Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Учебное пособие-1.pdf
( )
( )
0
,
,
≠=
yx
yx
yxD
D
ηη
ξξ
ηξ
Уравнение в новых переменных примет вид:
( )
ηξηη
ηξ
vvvFv ,,,,
2
=
02<− acb
( ) ( )
1
,, cyxiyx =+
ψϕ
Cconstc ∈=
1
( ) ( )
−yxyx ,,,
ψϕ
( )
yx;
ϕξ
=
( )
yx;
ψη
=
( )
ηξηηξξ
ηξ
vvvFvv ,,,,
3
=+
( )
yxu ,
xxx
vvu
ηξ
ηξ
+=
yyy
vvu
ηξ
ηξ
+=
xxxxxxxxxx
vvvvvu
ηξηηξξ
ηξηηξηξξ
++++=
22
2
yyyyyyyyyy
vvvvvu
ηξηηξξ
ηξηηξηξξ
++++=
22
2
( )
xyxyyxxyyxyxxy
vvvvvu
ηηξηηηξηξξξ
ξηηξηξξ
+++++=
0271532 =+−−−+ xuuuuu
yxyyxyxx
0
4
9
2
4
1
2,
2
1
,1
2
>=+=−⇒−=== acbcba
( ) ( )
02
22
=−⋅− dxdxdydy
1
202 cxydxdy +=⇒=−
2
0 cxydxdy +−=⇒=+
11
1.3. Уравнения эллиптического типа.
.
.
Если
Общие интегралы уравнений (5) и (6) – комплексно-сопряженные:
где
исходное уравнение приведется к каноническому виду:
При построении канонического вида уравнения используются формулы преобразования производных функции
*
) к новым переменным:
(1
, то уравнение будет относится к эллиптическому типу.
,
вещественные функции. Полагая
,
,
.
, входящих в уравнение
,
,
,
,
,
.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение:
.
Решение. Имеем
следовательно, уравнение имеет гиперболический тип на всей плоскости.
Составим уравнение характеристик:
.
Оно распадается на два уравнения:
;
.
,
Характеристиками заданного уравнения будут функции:
xy 21−=
ϕ
xy +=
2
ϕ
xyxy +=−==
ηϕξ
,2
1
ξ
1,1,1,2 ===−=
yxyx
ηηξξ
0,0,0,0,0,0 ======
xyyyxxxyyyxx
ηηηξξξ
.2
,2
,44
,
,2
1
2
1
15
3
ηηξηξξ
ηηξηξξ
ηηξηξξ
ηξ
ηξ
vvvu
vvvu
vvvu
vvu
vvu
xy
yy
xx
y
x
+−−=
++=
+−=
+=
+−=
−
−
−
0189910 −−−
vvvvvv
ηξξηηηξξ
( )
ηξ
ηξ
−=
−
= 9
3
2727x
( )
091899 =−+−−−
ηξ
ηξξηηη
vvvv
0991899 =−+−−−
ηξ
ηξξηηη
vvvv
( ) ( )
0121
2
2
2
=++++
xyyxx
uxxuux
( )
1,0,1
2
2
==+= cbxa
( )
01
2
22
<+−=− xacb
( )
( ) ( )
01
22
2
2
=++ dxdyx
12
и
Выполним замену:
Вычисляем значения частных производных от функций
Построим выражения для производных функции u при переходе к
новым переменным, указав слева от вертикальной черты коэффициенты, с
которыми производные входят в уравнение:
Подставляя производные в исходное уравнение, находим коэффи-
.
.
и η:
,
.
циенты:
Построим выражение для неоднородного члена уравнения:
Подставляя построенные выражения в заданное уравнение, приведем
его к каноническому виду:
Ответ:
Пример. Привести к каноническому виду уравнение:
Решение. Имеем
.
.
.
.
.
, следовательно, дискрими-
нант уравнения будет:
ского типа.
Составим уравнения характеристик:
. Это уравнение эллиптиче-
,
которое равносильно двум следующим:
( ) ( )
+
=
+
−
=
⇒=+±+
.
