряжения)
определяют оригинал из формулы разложения
pF
n
tfpF
)()(
=→
∑
=
k
)(
t
1
k
e
, (4.32)
1
k
′
pF
)(
2
k
где k – номер корня характеристического уравнения; n – число корней.
Число слагаемых формулы (4.32) равно числу корней характеристического уравнения. При этом данная формула справедлива как для
действительных, так и комплексных корней.
4.5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ
С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ
СОПРОТИВЛЕНИЯ И ИНДУКТИВНОСТИ
4.5.1. Короткое замыкание цепи
При коротком замыкании цепи с последовательным соединением
r и L (рис. 4.1, а) уравнение переходного тока i, равного в этом случае
свободному току
78
, имеет вид
i
di
r
=
=
Характеристическое уравнение
r
имеет корень
p −=
, тогда
L
L
dt
p
′′
= (4.35)
0=+ ri
. (4.33)
(4.34)
0=+ rL
r
t
−
pt
L
.
AeAeii
==
Если до момента замыкания по цепи шёл постоянный ток
U
0
I
= , где U
0
– постоянное напряжение цепи (рис. 4.1, б), это значе-
0
ние тока сохранится и для первого мгновения после замыкания цепи,
откуда определяется постоянная интегрирования:
.)0(
AIi
(4.36)
0
Следовательно,
r
t
L
.
eIi−=
(4.37)
0
б) а)
Рис. 4.1
79
Это выражение изображается затухающей кривой – экспонентой,
r
τ
τ
ордината которой при е = 0 равна
чем больше коэффициент затухания
L
=τ
личина
, имеющая размерность времени и называемая постоян-
I , Уменьшение тока i происходит,
0
r
или чем меньше обратная ве-
L
ной времени. По истечении времени τ с любого момента времени t
переходной ток:
r
t
r
r
)(
t
τ+−
)( , (4.38)
L
0
r
⎛
t
+−
⎜
L
L
⎝
eIeIti
0
−
⎞
⎟
⎠
L
eI
0
===τ+
e
т.е. в е = 2,718 … раз меньше своего первоначального значения.
Так как
i
di
−=
или
τ
dt
i
,
−=τ
(4.39)
di
dt
постоянная времени равна длине подкасательной в любой точке кривой i (см. рис. 4.1, б). За время, равное 4,6τ, переходный ток затухает
−
до значения
0,1
01,0 IeI ≈
. Так как переходный ток при коротком
0
0
замыкании равен свободному току и для других переходных процессов
в этой цепи, для большинства инженерных задач можно считать, что
переходный процесс за время
5...4 практически заканчивается.
Постоянная времени цепей обычно невелика; для катушек без ферромагнитных сердечников она составляет десятые доли секунды.
В короткозамкнутой цепи появляется ЭДС самоиндукции, поддерживающая ток:
di
Le
L
dt
LI
⎛
−−=−=
⎜
⎝
r
t
r
⎞
L
⎟
L
⎠
r
t
−−
L
.
eUe
=
(4.40)
00
Эта ЭДС возникает при коротком замыкании цепи скачкообразно,
принимая значение U
при t = 0 (см. рис. 4.1, б).
0
Энергия, расходуемая на нагрев сопротивления r цепи за время
переходного процесса:
∞
2
0
r
2
t
−
∞
2
0
∫∫
0
1
L
2
===
, (4.41)
LIdterIdtriW
0
2
равна энергии, запасённой в индуктивности до замыкания цепи.
80