Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Учебное пособие-1.pdf
+
31
Учитывая формулы, полученные первым и вторым способом, имеем
Обозначив
cos+
=
и учитывая, что
cos, получим
=
.
= grad
=
cos+
Приме
=
ним к правой части данного выражения формулу Остроград-
cos+
cos+
cos
.
ского-Гаусса
=
=
+
+
+
+
+
+
= 0
.
Если телом будет являться однородный стержень, рассматриваемый
вдоль оси Ох, то уравнение теплопроводности примет вид:
=
Расс
мотрим некоторые краевые задачи для уравнения теплопровод-
. (8)
ности:
1. Пусть в начальный момент времени при = 0 распределение тем-
пературы по всей длине стержня 0 < < задано функцией
(, 0)= (
вестна температура (0, )=
)
, а на концах стержня в любой момент времени из-
, (, )=
.
Для решения поставленной задачи применим метод разделения пере-
менных, т.е. метод Фурье. Для этого искомую функцию представим в виде:
(, )= ()(
)
.
Вначале рассмотрим нулевые граничные условия:
(0, )= (,
)
= 0.
Подставим искомую функцию в уравнение теплопроводности (8):
()
()
=
()()
.
Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем
()
(
()
=
)
.
)
(
Пусть
()
(
(
()
=
)
=
)
;
.
Рассмотрим первое уравнение системы:
32
()
+
(
)
= 0.
Это уравнение с разделяющимися переменными первого порядка,
разделим переменные:
=
)
(
= (
= ln|()|= + ln
()=
)
;
Теперь рассмотрим второе уравнение системы:
()
+
(
)
= 0.
Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго по-
рядка. Составим для него характеристическое:
+ = 0 = ±.
Тогд
а общее решение линейного уравнения будет иметь вид:
.
()=
След
овательно, решение исходного уравнения примет вид:
(, )=
Неиз
вестные параметры найдем, используя краевые условия:
(0, )=
(, )=
Если = 0, то (,
стимо, следовательно,
)
0. А значит,
cos+ sin.
(
cos+ sin
)
.
= 0 0 (> 0
sin.
)
;
= 0, но так как тривиальное решение недопу-
= 0 = , = 1,2, …
sin
=
, = 1,2, …
Тогда решение уравнения (8) будет иметь вид:
(, )=
sin
, = 1,2, …
Для нахождения общего решения уравнения, просуммируем по всем n:
где =
Коэффициент
(,
.
)
определим, используя начальные условия:
(, 0
=
=
)
sin
sin
= (
,
)
.
Данное выражение представляет из себя разложение в ряд Фурье не-
четной функции (
)
, определённой на промежутке
2
=
(
)
sin
, = 1,2, …
– ,
, поэтому
Теперь рассмотрим решение поставленной краевой задачи с ненуле-
33
выми граничными условиями (0, )=
Искомое решение представим в виде:
, (, )=
.
где
функция
(
условию, а также
,
)
удовл
(
)
0,
(
(, )=
, )+ (
етворяет исходному уравнению, начальному
(
=
)
,
= 0, а
функция (
)
,
онарной температурой, удовлетворяет уравнению
граничным условиям
Для р
ешения уравнения
(0)
=
, ()=
= 0 проинтегрируем его два раза по пе-
.
ременной х:
= = + ,
где а и b – по
стоянные интегрирования. Найдем их, используя граничные
условия:
(0)
(
)
=
+
= =
= =
=
;
Тогда
=
+ , 0 < < .
С учетом полученного вида функции w, общее решение исходного
уравнения примет вид:
(, )=
+
+
где
2
=
(
)
sin
, = 1,2, …
Пример. Найти решение уравнения
=
, 0 < < ,
удовлетворяющее начальным условиям
)
, называемая стаци-
= 0 и ненулевым
.
,
sin
(, 0
)
2, 0 < 1,
=
2 , 1 < 2
и краевым условиям (0, )= (2,
Решение. Решение данного уравнения будем искать в виде
(, )=
+
+
Найдем коэффициенты разложения функции (
2
=
(
2
)
sin
2
)
= 0.
