Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Учебное пособие-1.pdf
Для нахождения неизвестных параметров, применим граничные
21
условия:
)=(
cos+ sin
Реше
(0,
ние уравнения будет нетривиальным лишь при условии
Из второго граничного условия получаем:
(,
)=(
cos+ sin
Для получения нетривиального решения необходимо, чтобы
= 0 = =
sin
Следовательно
(, )=
sin
cos
Суммируя решения при всех значениях n, получим:
+
U
(
,
)
=
sin
cos
где = , = постоянные.
Оставшиеся неизвестные параметры найдем, используя начальные
условия:
(
, 0
)
=
U
Данное выражение представляет собой разложение в ряд Фурье не-
)
)
, = 1,2, …
+
sin
= (
0.
sin0.
sin
.
, 0 < < , > 0,
)
.
= 0.
четной функции (
)
, заданной на промежутке
Тогда, согласно формулам разложения функций в ряды Фурье, ко-
эффициент
будет находиться по формуле:
2
=
Для нахождения коэффициента
функции по переменной t
(
)
,
=
sin
(
, 0
Данное выражение есть разложение в ряд Фурье нечетной функции
)
(
, заданной на промежутке
– ,
.
(
)
sin
, = 1,2, …
найдем производную искомой
и воспользуемся вторым начальным условием:
)
=
sin
– ,
sin
. Поэтому
+
= (
cos
)
.
22
2
=
(
2
=
(
)
sin
)
sin
.
Пример. Струна, закрепленная на концах, имеет в начальный момент
времени форму параболы =
(
)
. Определить форму струны, если
начальные скорости отсутствуют.
Решение. Начальные условия: (, 0
граничные условия: (0, )= (,
)
= 0.
=
(
)
)
(
, 0
)
= 0,
,
Исходя из постановки задачи решение уравнения будем искать в виде:
U
(
,
)
=
sin
cos
+
sin
.
Находим коэффициенты:
)
sin
cos
)
cos
)
=
=
sin
=
8
2
2
(
=
4
=
(
4
(
4
2
)
=
(2
=
=
8
cos
=
= sin
4
+
(2
= 2
= cos
((1)
+
= 0.
8
1
sin
)
=
=
=(2)
=
)
cos
= 2
=
0,
16
, = 2+ 1.
cos
=
sin
= 2,
=
=
Итак, общее решение уравнения будет иметь вид:
(,
(2+ 1)
)
=
sin
16
(
2+ 1
cos
)
(
2+ 1
)
.
Пример. Найти форму струны в каждый момент времени, если из-
вестно, что струна закреплена на концах = 0, = 4, в начальный момент
времени струна имеет вид ломанной OAB, где координаты точек
(
(
2; 1
)
,
(
4; 0
)
(
,
)
0; 0
. Также известно, что
, 0
)
= 0.
Решение. Для начала определим функцию (, 0
23
ния ломаной
Следовательно
Общий вид решения
Находим коэффициенты разложения:
1
sin
4
1
1
2
2
OAB:
(
U
,
+ 2
=
)
=
4
2
=
=
sin
2
:
4 2
(, 0
2
(
4
+
=
=
=
4
1
2
)
=
sin
)
sin
1
2
= sin
cos
2
cos
2
=
+ 2
1
:
=
;
2
=
1
=
0 1
1
+ 2.
2
1
, 0 < 2;
2
1
+ 2, 2 < < 4.
2
1
2
4
+ 2
=
cos
1
2
sin
+
1
sin
2
;
4
= =
=
4
+
1
4
cos
4
sin
sin
4
4
2
cos
4
2
+
+
2
1
=
+ 2 =
2
= sin
=
4
1
cos
cos
4
sin
4
4
=
=
.
)
. Составим уравне-
.
+
=
cos
4
1
2
4
=
cos
4
=
4
Окончательно
24
В итоге общее решение исходного уравнения:
2. Пусть в области 0 < < , > 0 закреплена струна, удовлетворяю-
Решение волнового уравнения в данном случае будет иметь такой
же вид:
4
4
2
= 0.
cos
=
+
2
8
+
2
cos
sin
8
2
2
sin
+
.
4
sin
.
2
cos
2
.
4
=
(,
2
)
cos
=
2
4
=
4
cos
4
щая начальным условиям (, 0)= (), < 0 < , задано откло-
нение каждой точки струны от положения равновесия в начальный
момент времени
(
0, )=
(
)
,
= 0. Концы струны свободны.
(
, 0)= (
)
, а также граничным условиям
Для н
(,
)=(
cos+ sin
ахождения неизвестных параметров найдем производную по
)(
cos+ sin
переменной x и воспользуемся начальными условиями:
(
При = 0 п
вательно
,
= 0.
)=(
cos+ sin
(
0,
)=(
cos+ sin
олученное решение будет являться тривиальным, следо-
)(
sin+ cos
)(
Подставляя второе граничное условие, получим:
(
При
)=(
,
cos+ sin
= 0 полученное решение будет тривиальным, поэтому
)(
sin
sin= 0 =
, = 1,2, …
Итак, при каждом n общее решение будет иметь вид:
(, )=
cos
cos
+
sin
суммируя теперь все решения при каждом n, получим
+
sin
(,
)
=
где = , =
Для нахождения
cos
.
и
cos
применим начальные условия:
)
0.
)
0.
,
,
)
.
)
25
(, 0
(
)
, 0
)
=
=
cos
cos
= (
= (
)
;
)
.
Данные выражения представляют собой разложения четных на про-
межутке
– ;
функций в ряд Фурье с соответствующими коэффициента-
ми разложения, поэтому по свойствам рядов Фурье имеем:
1
=
=
=
2
(
2
(
(),
)
cos
, = 1,2, …
)
cos
, = 1,2, …
= 0;
Пример. Определить форму струны, удовлетворяющей начальным
условиям (, 0)=
ние точек струны задано функцией
(
0, )= 0,
(
, )= 0, 0 < < .
, если в начальный момент времени отклоне-
(
, 0)= . Граничные условия
Решение. В данном случае форма струны будет задаваться функцией:
(,
)
=
cos
cos
+
sin
Находим коэффициенты разложения:
=
sin
=
3
= 2
=
2
=
=
1
=
(
2
(
=
4
sin
(
)
cos
)
=
)
=
=
sin
= sin
1
3
=
= cos
2
2
=
=
=
cos
.
;
sin
=
=
26
cos
2
=
sin
4
(1)
= 0.
;
=
=
=
4
=
4
(1)
2
cos
cos
4
4
sin
=
Следовательно, общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
cos
4
(1)
cos
.
(,
1
)
=
2
3
+
Рассмотрим неоднородное уравнение вида:
= + (,
)
.
К данному уравнению приводят задачи колебаний струны, когда к
струне приложена внешняя сила.
Поставим задачу следующего типа:
)
)
= 0.
)
,
= + (,
(, 0)= (),
(0, )= 0, (,
(
, 0)= (
Данную задачу разобьем на две подзадачи:
1) Однородная задача с ненулевыми начальными условиями:
(
, 0)= (
=
)
,
(
0,
)
= 0,
,
(
, 0)= (
(
)
,
= 0.
)
,
2) Неоднородная задача с нулевыми начальными условиями:
)
)
)
,
= 0,
= 0.
= + (,
(, 0)= 0,
(
, 0
(0, )= 0, (,
Тогда решение исходной задачи будет иметь вид:
Решение первой задачи, как было показано выше, будет иметь вид:
Решим вторую задачу методом Фурье. Решение будем искать в виде:
Подставим данную функцию в исходное уравнение:
()
sin
(, )= (,
(,
)
=
=
(0)
= 0,
)
(0)
()
+
(
sin
= 0.
,
()
)
sin
.
.
+ (,
)
,
Запишем разложение функции (,
27
)
на интервале
[
]
0,
в ряд Фурье
по аргументу х:
(,
)
=
()
sin
,
где
2
()
=
(,
)
sin
.
Тогда
()
sin
=
()
+
()
()
sin
()
+
(
,
= 0.
)
sin
Отсюда получаем следующую задачу:
()
+
(0)
(0)
()
= 0,
= 0.
=
()
,
Пример. Найти уравнения колебаний струны, подверженной дей-
ствию вынуждающей силы (, )= 32sincos, если (, 0)= 2sin,
(
, 0
)
= sin
,(0, )= (2,
)
= 0.
Решение. Поставим задачу
;
= 16+ 32sincos,
(, 0)= 2sin,
(0, )= (2,
(
, 0
)
)
= sin
= 0.
,
Рассмотрим подзадачи:
(
, 0)= 2sin,
(
Реша
ем первую из них методом Фурье:
0,
)
= 16
=
(
(
, 0
2,
,
)
= sin
)
= 0.
(
, )= ()(
,
= 16+ 32sincos,
(, 0)=
(0, )= (2,
)
.
(
, 0
)
)
= 0,
= 0.
Тогда
16
(
()
)
=
(
()
=
)
16
()
()
+
+
(
(
)
)
= 0,
= 0.
