Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Учебное пособие-1.pdf
Вариант 11.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= cossin;
sin
= 0.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
0242 =+−+− xuuuu
yxyyxy
;
02
22
=++
yyxyxx
uxxyuuy
3.
=
начальных условиях: (, 0)= 0,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
начальных условиях: (, 0)= + 2. Начальные скорости отсутствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0
)
=
,
(
, 0)= ,
(
1,
)
= 0,
(
2, )= 0, 1 < < 2.
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 2,
(
, 0)=
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= , (,
)
= 2x.
9.
0 <
3 < < 2
3, = 3cossin2, (2,
)
= 1.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 6, (,
)
= 2,
(0,
)
= 2,
(2, )= 2,
(, 0)= 2, (, 6)= 2+ 5.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0
,
1,
< .
61
б)
б)
Найти решение волнового уравнения
.
при заданных
и граничным условиям
нужденной силы
=
+
(
+ 1)
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= + 2.
На концах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (,
На концах стержня температура задана следующим образом:
Найти решение уравнения Лапласа в кольце
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
= 4.
, удо-
Вариант 12.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
=
=
(
+
)
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
042 =+−+
yxyyxy
uuuu
;
( ) ( )
0121
2
2
2
=++++
xyyxx
uxxuux
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 2,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= 0,
(
, 0)= ,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 2,
(
, 0)= 4
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= , (,
)
= 4.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 3, удо-
(1, )= 3sin+ 3sin2
(3,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 3, 0 < < 3, (,
)
= 2,
(0, )= 3, (3, )= 2+ 4,
(, 0)= 2, (, 3)= 3+ 5.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(, )=
0, 0 ,
5, <
.
62
; б)
б)
начальных условиях:
.
Начальные скорости отсутствуют.
и граничным условиям
нужденной силы
= 9+ cos
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
)
= 2. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
На концах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
=
+ .
,
Вариант 13.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
=
= 2+ 3
=
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
04422 =++++
yxyyxyxx
uuuuu
;
03343 =+−+−
yxyyxyxx
uuuuu
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 0,
(
, 0)= 2
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
начальных условиях: (, 0)= . Начальные скорости отсутствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= + ,
(
, 0
)
= 0,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= sin,
(
, 0
)
= 0
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= +
(, )= 2.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 2, удовлетворяющее граничным условиям: (1, )= 3sin4, (2,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 3, (,
)
= 2,
(0,
)
= 2,
(2,
)
= 4,
(, 0)= 2, (, 3)= 25.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
4, < 2.
63
;
б)
б)
.
и граничным условиям
нужденной силы
= + sin2
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
)
=
+
На концах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
.
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
цах стержня температура задана следующим образом:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
= 3. На кон-
,
Вариант 14.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
=
+ 3
= 0.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
0532 =−+++
yxyyxyxx
uuuuu
;
042 =++−
y
xxyxx
euuu
3.
Найти решение волнового уравнения
= 4
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 0,
(
, 0)= cos.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0)= .
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= ,
(
, 0)= 2
,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 4,
(
, 0)= sin
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= + 2, (, )= 2.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 2 < < 4, удовлетворяющее граничным условиям: (2, )= 3cos2, (4, )= .
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 6, (,
)
= 2,
(0, )= 6, (2, )= 2
+ 4,
(, 0)= 2 , (, 6)= 2+ 5.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
2, < 2.
64
; б)
б)
начальных условиях:
.
Начальные скорости отсут-
и граничным условиям
нужденной силы
= 16+ 16
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )=
. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
На концах стержня температура задана следующим образом:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
=
.
Вариант 15.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
=
=
= 2
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
0=++−
yxyyxx
uuuu
;
0286 =+−++− xuuuuu
yxyyxyxx
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= ,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= ,
(
, 0
)
= 4,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= ,
(
, 0
)
= 2
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= + , (, )= 2.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 4, удо-
(1, )= sin3sin2
(4,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 1, 0 < < 3, (,
)
= 2,
(0, )= 2, (1, )= + 4,
(, 0)= 2+ 3, (, 3
)
= 4.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0 ,
3, < 2.
65
;
б)
б)
начальных условиях:
.
Начальные скорости отсутствуют.
и граничным условиям
нужденной силы
= 4+ cos
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )=
. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (,
концах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
=
. На
,
Вариант 16.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= 24;
4
= 0.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
043 =+−+ xuuu
yxyxx
;
0422 =−−+−
x
yxxyyy
euuuu
3.
Найти решение волнового уравнения
= 4
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 4,
(
, 0
)
= 4.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
начальных условиях: (, 0)= . Начальные скорости отсутствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= ,
(
, 0)=
,
(
2,
)
= 0,
(
3, )= 0, 2 < < 3.
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 2,
(
, 0
)
= 2
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= + , (,
)
= 0.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 3, удовлетворяющее граничным условиям: (1, )= 4sin2, (3,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 5, (,
)
= 2,
(0, )= + 2, (2,
)
=
26, (, 0)= , (, 5
)
= 5.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
0, 0
,
1,
< .
66
б)
б)
.
и граничным условиям
нужденной силы
= + sin
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= 4. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= 1.
На концах стержня температура задана следующим образом:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
Вариант 17.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= sin
()
;
= 6
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
033 =++++ yuuuu
yxxyxx
;
023103 =++++++ yxuuuuu
yxyyxyxx
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 0,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
начальных условиях: (, 0)=
. Начальные скорости отсутствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= ,
(
, 0)= ,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 3,
(
, 0
)
= 4
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= , (,
)
= 4.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 5, удо-
(1, )= 3sin4sin2
(5,
)
= 1.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 4, 0 < < 3, (,
)
= 2,
(0, )= , (4, )= 2+ 4,
(, 0)= , (, 3)=
.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
1, 0 ,
2, < 2.
67
б)
б)
.
и граничным условиям
нужденной силы
= +
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )=
На ко
нцах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
2.
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= 3. На
концах стержня температура задана следующим образом:
влетворяющее граничным условиям:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпе-
ратуры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
,
Вариант 18.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
=
(
+ 2
)
;
= 2sin
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
02254 =−−++
yxyyxyxx
uuuuu
;
02423103 =++−+− yuuuuu
yxyyxyxx
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 3,
(
, 0)= .
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0)= cos.
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= 1,
(
, 0)= ,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 2,
(
, 0
)
= 4
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= 2, (,
)
= 2.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 4, удовлетворяющее граничным условиям: (1, )= 2, (4,
)
= 4.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 1, 0 < < 3, (,
)
= 4,
(0,
)
= 0,
(1, )= 3+ 4,
(, 0)= 2, (, 3)= 25.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
2, 0 ,
1, < 2.
68
б)
б)
начальных условиях:
.
Начальные скорости отсут-
и граничным условиям
нужденной силы
= + (,
)
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (,
)
=
.
На концах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (,
На концах стержня температура задана следующим образом:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
=
.
Вариант 19.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= 0;
= 5
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
0322416165 =++++
yxyyxyxx
uuuuu
;
0462 =++++
yxyyxyxx
uuuuu
3.
Найти решение волнового уравнения
= 16
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 4,
(
, 0
)
= 0.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0)= sin.
ствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= 2,
(
, 0)=
,
(
0,
)
= 0,
(
1, )= 0, 0 < < 1.
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= ,
(
, 0
)
= 2
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
обмен свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= 2, (,
)
= 4.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 1 < < 2, удовлетворяющее граничным условиям: (1, )= 4sin2, (2,
)
= 0.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 1, 0 < < 4, (,
)
= 2,
(0, )= 2, (1, )= 2+ 4,
(, 0)= 6, (, 4)= 2.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
2, 0
,
1,
< .
69
б)
б)
начальных условиях:
.
Начальные скорости отсут-
и граничным условиям
нужденной силы
= + sin2cos
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )= 1.
На концах стержня поддерживается нулевая температура. Тепло-
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (,
На концах стержня температура задана следующим образом:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
= 4.
Вариант 20.
1.
Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
= + 4
;
=
.
2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:
а)
01232 =+−+−
yxyyxyxx
uuuuu
;
02352 =++−+− xuuuuu
yxyyxyxx
3.
Найти решение волнового уравнения
=
при заданных
начальных условиях: (, 0)= 1 ,
(
, 0)=
.
4.
Определить форму струны, закрепленной на концах, при заданных
(, 0
)
=
(
)
.
сутствуют.
5.
Определить форму струны, удовлетворяющей начальным условиям
(, 0)= 2,
(
, 0)= sin,
(
0,
)
= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
6.
Определить закон колебаний струны, подверженной действию вы-
(, 0)= 4,
(
, 0)= 3
(0, )= 0, (,
)
= 0.
,
7.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
свободный.
8.
Найти закон распределения температуры внутри стержня
0 < <
(0, )= + 2, (, )= 2.
9.
Найти решение уравнения Лапласа в кольце 0 < 2 < < 4, удовлетворяющее граничным условиям: (2, )= 3sin, (4,
)
= 2.
10.
Найти решение для уравнения Пуассона в прямоугольнике:
0 < < 2, 0 < < 7, (,
)
= 2,
(0, )= + 2,
(2, )= 26, (, 0)= , (, 7
)
= 0.
11.
Найти стационарное распределение температуры на однородной
(,
)
=
2, 0 ,
6, < 2.
70
б)
б)
начальных условиях:
.
Начальные скорости от-
и граничным условиям
нужденной силы
= + sin
, если в начальный момент времени температура внутри
стержня была распределена следующим образом: (, )=
. На
концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен
, если в начальный момент времени температура внут-
ри стержня была распределена следующим образом: (,
На концах стержня температура задана следующим образом:
тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение темпера-
туры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается
формулой
)
= 4.