Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Учебное пособие-1.pdf
= cos,
41
= sin,
= .
После замены переменных, искомая функция примет вид
(, , )=
(
, ,
)
.
Учитывая, что =+ , = arctg
водные:
=
Аналогично
=
, аходим частные произ-
=
)
+
=
)
+
+
(
+
(
(
(
(
)
(
)
)
)
)
)
)
)
(
(
(
(
)
+
)
)
+
)
+
(
(
(
+
)
)
(
(
)
(
(
=
)
(
+
=
)
(
+
+
+
+
+
+
+
(
(
(
+ 2
(
+ 2
)
)
+ 2
)
+ 2
)
;
)
(
)
(
(
(
;
(
(
2
+
)
)
2
+
)
)
(
.
)
(
.
+
)
+
+
+
Кроме того
=
)
(
Подставляя найденные производные в уравнение Лапласа, получим:
1
+
+
)
(
(
)
+
)
(
или
(
)
+
(
1
)
+
)
(
Это уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Теперь рассмотрим решение уравнения Лапласа в кольце, ограни-
ченном окружностями:
: + = , : + =
и удовлетворяющее граничным условиям:
|
= ;
|
.
1
=
+
1
+
(
.
)
(
+
)
= 0.
,
= 0,
Так как угол будет меняться непрерывно при обходе области, то
42
искомая функция от переменной зависеть не будет, следовательно, урав-
нение Лапласа в этом случае примет вид:
)
(
)
(
+
=
= , тогда уравнение примет вид:
1
= 0
ln||= ln||+ ln=
Обозначим
Вводя обратную замену получим
Проинтегрируем данное выражение по переменной r:
Для нахождения неизвестных параметров, воспользуемся граничны-
ми условиями:
= ln+ , = ln+
=
= (
Подставляя найденные параметры в общее решение, окончательно
получим:
=
ln
=
Данная функция является решением уравнения Лапласа в области,
ограниченной поверхностями:
1
+
(
=
)
ln
)
= 0.
=
.
.
=
(
= ln+
ln
)
ln
ln+ (
(
ln+ 1)+
=
.
)
.
ln
ln
.
;
=
=
, = , = 0, = ,
и удовлетворяющая граничным условиям:
|
= ,
|
= ,
Далее рассмотрим решение уравнения Лапласа для круга (задача Ди-
рихле).
Рассмотрим круг с центром в начале координат радиуса R. Искомая
функция (,
)
должна быть гармонической в рассматриваемой круге, а
|
=0,
|
= 0.
на его границе удовлетворять условию
43
непрерывная на окружности функция.
Тогда для искомой функции должно выполняться уравнение Лапласа:
+
+
Для решения данного уравнения применим метод разделения пере-
менных – метод Фурье.
Искомую функцию представим в виде:
|
= (), где ()заданная,
= 0.
=
()()
.
Тогда
()()
)
(
()
+
()
+
()
()()
+
()
()
=
+
=
(
()
()
()
)
=
()
()
.
= 0;
;
Приравнивая по отдельности каждую дробь, получим два обыкно-
венных дифференциальных уравнения:
Реши
()
+
()
м каждое уравнение по отдельности. Второе уравнение системы
+
()
(
)
= 0.
()
= 0,
есть линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Составим для него характеристическое:
+ = 0 = ±.
Тогда
Решение первого уравнения представим в виде Q
общее решение данного уравнения будет иметь вид:
()= cos
+ sin.
()
=
.
Отсюда
(1)
(
+
)
= ±.
= 0
Следо
При 0 и
След
Просуммировав по всем k
вательно,
()
=
+
скомая функция не будет являться гармонической, поэтому
()
=
, где = 1,2, …
овательно, общее решение будет иметь вид:
(,
)=(
cos+ sin
, получим общее решение:
(
=
cos+ sin
.
+
.
.
)
)
2
Для нахождения неизвестных параметров воспользуемся граничными
44
условиями:
(=
=
+
)
(
cos+ sin
)
= (
)
.