= 2sin
sin
)
в ряд Фурье:
+
2
.
34
+ (2
)
sin
.
2
Каждый из интегралов вычислим методом интегрирования по частям.
2
sin
(2
)
sin
=
2
=
2
4
=
=
2
(
2
=
=
cos
4
2
=
= sin
cos
4
=
)
cos
cos
2
= 2
2
+
4
8
cos
8
cos
2
2
2
+
+
= 2
= sin
2
2
4
sin
4
+
2
cos
2
=
2
sin
2
in
=
2
cos
2
sin
2
= 2
2
.
2
=
2
=
.
cos
=
=
2
cos
=
2
2
=
=
Учитывая, что =
(,
)
=
Пример. Найти решение уравнения
удовл
етворяющее начальным условиям (, 0)= 1 и краевым услови-
ям (, 0)= 3, (,
Решение. Искомая функция будет иметь вид:
(, )=
=
2
)
= 4.
+
+
12
sin
2
2
(
sin
.
)
sin
2
= 0, окончательно получаем общее решение:
cos
2
= 2
2
12
+
, 0 < < , > 0,
+
2
.
.
Найдем коэффициенты разложения:
35
2
=
(1
)
2
=
sin
(
1
)
cos
=
=
(
2
1
)
(1)
=
2
(
1 )(1
)
Учитывая граничные условия, общее решение уравнения примет вид:
(,
)
= 3 +
+
+
(
2
2
(2+ 1
)
)
2. Пусть в начальный момент времени при = 0 распределение тем-
пературы по всей длине стержня 0 < < задано функцией
(, 0)= (
условия имеют вид:
Обще
е решение уравнения теплопроводности в этом случае также
)
, концы стержня теплоизолированы и граничные
будет иметь вид:
Неизв
(, )=
естные параметры найдем исходя из граничных условий:
(
, )=
Тогда
(
0, )=
(
, )=
Для получения нетривиального решения, необходимо, чтобы 0,
следовательно sin= 0 =
Тогда решение второй краевой задачи будет иметь вид:
(, )=
= sin
+
2
1
=
(
(
0, )=
(
(
, = 1,2, …
= 1
=
2
+
2
cos
=
=
2
, = 2,
(
2
2
)
, = 2+ 1.
sin
2
)
(2+ 1)
(
)
,
= 0.
sin
= 0.
)
.
)
.
cos+ sin
sin+ cos
0
(
cos
,
= 1,2, …
=
+
.
)
.
cos
Суммируя по всем n, получаем
36
)
=
)
=
где =
Коэффициент
(,
.
найдем исходя из начальных условий:
(, 0
Данное выражение представляет собой разложение в ряд Фурье чет-
cos
= (
,
)
.
ной функции (
)
, определенной на промежутке
енты ряда будем находить по формулам:
)
cos
()
, при = 0,
,
при = 1,2, …
=
=
(
Пример. Найти закон распределения стержня в каждый момент вре-
мени > 0 , если в начальный момент времени
(, 0)=
то е
сть концы стержня теплоизолированы.
,
(
0, )= 0,
Решение. В данном случае искомое решение будет иметь вид
(, )=
+
Находим коэффициенты разложения:
=
=
2
4
cos
=
sin
=
=
2
4
4
sin
(1)
=
=
=
1
=
=
= cos
2
=
= sin
4
sin
4
3
2
=
sin
(
)
,
cos
;
3
=
=
4
=
– ,
. Тогда коэффици-
= 0
= 2
=
=
(1)
.
=
cos
sin
.
=
=
Следовательно
37
(,
)
=
+
3
3. Пусть в начальный момент времени при = 0 распределение тем-
пературы по всей длине бесконечного стержня < < + задано функцией (, 0)= (
Согласн
о методу Фурье, решение уравнения теплопроводности в дан-
ном случае будет иметь вид:
4
(1)
)
, граничные условия отсутствуют.
cos
.