1
,
1
011
2
2
2
2
2
dx
x
i
dy
dx
x
i
dy
dxxidyx
1
arctg cxiy =⋅+=
ϕ
2
arctg cxiy =⋅−=
ϕ
( )
y==
ϕξ
Re
( )
xarctgIm ==
ϕη
ξ
,0,0,0,0,
1
1
,1,0
2
====
+
===
yyxyxxyxyx
x
ξξξηηξξ
( )
0,0,
1
2
2
2
==
+
−=
yyxyxx
x
x
ηηη
( )
( )
( )
.
,
1
2
1
1
,
,
1
1
1
1
0
12
2
2
2
2
2
2
2
ξξ
ηηη
ξ
η
vu
v
x
x
v
x
u
vu
v
x
u
x
xx
yy
xx
y
x
=
+
−
+
=
=
+
=
+
+
0=+
ηηξξ
vv
13
Решая данные уравнения, получим:
,
Введем замену:
,
Находим частные производные от функций
Построим выражения для производных функции u:
.
.
и η:
.
Подставив найденные выражения в заданное уравнение, приведем
его к каноническому виду:
Пример. Привести уравнение к каноническому виду
Решение. В данном случае
следовательно, это уравнение эллиптического типа.
.
1
1
=
= 0
1
(d)
1
+
; = 0; =
1
=
1
+
(d)
= 0.
= 0 /
1
1
;
< 0,
14
+
1
= 0
1
d
= ±= ±
d
d
d
= ±
= ±
2
=
=
0 + 2
=
=
+ 2
2
=
0 +
+
0 +
=
=
±
2
; =
2
+
0 +
+
=
=
0 =
2
;
;
+
;
0 +
.
0 +
1 +
Подставляем производные в исходное уравнение:
+
+
+
= 0.
2
0 =
+
1 =
Учитывая, что
1
1
=
2
1
;
1
=
2
окончательно получаем
+
+
+
= 0.
Пример. Привести уравнение к каноническому виду
Реше
2
ние. В данном случае =
+
; = ; =
= 0.
дискриминант уравнения будет равен
=
ем вывод, что уравнение относится к параболическому типу.
Дела
= 0.
Составляем уравнение характеристик:
елим данное выражение на
Разд
(
)
+ 2+
(
+ 2
)
:
+
(
)
= 0.
Данное уравнение является квадратным относительно отношения
дифференциалов
. Решая его получим два дифференциальных уравнения
первого порядка с разделяющимися переменными:
=
4= 44= 0
= 0.
. Следовательно,
Следовательно
15
Функци
условие:
=
=
2
=
=
2
2
ln||= ln||+ ln=
.
=
)
я (,
подбирается произвольно так, чтобы выполнялось
=
=
= .
;
Пусть = , тогда
м производные до второго порядка:
=
=
+
Находи
=
= ;
=
2
=
0
=
+ 2
=
= ;
=
+
1 +
0 +
1 0
1
=
0.
= 0.
= 1;
0 =
2+
+
.
1;
;
1 +
;
1 0 +
;
0 +
= 0;
0 +
0 +
0 =
1 +
0 =
0 =
Подс
уравнение:
Посл
тавляем найденные производные в исходное дифференциальное
4
2
2
+
+
+ 2
(
+
= 0;
1 2)
2
+ 2
+ 2
= 0.
+
е обратной замены переменных, получим:
4
2
+
(
)
+ 2
= 0.
§ 2. Волновое уравнение.
0=x
lx =
( )
txu ;
21
MMl∪
21
MM
12
xx −
21
MM
ϕ
ϕϕ
∆+
MM
′
16
Волновое уравнение описывает закономерности протекания различных волновых процессов, например, распространение звуковых волн.
Кроме того, оно играет очень важную роль в акустике. Также это уравнение встречается при изучении поперечных колебаний упругой струны, ко-
лебаний газа в трубке и др.
2.1. Вывод уравнения колебаний струны.
В математической физике под струной понимают однородную гиб-
кую, упругую нить.
Пусть струна длиной l в начальный момент времени направлена по
отрезку оси Ох от о до l. Предположим, что концы струны закреплены в
точках
и
. Если струну отклонить от ее первоначального поло-
жения, а потом предоставить самой себе, то точки струны будут совершать
колебательные движения.
Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального
положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны
будет происходить перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При
этом предположении процесс колебания струны описывается одной функ-
цией
, которая дает величину перемещения точек струны с абсциссой
х в момент времени t.
Рис. 1 Элемент струны.
Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости xOu,
то будем предполагать, что длина элемента струны
ции на ось Ох, т.е. длина дуги
равна
(рис.1). Также будем счи-
равна ее проек-
тать, что натяжение во всех точках струны Т одинаковое по величине.
Рассмотрим элемент струны
.
На концах этого элемента, по касательной к струне, действует си-
лы Т. Пусть касательные образуют с осью Ох углы
проекция на ось Ou сил, действующих на элемент
и
, будет равна
. Тогда
( )
ϕϕϕ
sinsin TT −∆+
ϕ
ϕϕ
sintg ≈
, тогда:
( ) ( )
=−∆+≈−∆+
ϕϕϕϕϕϕ
tgtgsinsin TTTT
( ) ( ) ( ) ( )
x
x
txu
Tx
x
txxu
T
x
txu
x
txxu
T ∆
∂
∂
≈∆
∂
Θ∆+∂
=
∂
∂
−
∂
∆+∂
=
2
2
2
2
,,,,
10 <Θ<
MM
′
−
ρ
x∆
ρ
.
2
2
tu∂
∂
x
x
u
T
t
u
x ∆
∂
∂
=
∂
∂
∆
2
2
2
2
ρ
2
aT=
ρ
x∆
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
( ) ( ) ( ){ }
txUtxUtxU ,,,,,
321
2
2
2
2
2
x
U
a
t
U
∂
∂
=
∂
∂
17
Чтобы получить уравнение движения, надо внешние силы, приложенные к элементу
. Так как угол
, приравнять силе инерции. Пусть
мал, то можно положить
,
.
линейная
плотность струны. Тогда масса этого элемента струны будет
ускорение равно
Следовательно, по второму закону Ньютона
, а его
.
Обозначим
и сократив на
, получим уравнение:
.
Это уравнение называется уравнением свободных колебаний струны или
одномерным однородным волновым уравнением.
Если на струну будет действовать внешняя вынуждающая сила, ин-
тенсивность источников которой задается функцией (,
)
, то уравнение
примет вид:
= (,
)
.
Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа. Каждую точку струны можно охарактеризовать значением ее
абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t до-
статочно знать вектора смещения
времени t.
Методы решения уравнений колебаний струны:
2.2. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик).
Рассмотрим уравнение
Рассмотрим неограниченную струну и зададим начальные условия:
точки х момент
.
( ) ( )
( ) ( )
=
′
=
xxU
xxU
t
ψ
ϕ
0,
0,
,
( )
−x
ϕ
( )
−x
ψ
⋅−=
⋅+=
tax
tax
η
ξ
( )
a
U
a
U
t
U
t
U
t
U
−⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ηξ
η
η
ξ
ξ
( )
+
∂
∂
⋅⋅
∂∂
∂
−
∂
∂
⋅⋅
∂
∂
=
∂
∂
⋅−
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
t
a
U
t
a
UU
a
t
U
a
tt
U
t
t
U
ξ
ξη
ξ
ξ
ηξ
2
2
2
2
2
)
2
2
22
2
2
2
22
2 a
UUU
t
a
U
t
a
U
⋅
∂
∂
+
∂⋅∂
∂
⋅−
∂
∂
=
∂
∂
⋅⋅
∂
∂
−
∂
∂
⋅⋅
∂⋅∂
∂
+
η
ξη
ξ
η
η
η
ηξ
2
22
2
2
2
2
2
η
ηξ
ξ
∂
∂
+
∂∂
∂
⋅+
∂
∂
=
∂
∂ UUU
x
U
⇒
∂
∂
+
∂∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
∂
∂
+
∂∂
∂
⋅−
∂
∂
⋅
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
22
η
ηξ
ξη
ηξ
ξ
UUU
a
UUU
a
( )
η
ηηξηξ
f
UUU
~
004
2
=
∂
∂
⇒=
∂
∂
∂
∂
⇒=
∂∂
∂
⋅⇒
( )
−
η
f
~
η
η
( ) ( ) ( ) ( )
∫
+==
ξηηηηξ
gfdfU~.
