Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Учебное пособие-1.pdf
Индивидуальные задания:
Вариант 1.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
=
(
4)
;
+ 2
= 0.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
0271532 =+−−−+ xuuuuu
yxyyxyxx
;
02 =−
xyxx
xuu
3.
Найти решение волнового уравнения
= 4
при заданных
начальных условиях: (, 0)= ,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= ,
(
, 0)=
,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= ,
(
, 0
)
= 2
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < < 2
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0,
)
=
, (,
)
= 2.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 2, удо-
(1, )= 3sinsin2
(2,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 3, (,
)
= 2,
(0, )= 2, (2, )= 2+ 4,
(, 0)= 2, (, 3)= 2+ 5.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
1, < 2.
51
а)
б)
.
начальных условиях:
нужденной силы
б)
Начальные скорости отсутствуют.
и граничным условиям
= 4+
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
)
=
. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )=
кон
цах стержня температура задана следующим образом:
. На
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
,
формулой
Вариант 2.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= 4
+ 4;
=
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
0992 =+++−
yxyyxyxx
uuuuu
;
( )
( )
02cossinsin3cos2
2
=−−+++−−
yxyyxyxx
uxxuuxxuu
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= ,
(
, 0
)
= 0.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
.
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= + 2,
(
, 0)= ,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 1,
(
, 0)=
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= + 1, (, )= .
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 3, удо-
(1, )= sin+ 2sin2
(3,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 4, (, )= , (0,
)
= 2,
(2, )= 25,
(, 0)= 2, (, 4)= 2+ 5.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 2,
5, < 4.
52
б)
б)
начальных условиях:
Начальные скорости отсут-
.
и граничным условиям
нужденной силы
= 9+
(
1
)
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= 1.
На концах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )=
концах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
. На
,
Вариант 3.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= 45;
= 2
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
04732 =++++
yxyyxyxx
uuuuu
;
( )
0cossincossin2
22
=+−−+
yyyxyxx
xuuxxxuu
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= ,
(
, 0)= sin.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0)= + .
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0
)
=
,
(
, 0
)
=
,
(
0,
)
= 0,
(
2, )= 0, 0 < < 2.
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
= + sincos
(, 0)= 1,
(
, 0)=
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= + 1, (,
)
= 3.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 2, удо-
(1, )= sin+ 4sin2
(2,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 1, 0 < < 3, (,
)
= 2,
(0, )= 2+ 1,
(1, )= 2+ 4, (, 0)= , (, 3)= + 4.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
4, < 2.
53
б)
б)
начальных условиях:
Начальные скорости отсут-
.
и граничным условиям
нужденной силы
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )=
. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
концах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
=
. На
,
Вариант 4.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= 2+ 4
= 2
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
03252 =−++
yyyxyxx
uuuu
;
08
2222
=++−−
−−−− y
y
y
x
x
yy
y
xx
x
eueueueue
3.
Найти решение волнового уравнения
= 4
при заданных
начальных условиях: (, 0)= sin,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
.
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0
)
=
,
(
, 0
)
=
,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
=
+
(
+ 1)
(, 0)= 2,
(
, 0)=
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= , (,
)
= 0.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 5, удо-
(1, )= 3sinsin2
(5,
)
= 4.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 3, (,
)
= 4,
(0, )= 4, (2, )= 4+ 4,
(, 0)= 2, (, 3)= 4+ 5.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
6, < 2.
54
; б)
б)
начальных условиях:
Начальные скорости отсут-
.
и граничным условиям
нужденной силы
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
)
=
. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= (1
На концах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
.
,
Вариант 5.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= 2 + 4
= 4
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
04
2
=−++++ yxuuuuu
yxyyxyxx
( )
( )
02
1
2
124
2
22
=−
+
−−−+
yxyyxyxx
uu
y
y
uuyuy
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 1,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
(
+
)
.
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= sin,
(
, 0)= ,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
= 9+ sin2cos
(, 0)= 3,
(
, 0
)
= 2
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(, )= .
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(, )= .
(0, )= , (, )= .
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 2 < < 4, удо-
(2, )= 3sin+ 3sin2
(4,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 3, (,
)
= 5,
(0,
)
= 2,
(2, )= 24,
(, 0)= , (, 3)= 25.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0
,
1,
< .
55
; б)
а)
б)
начальных условиях:
;
.