Характеристическое уравнение для первого будет иметь вид:
16
+ 0 = ±
()=
4
cos
+
4
sin
.
4
Аналогично решение второго уравнения будет иметь вид:
28
()=
cos+ sin.
Тогда общее решение
(
,
)
=
cos
+
4
sin
(
cos+ sin
4
Удовлетворим начальным условиям:
(
0, )=
(
cos+ sin
)
2
(
2,
)=(
)
+
)
4
= , = 1,2 … = 2.
2
В итоге
(
,
)=(
cos2+ sin2
Просуммируем по всем n и используем начальные условия:
(
)
,
=
(
cos2+ sin2
(
)
, 0
=
= 2sin.
2
Данное выражение представляет из себя разложение в ряд Фурье не-
четной функции, определенной на интервале
2
=
2sinsin
2
1
=
1 0,5
1
1
=
(
,
2
sin
1
1 0,5
)
=
=
(
1 0,5
sin
(
2
1
(
cos
(
)
1 + 0,5
(
2
)
sin2+ 2cos2
[
1 0,5
1
1
1 + 0,5
(
)
, 0
=
2
= sin.
2
Данное выражение представляет собой разложение в ряд Фурье не-
четной функции, определенной на промежутке
1
2
=
2
sinsin
2
=
2
1
2
= 0
= 0
)
sin
)
sin
2, 2
)
sin
]
cos
(
1 + 0,5
(
sin
2 +
)
[
2, 2
1 cos2
2
)
.
= 0.
2
= 0
4
.
2
.
2
, следовательно
(
1 + 0
)
)
.
,5
))
=
sin
;
2
]
, следовательно
sin
=
2
=
29
=
=
1
4
=
1
4
1
4
2
cos
=
sin
2
2
(1)
4
2
+
1
+ 4
1
2
1
2
+
sin
cos2sin
2
(
sin(2 + 0,5
(
cos
0,5+ 2)+
(
cos
+ 4)
+
+ 4
)
+ sin
+
cos
Теперь рассмотрим неоднородную задачу с нулевыми начальными
условиями. Ее решение будем находить в виде:
(,
)
=
()
sin
=
Подставляем данное решение в неоднородное уравнение:
(
+ 1632cos
)
sin
2
+ 16= 32cos,
(0)
= 0,
(0)
= 0.
n
2
(
0,5
2)
1
cos
4
(
4)
4
()
= 0
=
(
0,52)
sin
.
2
)
=
2
16
=
.
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с по-
стоянными коэффициентами.
Характеристическое для него имеет вид
+ 16= 0 = 0, = 16 = +
cossin16sin+ 16cos= 32cos
16= 0,
+ 16= 32
В итоге
= +
= 16
Подставляем начальные условия:
(0)
= +
(0)
= 16+
= cos+ sin;
= sin+ cos;
= cossin;
=
32
cos+
257
+
32
sin+
257
32
= 0,
257
512
=
= 0
257
32
257
, =
512
257
512
257
32
257
512
257
sin;
cos.
, = 0.
.
.
Тогда
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
30
(
32
cos+
257
32
)
=
257
512
sin
257
(,
32
cos+
257
32
)
=
257
512
sinsin
257
.
2
Задания для самостоятельного решения:
1. Найти решение задачи Коши для уравнения
начальных условиях: (, 0)= 0,
2. Найт
и решение однородного волнового уравнения, если в началь-
(
, 0)= 2
.
= 9
при
ный момент времени положение струны определялось условиями:
(, 0)= 2,
(
, 0)= . Концы струны = 0, = 4 свободны.
§ 3. Уравнение теплопроводности.
Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье) имеет вид
.
Это уравнение описывает процессы теплопередачи, встречается при
изучении явлений диффузии и многих других.
Пусть (; ) функция, задающая температуру в некоторой точке
М однородного тела в момент времени t, S – площадь поверхности тела.
Тогда количество теплоты dQ, которое поглотит тело за время dt, будет
равно
=
,
где к – коэффициент теплопроводности, dS – элемент поверхности,
производная функции U по направлению внешней нормали к рассмат-
риваемой поверхности тела. Проинтегрировав данное выражение по всей
поверхности тела, получим формулу для расчета количества теплоты:
=
.
Теперь вычислим Q другим способом.
Выделим в теле некоторый элемент объемом V, ограниченным пло-
щадью S. Тогда количество теплоты, получаемой этим элементом за неко-
торый промежуток времени, будет пропорционально повышению темпера-
туры в этом элементе и его массе:
=
,
где теплоемкость вещества, плотность вещества. Интегрируя дан-
ное выражение по всему объему V, получим
=
.