( ) ( ) ( )
taxgtaxftxU ⋅++⋅−=,
( )
−⋅− taxf
( )
−⋅+ taxf
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=⋅
′
+−⋅
′
=
′
=+=
xaxgaxfxU
xxgxfxU
t
ψ
ϕ
0,
0,
( ) ( ) ( )
∫
+=+−
x
Cdss
a
xgxf
0
1
ψ
constС −
18
где
функция, задающая форму струны в начальный момент времени,
скорость точки струны в начальный момент времени.
Введем замену переменных:
,
,
.
.
где
,
некоторая функция переменной
Интегрируя это равенство по
при фиксированном ξ получим:
.
.
Делаем обратную замену:
,
описывает волну, бегущую направо, а
Теперь необходимо удовлетворить начальным условиям:
.
налево.
Интегрируя эти равенства, получим:
, где
.
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
++=
−−=
∫
∫
x
x
a
C
dss
a
xxg
a
C
dss
a
xxf
0
0
22
1
2
1
22
1
2
1
ψϕ
ψϕ
.
( )
txU ,
( )
( ) ( )
( ) ( )
−+
++−
=
∫ ∫
+ −atx atx
dssdss
a
atxatx
txU
0 0
2
1
2
,
ψψ
ϕϕ
( )
( ) ( )
( )
∫
+
−
−+
++−
=
atx
atx
dss
a
atxatx
txU
ψ
ϕϕ
2
1
2
,
( )
tx,
( )
atxfU −=
( )
atxfU +=
19
Тогда функция
Для выявления характера решения (7) удобно воспользоваться плос-
костью состояний
x+at-const называются характеристиками уравнения (1). Функция
вдоль характеристики x-at-const сохраняет постоянное зна-
чение, функция
Пример. Найти форму струны в момент времени = 2, если в началь-
ный момент времени положение струны определено следующим образом:
(, 0)= 2sin,
примет вид:
,
формула Даламбера (7)
или «фазовой плоскостью». Прямые x-at-const и
постоянна вдоль характеристики x+at-const.
(
, 0)= 2cos.
= 2
Решение. Форму струны будет определять уравнение
=
Воспользуемся формулой Даламбера:
(,
1
2
= sin
Тогда
sin
)
=
sin
= sincos
cos
(, 2)= sincos2
(
+ +
2
2
+
= sincos
)
+ sin
1
+
+
sin
(
2
cos
(
sin
+
2
+
.
)
+
+
2
)
2
sincos.
2
+
1
+
sin(
cos
sin2cos.
2cos=
2
1
+
2
+
+
2
2sin
)
|
=
=
=
2.3. Метод Фурье (метод разделения переменных).
20
Рассмотрим некоторые краевые задачи, поставленные для волнового
уравнения:
1. Пусть в области 0 < < , > 0 закреплена струна, удовлетво-
ряющая начальным условиям (, 0)= (), < 0 < , задано
отклонение каждой точки струны от положения равновесия в
начальный момент времени
(
, 0)= (
)
, а также заданы по-
ложения каждой точки струны в начальный момент времени
(0, )= (,
)
= 0. Концы струны закреплены жестко.
Для решения поставленной задачи воспользуемся методом разделе-
ния переменных – методом Фурье. Согласно этому методу, искомую
функцию представим в виде произведения двух, зависящих каждая только
от одной переменной:
(, )= ()(
)
.
Подставим данное выражение в исходное волновое уравнение, про-
дифференцировав по соответствующим переменным:
()
()
=
()()
.
В полученном уравнении разделим переменные:
()
)
(
=
(
()
.
)
Так как в данном равенстве функции слева и справа зависят от раз-
ных переменных, то его выполнение возможно в следующем случае:
()
(
(
()
=
)
=
)
;
.
Рассмотрим каждое уравнение.
()
+
(
)
= 0.
Это обычное линейное однородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами. Составляем для него ха-
рактеристическое:
+ = 0 = ±.
а общее решение будет иметь вид:
Тогд
Втор
ое уравнение относительно функции (
ным образом:
Тогда общее решение
(,
)=(
)
=
(
()=
cos+ sin
cos+ sin.
cos+ sin.
)(
cos+ sin
)
решается аналогич-
)
.