2
Данное выражение представляет из себя разложение в ряд Фурье задан-
ной на промежутке
[
, ] периодической функции (
)
. Поэтому, согласно
свойствам ряда Фурье, коэффициенты будут находиться по формулам:
1
=
();
1
=
()cos;
1
=
()sin.
Следовательно, решение уравнения Лапласа в круге будет иметь вид:
(,
1
)
=
(
1
)
+
2
Преобразуем данное выражение. Введем замену
гда выражение в скобках примет вид:
1
+
cos
=
2
Рассмотрим ряд
=
cos+
1
sin
1 cos
=
1 2cos+
При < 1 э
1
1
)
(
тот ряд будет являться сходящимся и его сумма будет равна:
=
1 cos
1
cos
2
cos
cos
sin.
1 cos+
=
1 2
=
(
2
(
)
.
= , = , то-
1
.
2
sin
1
cos+
1 2cos+
.
)
Делая обратную замену окончательно получим:
45
(,
1
)
=
(
2
)
2
Полученное решение представляет собой решение задачи Дирихле в
виде интеграла Пуассона.
Пример. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге
0 < 4, если задано условие: (4, )=
Решение. Решение задачи в данном случае будет иметь вид:
(
=
cos+ sin
Находим коэффициенты разложения:
1
=
(+ 3)=
1
=
16
(+ 3)sin=
+ 3
1
=
16
cos
1
3
=
= sin =
1
+
(2+ 3)cos
(
)+
+ 3.
)
+
.
.
2
3
2
=
2
3
.
+
+ 3 =(2+ 3)
1
cos
=
=
=
(1)
6
16
+
1
16
= 2+ 3
= cos =
= 2
1
sin
=
=
+ 3 =(2+ 3)
(2+ 3)sin
= 2
1
cos
8
=
(1)
3
+
8
1
16
+
(
2+ 3
1
16
(+ 3)cos=
1
16
(
+ 3
1
)
sin
1
)
sin
2
=
= cos =
1
(1)
3
=
1
=
16
=
= 2+ 3
=
= sin =
2
sin
(1)
3
8
=
.
1
sin
=
=
=
46
2
cos
=
(1)
4
.
=
1
16
(2+ 3
1
)
cos
+
Тогда общее решение будет иметь вид:
=
+
(1)
3
3
8
cos+
(1)
4
sin
.
Пример. Определить закон стационарного распределения температу-
ры вдоль тонкой однородной круглой пластины радиусом R, на верхней
половине которой поддерживается температура 2
, а на нижней – 1.
Решение. Согласно условиям задачи, имеем краевую задачу
+
+
= 0, 0 , 0 2,
2, 0 < ,
(= ,
)
=
1, < 0.
Находим коэффициенты разложения в ряд Фурье:
+ 2
=
1
(|
+ 2
)
|
= 3.
1
=
1
=
1
1
sin
cos
+ 2cos
+
2
sin
=
= 0.
1
+ 2sin
= 2,
2
cos
0,
2
, = 2+ 1.
=
1
(
1 (1
=
))
=
=
1
=
1
cos
sin
=
Тогда общее решение имеет вид:
(,
2
3
)
=
+
2
(
2+ 1)
(
sin
2+ 1).
Уравнение Лапласа в прямоугольнике.
Рассмотрим вначале вспомогательную задачу для уравнения Лапласа.
Пусть требуется найти решение уравнения
+
= 0,
при заданных граничных условиях:
47
()
(0, )=
, (, )=
Воспользуемся методом разделения переменных.
Пусть
(, )= ()(
Подставляя данное выражение в исходное уравнение, получим
+
Разделяем переменные:
=
Приравнивая каждую дробь по отдельности, получим два обыкно-
венных дифференциальных уравнения:
= ,
= .
Предп
оложим, что < 0, например, =
Рассмотрим первое уравнение системы, составим для него характе-
ристическое:
= 0 = ±
=
+
Теперь решаем второе уравнение системы, для которого характери-
стическое будет иметь вид:
+ = 0 = ±
Таким
образом,
=(
=
+
cos+ sin.
)(
Для нахождения неизвестных параметров воспользуемся граничны-
ми условиями:
)=(
+
+ = 0 =
)
= 0
(,
Если
Если
(, 0
)=(
+
+ = 0, то = 0, что противоречит условию.
= 0, то полученное решение тривиально, что тоже нам не
подходит.
Пусть теперь > 0, например, =
Тогда для первого уравнения характеристическое имеет вид:
+ = 0 = ±= cos+ sin.
Для вт
Тогд
орого уравнения:
= 0 = ±= +
а искомая функция
=(
cos+ sin
()
, (, 0)= (,
)
.
=0.
= .
.
cos+ sin
)
= 0
(
.
)(
+
)
= 0.
.
)
.
.
+
)
.
.
)
= 0.
Удовлетворим начальным условиям:
48
Так ка
к, 0, следовательно,
(, )=
Учитывая, что 0 и 0 (иначе решение будет тривиальным)
делаем вывод, что
= 0 = =
sin
При найденных коэффициентах, запишем искомую функцию в виде
ряда:
(,
)
=
Для нахождения оставшихся параметров вновь воспользуемся
начальными условиями:
)
(0,
=
(
Данное выражение представляет собой разложение в ряд Фурье не-
четной на промежутке
– , функции
+
Аналогично,
(,
)
=
+
Тем самым мы получили систему уравнений вида:
+
+
Решая данную систему и подставляя найденные коэффициенты
находим искомую функцию
Тепе
рь рассмотрим задачу решения уравнения Лапласа с ненулевы-
ми краевыми условиями:
(, 0)=
sin= 0.
+
2
=
+
=
2
=
,
)
+
=
.
(
= 0.
= 0.
+
)
()
()
2
()
2
= 0,
, поэтому
sin
sin
()
sin
()
sin
, = 1,2, …
sin
.
=
()
.
=
sin
.
,
.
.
()
(0, )= 0, (, )= 0, (, 0
)
=
()
, (, )=
()
.
Проведя аналогичные рассуждения, получим решение данной задачи
49
как функцию вида (,
Тогд
а общее решение искомой задачи будет являться суммой
найденных функций:
)
.
Прим
(,
)
ер. Найти решение уравнения Лапласа в прямоугольнике
(
=
, )+ (,
)
.
0 1, 0 2, удовлетворяющее краевым условиям:
(0, )= 2, (1, )= 2, (, 0)= (, 2
)
= 0.
Решение. В данном случае решение задачи будет иметь вид:
(,
)
=
+
sin
.
Находим неизвестные параметры, рассматривая систему:
+ = 2sin
,
2
+
= 2sin
2
.
Вычислим интегралы, стоящие в правой части уравнений:
2
=
2
4
2
=
2
=
= sin
2
4
= 2
2
4
+
=
2
=
2
4
(
1 (1
= 2
=
2
cos
8
(1)
4
(
+
=
+
1 (1
=
8
))
(1)
,
.
Решая полученную систему находим неизвестные параметры:
+ 2
;
)
)
.
=
4
=
4
2
1 (1
(1)
)
1
+
1
(
1 (1
))
2
.
=
.
Тогда общее решение исходной задачи будет иметь вид:
50
при = 2:
=
при = 2+ 1:
2
1
2
2
1
sin
,
4
=
(2+ 1
(
2
+ 1
4
2
)
Задания для самостоятельного решения:
1. Найти решение внутренней краевой задачи для уравнения Лапла-
са, если на границе круга задано условие: (=
2. На границе тонкой пластинки, заданной в виде кругового сектора
1, 0
=
Найти закон распределения температуры в пластинке.
)
)
(
)
()
)
2 + 2
)
1
(
1
(
(
)
+ 2
(
определена температура
2cos, = 2,
0, = 0 =
sin
()
4
(2+ 1)
sin
.
2
(2+ 1)
2
)
= 2sin
.
.