Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Уравнения математической физики. Учебное пособие-1.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«ТЮМЕНСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
М. А. Осинцева
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие
Тюмень
ТИУ
2019
ДК519.958(075.8)
У
ББК 22.171я73
О 73
Осинцева, М. А. Уравнения математической физики: учебное
O 73 пособие / М. А. Осинцева. – Тюмень: ТИУ, 2019.– 82 с.
ISBN 978-5-9961-2013-0
В учебном пособии рассмотрены основные типы уравнений математической физики и способы их решения, детально разобранные
типовые примеры, приведены задания для самостоятельного решения.
Учебное пособие рекомендуется при изучении дисциплины
«Уравнения математической физики» для студентов, обучающихся
по направлению 21.05.03 «Технология геологической разведки».
Дисциплина «Уравнения математической физики» изучается в
6 семестре. В результате изучения дисциплины, студент должен знать
основные виды задач математической физики, методы их решения;
уметь приводить физическую интерпретацию полученных результа-
тов; владеть приемами математического моделирования при решении
задач.
УДК519.958(075.8)
ББК 22.171я73
SBN 978-5-9961-2013-0 © Федеральное государственное
I
бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Тюменский индустриальный
университет», 2019
Содержание
3
ведение ............................................................................................................... 4
В
§ 1. Понятие дифференциального уравнения в частных производных ......... 5
1.1. Уравнения гиперболического типа ...................................................... 10
1.2. Уравнения параболического типа ........................................................ 10
1.3. Уравнения эллиптического типа .......................................................... 11
§ 2. Волновое уравнение ................................................................................... 16
2.1. Вывод уравнения колебаний струны ................................................... 16
2.2. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик) ....... 17
2.3. Метод Фурье (метод разделения переменных) ................................... 20
§ 3. Уравнение теплопроводности ................................................................... 30
§ 4. Уравнение Лапласа .................................................................................... 39
Индивидуальные задания ................................................................................. 51
Тестовые задания для самоконтроля ............................................................... 76
Темы для самостоятельного изучения ............................................................ 80
Список литературы .......................................................................................... .81
Введение
( )
txu ;
4
При исследовании различных физических явлений, таких как химические реакции, электрические и магнитные явления, явления механики
сплошной среды, возникает необходимость в составлении математической
модели этого явления, которая, как правило, выражается в виде дифференциального уравнения.
При составлении дифференциального уравнения, как правило, приходится пренебрегать второстепенными факторами, записывая лишь основные законы, которые определяют соответствующее физическое явле-
ние. Для более точного описания процесса необходимо знать некоторые
дополнительные условия, которые, как правило, задаются в виде началь-
ных и граничных условий.
Изучение полученной математической модели позволяет получить
качественные характеристики изучаемых физических явлений, а также проследить динамику их изменения и спрогнозировать появление новых физи-
ческих эффектов.
Как правило, ДУ в частных производных имеют бесчисленное множество решений. Поэтому, для однозначной характеристики искомой функции
необходимо задать дополнительные условия.
Для волнового уравнения и уравнения теплопроводности, дополни-
тельные условия подразделяются на начальные и краевые.
Начальные условия состоят в здании в один какой-нибудь момент
времени, с которого начинается изучение данного физического явления
(обычно при t=0), значений искомой функции и ее производной.
Краевые или граничные условия для этих задач заключаются в том,
что указываются значения неизвестной функции
ла изменения координаты х.
Если процесс протекает в бесконечном интервале изменения координаты х, то краевые условия отпадают и получается задача только с
начальными условиями – задача Коши.
Если ставится задача для конечного промежутка, то должны быть за-
даны и начальные и краевые условия – смешанная задача.
Задача математической физики считается поставленной правильно
(корректно), если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям,
существует, единственно и устойчиво (чтобы малые изменения данных за-
дачи вызывали лишь малые изменения в ее решении).
на концах интерва-
§ 1. Понятие дифференциального уравнения в частных
( )
yxuu ;=
0,,,,,,
2
2
2
2
2
=
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
yx
u
y
u
x
u
x
u
uyxF
5
производных.
Дифференциальным уравнением с частными производными называ-
ется равенство, связывающее неизвестную функцию от нескольких независимых переменных, ее частные производные по независимым переменным
и эти переменные.
Порядком дифференциального уравнения с частными производными
называется порядок старшей частной производной, входящей в это урав-
нение.
Если
, то в общем случае ДУ с частными производными
второго порядка имеет вид:
где F – известная функция.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения вида
Решение. Запишем уравнение в следующем виде
Проинтегрируем это уравнение по переменной x, считая при этом y
константой:
(
=
+ 2)=
= + 2.
= + 2.
+ 2+
,
()
.
Далее интегрируем полученное выражение по y (считая теперь x константой):
где
()
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Перепишем уравнение в следующем виде
,
(; )=
=
()
произвольные функции.
+ +
+ 2+
2
1
+
+
()
= 0.
= 0.
()
+
()
=
,
Проинтегрируем полученной выражение по переменной x:
02 =+⋅+
′
⋅+
′
⋅+
′′
⋅+
′′
⋅+
′′
⋅ gufueuducubua
yxyyxyxx
−gfedcba ,,,,,,
( )
( )
.;;;tx
tx
ψη
ϕξ
=
=
ξ
6
Это обычное линейное уравнение первого порядка, решим его мето-
дом Бернулли.
Имеем
Решая первое уравнение, получим:
+
+
= ,
1
+
=
+
=
= +
+
=
()
()
.
()
;
;
1
+
= 0,
=
()
.
=
=
=
1
|
ln|
= ln||
=
.
Вернемся ко второму уравнению системы:
1
=
()
=
=
()
=
()
+
()
()
.
Окончательно получаем
(;
)
=
()
+
()
.
Дифференциальное уравнение с частными производными называется
линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех ее
частных производных.
Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка (при
двух независимых переменных) может быть записано в следующем виде:
, (1)
где
заданные непрерывные функции от x и y.
Для упрощения исходного дифференциального уравнения, необхо-
димо сделать замену для независимых переменных:
Для этого выразим частные производные от функции u по x и y через
производные от u по
и η:
;
xxx
uu
u
η
η
ξ
ξ
′
∂
∂
+
′
∂
∂
=
′
yyy
uu
u
η
η
ξ
ξ
′
∂
∂
+
′
∂
∂
=
′
( )
=
′
′
=
′′
x
xxx
uu
=
′′
⋅
∂
∂
+
′
⋅
′
∂
∂
+
′′
⋅
∂
∂
+
′
⋅
′
∂
∂
=
′
′
∂
∂
+
′
∂
∂
=
xx
x
xxx
xx
xx
uuuuuu
η
η
η
η
ξ
ξ
ξ
ξ
η
η
ξ
ξ
xxxxxxxxx
uuuuuu
η
η
η
η
ξ
ξη
ξ
ξ
ξη
ηξ
ξ
ξ
′′
⋅
∂
∂
+
′
⋅
∂
∂
+
′
⋅
∂∂
∂
+
′′
⋅
∂
∂
+
′
⋅
′
⋅
∂∂
∂
+
′
⋅
∂
∂
=
2
222
2
2
( ) ( )
xxxxxxxxxx
uuuuu
u
η
η
ξ
ξ
η
η
ηξ
ηξ
ξ
ξ
′′
⋅
∂
∂
+
′′
⋅
∂
∂
+
′
⋅
∂
∂
+
′
⋅
′
⋅
∂∂
∂
+
′
⋅
∂
∂
=
′′
2
2
22
2
2
2
2
+
′
⋅
′
⋅
∂
∂
+⋅
′
⋅
∂∂
∂
+
′
⋅
′
⋅
∂∂
∂
+
′
⋅
′
⋅
∂
∂
=
′′
yxyxxyxyxy
y
uuuu
u
ηηξη
ηξ
ξη
ηξ
ξξ
ξ
2
222
2
2
xyxy
uu
η
η
ξ
ξ
′′
⋅
∂
∂
+
′′
⋅
∂
∂
+
( )
( )
yyyyyyyyyy
uuuuu
u
η
η
ξ
ξ
η
η
ηξ
ηξ
ξ
ξ
′′
⋅
∂
∂
+
′′
⋅
∂
∂
+
′
⋅
∂
∂
+
′
⋅
′
⋅
∂∂
∂
+
′
⋅
∂
∂
=
′′
2
2
22
2
2
2
2
( )
0,,,,2 =
′′
+
′′
+
′′
+
′′
ηξ
ηξηηξηξξ
uuuFucubua
( )
( )
22
2
yyxx
cbaa
ξξξξ
′
+
′′
+
′
=
( )
yyxyyxxx
cbab
ηξηξηξηξ
′′
+
′′
+
′′
+
′′
=
( )
( )
22
2
yyxx
cbac
ηηηη
′
+
′′
+
′
=
−F
uuu ,,
ηξ
′′
ϕ
ψ
( )
( )
02
22
=
′
+
′′
+
′
yyxx
zczzbza
7
.
Исходя из этого, выразим производные второго порядка:
Следовательно,
Аналогично:
.
Подставляя теперь найденные частные производные в исходное
уравнение, получим:
где
а
функция, линейная относительно
.
.
, (2)
;
;
,
.
Чтобы уравнение (2) приобрело более простой вид, функции
подбираются так, чтобы они являлись решениями уравнения:
и
. (3)
Теорема. Для того чтобы функция
( )
yxfz ;=
( )
kyxf =;
( ) ( )
02
22
=+− dxcbdydxdya
x
y
′
a
acbb
y−+=
′
2
a
acbb
y−−=
′
2
( )
kyx =;
ϕ
( )
kyx =;
ψ
( )
yxz ;
ϕ
=
( )
yxz ;
ψ
=
( )
( )
tx
t
x;;
ψη
ϕξ
=
=
( ) ( )
ηξηξ
ηξξηηξξη
,,,,0,,,,2 uuuuuuuFub
′′
Φ=
′′
⇒=
′′
+
′′
−Φ
uuu ,,
ηξ
′′
0
22
=
′′
−
′′
yyxx
uyux
2
xa =
0=b
2
yc −=
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
0
x
y
ydxydyx =
′
⇒=−
8
сти G удовлетворяла уравнению (3), необходимо и достаточно, чтобы семейство
было общим интегралом уравнения
в той же области G.
Таким образом, для решения уравнения (1) сначала составляют
вспомогательное уравнение (4); оно называется характеристическим
уравнением. Характеристическое уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, но второй степени.
во всех точках обла-
(4)
Разрешая его относительно
Пусть решениями данных уравнений являются соответственно
функции
и
Следовательно, функции
являются решениями уравнения в частных производных (3).
Далее, делая в уравнении (1) замену переменных
в результате чего, уравнение примет вид:
– характеристики заданного уравнения (1).
, получим два уравнения:
;
.
и
,
где
Пример. Найти решение уравнения
Решение. В данном уравнении
Составим характеристическое уравнение:
функция, линейная относительно
,
.
.
,
,
.
.
Оно распадается на два равнения:
k
x
y
x
y
y =⇒=
′
kyx
x
y
y =⇒−=
′
x
y
=
ξ
xy=
η
( ) ( )
=
′′
⋅
′
+
′′
⋅
′
+
′
⋅
′′
+
′
⋅
′
⋅
′′
+
′
⋅
′′
=
′′
xxxxxxxxxx
uuuuuu
ηξηηξξ
ηξηηξηξξ
22
2
0
2
2
3
2
22
⋅
′
+⋅
′
+⋅
′′
+⋅
−⋅
′′
+
−⋅
′′
=
ηξηηξηξξ
u
x
y
uyuy
x
y
u
x
y
u
2
2
1
2
1
xux
x
u
x
uu
yy
⋅
′′
+⋅⋅
′′
+⋅
′′
=
′′
ηηξηξξ
ξ
η
0
2
4
2
=
′
+
′′
−
ξξη
u
x
y
uy
ξξηξξη
ηξξη
uuuu
′
=
′′
⇒=
′
+
′′
− 2024
vu =
′
ξ
( )
ηξη
η
cvvv =⇒=
′
2
( )
( )
( )
( ) ( )
∫∫
+=+==⇒=
′
ηξηξξηξηξηξ
ξ
121
CCCdcdcucu
( )
xyC
x
y
Cxyu
12
+
=
−
21
,СС
( )
0,,,,2 =+
′′
⋅+
′′
⋅+
′′
⋅
yxyyxyxx
uuuyxFucubua
( )
yx;
0
2
>− acb
0
2
=− acb
02<− acb
( ) ( )
02
22
=+− dxcbdxdydya
9
Следовательно:
;
.
Тогда,
Подставляя частные производные в уравнение и заменяя
лучим:
Для того чтобы его решить, обозначим
;
.
;
.
и
, по-
;
.
, тогда:
или
Возвращаясь к старым переменным, получим:
где
произвольные функции своих аргументов.
Линейное уравнение второго порядка
имеет в точке
тип, если
гиперболический тип, если
, эллиптический тип, если
Для того, чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно
составить уравнение характеристик
.
,
(1*)
, параболический
.
,
которое распадается на два уравнения:
,02=
−+− dxacbbady
02=
−−− dxacbbady
02>− acb
( )
1
; cyx =
ϕ
( )
2
; cyx =
ψ
1
с
−
2
с
ξ
( )
yx;
ϕξ
=
( )
yx;
ψη
=
( )
ηξξη
ηξ
vvvFv ,,,,
1
=
( ) ( ) ( )( ) ( )
yxuyxyxvv ;;,;, ==
ψϕηξ
ξ
( ) ( )
2
,, yxyx
ψϕ
ξ
+
=
( ) ( )
2
,, yxyx
ψϕ
η
−
=
( )
ηξηηξξ
ηξ
vvvFvv ,,,,
1
=−
02=− acb
( )
1
, cyx =
ϕ
ξ
( )
yx;
ϕξ
=
( )
yx;
ηη
=
( )
yx,
ηη
=
10
и найти их общие интегралы.
1.1. Уравнения гиперболического типа.
(5)
, (6)
Если
Общие интегралы уравнений (5) и (6)
будут вещественными и различными,
Они определяют два различных семейства характеристик.
Вводя новые независимые переменные
уравнение приведется каноническому виду:
где
Если ввести новые переменные
для уравнения (1
болического типа:
*
, то уравнение относится к гиперболическому типу.
,
,
,
,η по правилу
,
) получим еще один канонический вид уравнения гипер-
произвольные постоянные.
,η по правилу
,
,
.
,
1.2. Уравнения параболического типа.
Если
В этом случае уравнения (5) и (6) совпадают, и их общий интеграл
будет иметь вид:
Введем новые независимые переменные
где функцию
зования
.
, то уравнение относится к параболическому типу.
.
,η по правилу
,
выбираем таким образом, чтобы якобиан преобра-
,