Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Учебное пособие-1.pdf
Вариант 21.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
=
;
=
(
2
)
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а) 2+ 6
= 0;
+ 4
= 0.
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 2,
(
, 0
)
= 0.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
.
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0
)
=
,
(
, 0)= ,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
= + cos
(, 0)= 0,
(
, 0)= cos
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= , (,
)
= 2.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 5, удовлетворяющее граничным условиям: (1, )= 3sin3, (5,
)
= 1.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 3, 0 < < 4, (,
)
= 2,
(0, )= 2, (3, )= 2+ 4,
(, 0)= 2, (, 4)= 2
.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
8, < 2.
71
б)
б)
начальных условиях:
Начальные скорости отсут-
и граничным условиям
нужденной силы
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= 4. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= +
На концах стержня температура задана следующим образом:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
.
Вариант 22.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= + 4;
= 0.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а) + 43
= 0;
+ 2
= 0.
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 0,
(
, 0)= sin2.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
.
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= ,
(
, 0)= ,
(
0,
)
= 0,
(
3, )= 0, 0 < < 3.
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 16,
(
, 0)= 16cos
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= 0, (, )= 2+ 4.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 2, удовлетворяющее граничным условиям: (1, )= 3cos2, (2,
)
= 2.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 3, (,
)
= 1,
(0, )= , (2, )=
+ 4,
(, 0)= 2, (, 3
)
= 2.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
2, 0 ,
5, < 2.
72
б)
б)
начальных условиях:
Начальные скорости отсут-
и граничным условиям
нужденной силы
= 16+ 16
стержня была распределена следующим образом: (,
, если в начальный момент времени температура внутри
)
= 1. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
концах стержня температура задана следующим образом:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
=
. На
Вариант 23.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= cos
(
)
;
= 2
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а) + +
= 0;
б) + 4= 0.
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 3,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
.
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= 2,
(
, 0)=
,
(
1,
)
= 0,
(
2, )= 0, 1 < < 2.
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 1,
(
, 0
)
= 0
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= 2, (,
)
= 0.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 3 < < 5, удо-
(3, )= 3sinsin2
(5,
)
= 5.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 3, (,
)
= 2,
(0, )= 2sin, (2,
)
= 0,
(, 0)= 2, (, 3
)
= 0.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
2, 0
,
4,
<
.
73
б)
начальных условиях:
и граничным условиям
Начальные скорости отсут-
нужденной силы
= + 4
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
)
=
+ .
На концах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
, если в начальный момент времени температура внутри
)
стержня была распределена следующим образом: (,
=
. На
концах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
,
Вариант 24.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= 4+;
=
(
28
)
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а) 2+ 3+ = 0;
б) + 23
= 0.
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= cos2,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0)=
.
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= ,
(
, 0
)
= 0,
(
0,
)
= 0,
(
1, )= 0, 0 < < 1.
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 2,
(
, 0
)
= 1
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= , (, )= 2.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 2, удо-
(1, )= sin2
(2,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 3, (,
)
= 1,
(0, )= + 5, (2,
)
= 2,
(, 0)= 0, (, 3
)
= 5.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0
,
1,
< .
74
б)
начальных условиях:
Начальные скорости отсут-
и граничным условиям
нужденной силы
= + sin
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= 2. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
стержня была распределена следующим образом: (, )=
На ко
, если в начальный момент времени температура внутри
+ 2.
нцах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпе-
ратуры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
,
Вариант 25.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= sin
;
=
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а) + 43
= 0;
+ 2
= 0.
3.
Найти решение волнового уравнения
= 4
при заданных
начальных условиях: (, 0)= sin,
(
, 0)= cos.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
.
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= 0,
(
, 0)=
,
(
0,
)
= 0,
(
2, )= 0, 0 < < 2.
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 2,
(
, 0)= 3+ 3
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= , (, )= .
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 3 < < 7, удовле-
творяющее граничным условиям: (3, )= 7cos2, (7,
)
= 1.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 5, (,
)
= 7,
(0, )= 7, (2, )= 2,
(, 0)= , (, 5
)
= 7.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0
,
2,
< 2.
75
б)
б)
начальных условиях:
Начальные скорости отсут-
и граничным условиям
нужденной силы
= 25+ 25 cos
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= 3. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )=
На ко
нцах стержня температура задана следующим образом:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпе-
ратуры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
.
Тестовые задания для самоконтроля:
1.
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
y
z
x
z
zyxF
yx
z
,,,,
2
нением…
1) параболического типа
3) гиперболического типа
2) эллиптического типа
4) нормального типа
2.
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
z
x
z
zyxF
y
z
,,,,
2
2
нением…
1) параболического типа
2) эллиптического типа
3) гиперболического типа
4) нормального типа
3.
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
y
z
x
z
zyxF
y
z
x
z
,,,,
2
2
2
2
уравнением
1) параболического типа
2) эллиптического типа
3) гиперболического типа
4) нормального типа
4.
Уравнение
0)(2)(
22
=+− dxcbdxdydya
называется уравнением…
1) переноса
2) теплопроводности
3) волновым
4) характеристик
5.
Граничными называются условия, заданные…
1) на поверхности тела
3) в начальный момент вре-
4) на границе среды
6.
Уравнение
fUUU
zzyyxx
=++
является уравнением …
1) теплопроводности
2) Пуассона
3) волновым
4) неклассическим
7.
Тип уравнения
22
53 yxUUU
yyxxt
+=+−
1) гиперболический
2) смешанный
3) эллиптический
4) параболический
8.
UaU
tt
∆=
2
( )
xU
tϕ==0
|
1) краевой задачей
2) задачей Коши
3) начально-краевой задачей
4) задачей Дирихле
9.
( )
yxfUaU
xxtt
;+=
2
1) волновым
2) Лапласа
3) теплопроводности
4) диффузии
10.
Уравнение теплопроводности для однородного стержня без тепловых
источников имеет вид:
2
2
2
2
2
y
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
0
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
x
u
t
u
76
Уравнение
Уравнение
Уравнение
называется каноническим урав-
называется каноническим рав-
называется каноническим
2) дополнительно
Задача
Уравнение
,
мени
является …
является уравнением …
1)
3)
2)
2
2
2
y
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
11.
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
a
t
u
1) параболический
2) гиперболический
3) эллиптический
4) неоднородный
12.
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u
y
u
x
u
1) гиперболический
2) параболический
3) стационарный
4) эллиптический
13.
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
1) гидродинамики
2) колебаний струны
3) распространения тепла
4) диффузии
14.
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
1) колебаний стержня
3) диффузии
газа
15.
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u
y
u
x
u
1) крутильных колебаний
2) электрических колебаний
3) фильтрации жидкости и газа
4) стационарные тепловые
16.
Тип уравнения
xy
yyxxtt
eUUU =−− 32
1) параболический
2) смешанный
3) гиперболический
4) эллиптический
17.
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
c
t
u
1) теплопроводности
2) волновым
3) Лапласа
4) Пуассона
18.
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
c
t
u
1) волновым
2) Лапласа
3) теплопроводности
4) Пуассона
77
4)
Тип уравнения
Тип уравнения
Уравнение
Уравнение
2) гидродинамики
описывает процессы…
описывает процессы…
4) фильтрации жидкости и
Уравнение
Уравнение
Уравнение
описывает процессы
является уравнением…
является уравнением…
19.
Уравнение
),,( zyxf
z
u
y
u
x
u
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
1) Пуассона
2) волновым
3) теплопроводности
4) Лапласа
20.
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u
y
u
x
u
1) волновым
2) Лапласа
3) теплопроводности
4) Пуассона
21.
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
y
u
y
x
u
x
1) гиперболического типа
2) параболического типа
3) эллиптического типа
4) нормального типа
22.
02
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
−⋅
∂
∂
y
z
y
yx
z
xyx
x
z
sinsin
уравнением…
1) нормального типа
2) эллиптического типа
3) гиперболического типа
4) параболического типа
23.
022
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂
∂
y
z
yx
z
x
z
1) нормального типа
2) параболического типа
3) эллиптического типа
4) гиперболического типа
24.
Уравнение второго порядка в частных производных принадлежит к
гиперболическому типу, если…
02>− bac
2)
02>+ acb
02>− acb
4)
042>− acb
25.
Уравнение второго порядка в частных производных принадлежит к
параболическому типу, если…
0
2
=− acb
2)
02>− bac
02>− acb
4)
02>+ acb
26.
Уравнение второго порядка в частных производных принадлежит к
эллиптическому типу, если…
02>− acb
2)
02>+ acb
042>− acb
4)
0
2
>− bac
27.
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
y
z
x
z
zyxF
yx
z
,,,,
2
нением…
1) гиперболического типа
2) параболического типа
3) эллиптического типа
4) нормального типа
78
является уравнением…
Уравнение
Уравнение
Уравнение
Уравнение
является уравнением…
является уравнением…
является
является уравнением…
1)
1)
1)
Уравнение
3)
3)
3)
называется каноническим рав-
28.
Уравнение
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
z
x
z
zyxF
y
z
,,,,
2
2
нением…
1) эллиптического типа
2) параболического типа
3) гиперболического типа
4) нормального типа
29.
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
y
z
x
z
zyxF
y
z
x
z
,,,,
2
2
2
2
уравнением
1) параболического типа
2) нормального типа
3) гиперболического типа
4) эллиптического типа
30.
Тип уравнения
022 =+++
xyyxyxx
uuuu
1) параболический
2) гиперболический
3) эллиптический
4) общий
31.
( )
yxfUaU
xxtt
;+=
2
1) Лапласа
2) теплопроводности
3) волновым
4) диффузии
32.
Уравнение
fUUU
zzyyxx
=++
является уравнением …
1) Пуассона
2) теплопроводности
3) волновым
4) неклассическим
33.
Тип уравнения
22
53 yxUUU
+=+−
1) гиперболический
2) параболический
3) смешанный
4) эллиптический
34.
Тип уравнения
xy
yyxxtt
eUUU =−− 32
1) гиперболический
2) параболический
3) смешанный
4) эллиптический
35.
Уравнение второго порядка в частных производных принадлежит к
гиперболическому типу, если…
02>− bac
2)
02>− acb
02>+ acb
4)
042>− acb
36.
Уравнение второго порядка в частных производных принадлежит к
параболическому типу, если…
0
2
>− bac
2)
02>− acb
02>+ acb
4)
0
2
=− acb
37.
Уравнение второго порядка в частных производных принадлежит к
эллиптическому типу, если…
02>− bac
2)
0
2
>− acb
02>+ acb
4)
042>− acb
79
называется каноническим рав-
Уравнение
Уравнение
называется каноническим
является уравнением …
1)
1)
1)
3)
3)
3)
38.
Уравнение
0
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
y
u
y
x
u
x
1) параболического типа
2) эллиптического типа
3) гиперболического типа
4) нормального типа
39.
Под струной в математической физике понимается…
1) натянутая цепь
3) натянутый трос
свободно изгибаться
40.
UaU
tt
∆=
2
( )
xU
t
ϕ=
=0
|
( ) ( )
ttU ψ=0,
1) начально-краевой задачей
2) неклассической задачей
3) задачей Коши
4) краевой задачей
80
является уравнением…
2) тонкий упругий стержень
Задача
,
4) тонкая нить, которая может
,
является …
Темы для самостоятельного изучения:
1. Уравнения продольных колебаний стержней и струн.
2. Методы решения неоднородного волнового уравнения.
3. Уравнения электрических колебаний в проводах (телеграфное урав-
нение), поперечные колебания мембраны.
4. Уравнения и функции Бесселя. Колебания круглой мембраны.
5. Линейная задача о распространении тепла, уравнение диффузии;
распространение тепла в пространстве.
6. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его фи-
зический смысл.
7. Пространственные задачи теплопроводности.
8. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа: стационарное тепловое
поле, потенциальное течение жидкости, потенциал стационарного
тока и электрического тока.
9. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат.
10. Метод функций Грина.
11. Решение задачи Дирихле для шара и полупространства.
12. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости.
13. Метод Фурье для уравнения Лапласа: двумерное уравнение Лапласа
и задача Дирихле для круга.
14. Разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа в сфериче-
ских координатах, многочлены Лежандра.