Начальные скорости отсут-
и граничным условиям
нужденной силы
стержня была распределена следующим образом:
, если в начальный момент времени температура внутри
На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом:
концах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
На
,
Вариант 6.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
=
(
)
;
= 0.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
02151069 =−+−++− yxuuuuu
yxyyxyxx
;
02
22
=−++
+
xuueueue
yy
y
xy
yx
xx
x
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= ,
(
, 0)= .
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
(
+ 3
)
.
сутствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным услови-
(, 0
)
=
,
(
, 0
)
= 5,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 4,
(
, 0)= 1
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= 1, (, )= sin.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 2, удо-
(1, )= 3coscos2
(2,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 3, (,
)
= 3,
(0, )= , (2, )= 2
,
(, 0)= 2+ 1, (, 3
)
= 5.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
, < 2.
56
б)
б)
начальных условиях:
ям
и граничным условиям
.
Начальные скорости от-
нужденной силы
= 4+ cossin
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= + .
На концах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= 2. На
концах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
,
Вариант 7.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= +
;
4
= 0;
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
( )
024224102 =+++−++ yxuuuuu
yxyyxyxx
;
0coscossin2
2
=−−−
yyyxyxx
uxuxxuu
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 1,
(
, 0
)
= 2.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0)= .
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= 3,
(
, 0
)
= 0,
(
2,
)
= 0,
(
3, )= 0, 2 < < 3.
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 2,
(
, 0
)
= 4
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= 4, (, )= .
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 4, удо-
влетворяющее граничным условиям: (1, )= 3sin, (4,
)
= 2.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 3, (,
)
= 1,
(0, )= , (2, )= 2
+ 4,
(, 0)= 2, (, 3)= 3.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
6, < 2.
57
б)
б)
начальных условиях:
.
Начальные скорости отсут-
и граничным условиям
нужденной силы
= 16+
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )=
. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (, )=
концах стержня температура задана следующим образом:
На
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
.
Вариант 8.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
=
;
4
= 0.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
( )
09243134 =++++++ yxuuuuu
yxyyxyxx
;
022
22
=−++
xyyxyxx
uyuyxyuux
3.
Найти решение волнового уравнения
= 9
при заданных
начальных условиях: (, 0)= cos,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0)= .
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= ,
(
, 0)= ,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 2,
(
, 0
)
= 4
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= cos, (,
)
= 1.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 2, удовле-
творяющее граничным условиям: (1, )= 3sin2, (2,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 1, 0 < < 2, (,
)
= 2,
(0, )= 2 , (1,
)
=
2 4, (, 0)= 2, (, 2
)
= 3.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
, < 2.
58
б)
б)
начальных условиях:
.
Начальные скорости отсут-
и граничным условиям
нужденной силы
= 64+
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (,
)
=
На концах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
.
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (,
На концах стержня температура задана следующим образом:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
= 2.
Вариант 9.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
=
;
+ 2
= 0.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
0354 =+−+−
yxyyxyxx
uuuuu
;
( ) ( )
011
22
=+++++
yxyyxx
yuuxuyux
3.
Найти решение волнового уравнения
= 4
при заданных
начальных условиях: (, 0)= ,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
начальных условиях: (, 0)= 2. Начальные скорости отсутствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= 1,
(
, 0)= + 2,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 2,
(
, 0)= cos
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= 0, (, )= 2.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 2, удовле-
творяющее граничным условиям: (1, )= 3sin3, (2,
)
= 1.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 1, 0 < < 3, (,
)
= 2,
(0, )= 4, (1, )=
,
(, 0
)
=
, (, 3
)
= 0
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
3, < 2.
59
б)
б)
.
и граничным условиям
нужденной силы
= + sin
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (,
)
=
На концах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
.
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (,
На концах стержня температура задана следующим образом:
.
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
=
.
Вариант 10.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
=
;
)
4
= 0.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
0296 =+−+−
yxyyxyxx
uuuuu
;
( ) ( )
0121
2
2
2
=+−+−
yyyxx
uyyuyu
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= ,
(
, 0
)
= 1.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= + ,
(
, 0)= ,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
1
(, 0)= ,
(
, 0)= ,
(0, )= 0, (,
)
= 0.
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < < 1
(0, )= , (1,
)
= 4.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 4, удо-
(1, )= 3sinsin3
(4,
)
= 4.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 3, 0 < < 3, (,
)
= 1,
(0, )= 4, (2, )= 2,
(, 0)= 2, (, 3)= 2
+ 5.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
3, < 2.
60
б)
начальных условиях:
.
Начальные скорости отсутствуют.
и граничным условиям
нужденной силы
=
+
4
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )=
На ко
нцах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
.
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (, )= .
На концах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
,