где А и В – за
Тогда
Удовл
Пусть функция (
Фурье:
(, )=
(()
cos
висят от изменения параметра .
(, )=
(()
cos
етворим начальным условиям:
(, 0)= ()= (()cos
)
такова, что ее можно представить интегралом
1
(
)
=
(
)
cos
+ ()sin
+ ()sin
+ ()sin
(
)
;
)
,
)
.
)
.
1
(
)
=
()cos
+()sin
Сравнивая полученной выражение с видом функции (,
сделать вывод, что
(
)
=
()cos
; (
)
=
Подставим полученные выражения в запись функции (,
образовав подынтегральное выражение, получим:
cos()
(,
1
)
=
()
()sin.
)
, можно
.
)
и пре-
.
Вычислим отдельно внутренний интеграл
38
Пусть
= , тогда
±
=
cos()=
(
)
Пусть
()=
()
=
sin=
=
=
1
sin
2
2
cos
Следовательно
()
=
Это обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными, разделяем переменные:
=
(
1
cos
= sin
(
=
=
=
=
)
.
cos.
,
= cos
=
1
2
=
cos.
2
)
.
=
Тогда
=
2
ln||=
(0)
=
2
+ ln()=
4
=
=
2
=
.
1
2
.
Следовательно
39
=
.
2
Приравнивая полученные выражения для функции (
(
)
=
1
2
.
)
, получим:
Сделав обратную замену, получим:
(
)
=
1
2
(
)
.
Подставляя вычисленный интеграл в выражение для функции
(,
)
окончательно получим:
(,
)
=
1
2
()
(
)
.
Данная формула носит название интеграла Пуассона. Она выражает
собой решение задачи распространения тепла в неограниченном стержне.
Задания для самостоятельного решения:
1. Найти решение уравнения
условиям (, 0)= 1
, 0 < < . Концы поддерживаются при
температурах: (0, )= 3, (,
=
)
, удовлетворяющее начальным
= 5.
2. Стержень длиной = 4 нагрет до температуры ()= 1 + 2.
Концы стержня поддерживаются при температурах (0, )= 3,
(,
)
= 7. Найти распределение температуры в стержне в любой
момент времени.
§ 4. Уравнение Лапласа.
К уравнениям эллиптического типа относится уравнение Лапласа.
К этому уравнению приводит рассмотрение задач об электрических и
магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задачи гидродина-
мики, диффузии, теории потенциалов и т.д.
Рассмотрим задачу, приводящую к уравнению Лапласа.
Пусть через некоторый объем V, ограниченный поверхностью S,
проходит поток жидкости, заданного вектором скорости
= + +
Выделим в объеме достаточно малый элемент , ограниченный по-
верхностью
. Тог
да через каждый такой элемент за единицу времени
будет протекать количество жидкости
= ,
.
где плотность жидкости, единичный вектор нормали к внешней
40
стороне поверхности
S.
Тогда общее количество жидкости, прошедшее через выбранный
элемент объема, будет равно
.
=
Преобразуем полученный поверхностный интеграл по формуле
Остроградского-Гаусса:
=
С др
угой стороны, так как плотность в выбранном элементе объема
div
(
)
.
меняется, то за время количество жидкости будет меняться на величину
.
Прир
=
авнивая полученные выражения, получим
div(
)
=
div(
)
= 0.
Так как элемент объема был выбран произвольно, а подынтегральная
функция непрерывна, имеем
div(
Если
жидкость несжимаемая, то div
Если
движение потенциальное, то согласно определению потенци-
)
= 0.
= 0.
ального поля
= grad
,
следовательно,
div
grad
= 0.
Запишем полученное равенство в координатной форме:
+
+
= 0.
Полученное уравнение является уравнением Лапласа.
Если рассматриваемый элемент объема будет представлять из себя
цилиндр, конус или параболоид, тогда при рассмотрении уравнения
Лапласа целесообразнее переходить к цилиндрическим координатам: