Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управление траекторией развития региональной эколого-экономической системы. Монография
.pdf
В результате констатируем, что аттракторы представляют собой
y(t)x(t)
x
асимптотическое решение динамической системы для анализа ее поведения на больших временах, который определяется как:
семейство решений ОДУ на основе особой точки – неподвижной,
являющейся решением соответствующей системы алгебраических уравнений, называемой устойчивым центром:
1) неподвижная особая точка (устойчивая и неустойчивая): если
решения ОДУ притягиваются
к неподвижной точке, то она является устойчивой и называется аттрактором (устойчивым узлом), если решения,
взятые сколь угодно близко к неподвижной точке, отталкиваются от нее,
но она называется неустойчивой или репеллером (неустойчивым узлом).
На рис. 44 приведен пример фазового портрета модельной системы из
единственной особой точки – устойчивого узла, при этом система
автономна, зависимость от параметров гладкая, без колебаний (осцилляторов);
0
,y0
Рис. 44. Фазовый портрет автономной динамической системы
с устойчивым узлом (аттрактором)
2) на больших временах, если решения ОДУ в ходе притягивания
к особой точке колеблются (модель маятника рис. 45), при этом колебания либо затухают (в уравнении маятника присутствует диссипативное
слагаемое) и приближаются к состоянию устойчивого равновесия (устойчивый фокус), либо расходятся, наращивая амплитуду, уходят от состояния равновесия, раскручиваясь по спирали,
от особой точки – неустойчи-
151
вого фокуса, либо просто не затухают; колебания также могут быть ма-
y(t)
)
t
р
)
y(t)
y(t)
y(t)
)
лой или большей амплитуды, или произвольными;
Малыеколебания:
d
)(ty
d
-0,5
-1
Гармонический осциллятор (для 3-х различных
Негармонические колебания затухающие (сплошные линии) и незатухающие (пунктир)
начальных условий
па
4
2
2 4 6 8 10
-2
-4
2
1
0,5 1
- 1
- 2
Колебанияпроизвольнойамплитуды:
x(t
d
)(ty
dt
-1
-0,5
Осциллятор с затуханием
dy(t
2
1
0,5
-1
- 2
3
dt
2
1
-8
t
На фазовой плоскости
2 4 6 8 -6 -4 -2
-1
-2
-3
Рис. 45. Примеры гармонических и негармонических колебаний
разной амплитуды
1
x(t)
3) неподвижные точки третьего типа – более сложное сочетание –
одна и та же особая точка может быть устойчива для одной функции x(t),
и неустойчива для второй функции фазового портрета на плоскости y(t) –
такую точку называют седлом (рис. 46);
семейство решений ОДУ на основе цикла – независимо от на-
чальных условий динамическая система
будет на бесконечных временах
выходить на определенные колебания:
152
y
x
x
Устойчивый узел
Н
Седловые точки
0
0
,y
еустойчивый узел (репеллер)
Рис. 46. Аттракторы системы симбиоза
1) решение систем трех ОДУ называется автоколебанием и
принципиально отличается от колебаний при решении одного ОДУ (линейная динамическая система) или двух ОДУ; главное отличие заключается в том, что характеристики автоколебаний (амплитуда, частота,
спектр) не зависят от начальных условий, а определяются исключительно
параметрами самой системы (как внешними, так и
внутренними); через
некоторое время расчетов, независимо от начальных условий, решение
выходит на один и тот же цикл колебаний, называемый предельным цик-
лом.
0,8
u
u
u
u
0,6
u
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
10
0
а) Решение системы трех ОДУ
20
(автоколебания)
0,4
0,6
4030
t
u
б) Аттрактор типа предельного цикла
на трехмерной фазовой плоскости
0,2
0,2
0,4
0,6
u
Рис. 47. Графические изображения решения ОДУ
с тремя неизвестными функциями
153
Аттрактор типа предельного цикла является замкнутой кривой на
x
y
xzy
фазовой плоскости (пример на рис. 47 б);
2) если динамическая система включает количество неизвестных
функций (u) больше двух, то могут появляться не только аттракторы типа
предельного цикла, но и хаотические и стохастические колебания (пример странного аттрактора Э. Лоренца (рис. 48), динамо Рикитаке, ото-
бражение
Реслера, соленоид Смейла-Вильямса и др.), для которых харак-
терна чувствительность к начальным условиям («эффект бабочки»).
z
а) Устойчивый узел решения системы
Лоренца (в ламинарном режиме –
с одинаковой скоростью)
Рис. 48. Фазовые портреты странных аттракторов Лоренца
б) Модель турбулентной конвекции
Странным его назвали потому, что он демонстрирует хаотическое
поведение детерминированной системы:
- траектории на странном аттракторе разбегаются друг от друга с
положительными экспонентами Ляпунова;
- объемы в фазовом пространстве со временем сокращаются;
- странный аттрактор обладает нецелой, дробной, так называемой
фрактальной, размерностью.
Однако если учитывать результаты развития теории хаоса, а имен-
но
систему самодостаточности, представленную в работах Пер Бака,
Чао Тана и Курта Висенфелда [16, 174, 175], в соответствии с которой
организмы эволюционируют в критические состояния, не имеющие постоянных характерных пространственных масштабов, и их поведение во
время таких самоорганизующихся критических состояний описывается
степенным законом типа фликкер-шума (розового шума, возникающего
154
из-за неоднородности в проводящей среде), а их пространственная структура является масштабно-инвариантной (фрактальной), то построение
аттрактора системы как в эволюционной, так и других фазах движения
будет сложной задачей.
Наглядным является пример иллюстрации идеи численного моде-
лирования с помощью осыпания песчинок в куче песка:
- если крутизна склона в какойновится слишком большой, находящаяся там песчинка осыпается, увлекая за собой другие песчинки (идет ассоциация с пиком повышательной
фазы длинной волны Кондратьева);
- когда все песчинки достигнут некоторого минимального устойчивого состояния, лавина прекратится (нижний предел понижательной
фазы длинной волны Кондратьева);
- добавление одной песчинки может
(свидетельство высокой зависимости от даже небольших внешних воз-
действий, что характерно для странных аттракторов).
Такие едва устойчивые состояния называются критическими состояниями системы. По сути дела это стационарные состояния пространственно разделенных систем. Осыпающиеся и останавливающиеся лавины образуют в пространстве области со структурой типа фрактальных
кластеров
ностирования и прогнозирования, а также управления такими состояниями ЭЭС подтверждает значимость полученных результатов исследования
содержания и свойств ЭЭС, ее фрактальной геометрии и аттрактора в
динамике.
обратимся к классической теории синхронизации периодических автоколебаний, в
(синхронизацию автоколебаний внешним сигналом) и взаимную синхро-
низацию (наблюдается при взаимном влиянии двух автоколебательных
систем). Считаем, что для ЭЭС, имеющей двойственную природу, свойственны оба варианта синхронизации.
свойств нелинейных систем, которое заключается в установлении определенных соотношений между характерными
фазами колебаний парциальных систем (колебательных систем с одной
степенью свободы, входящих в состав сложной системы) в результате их
взаимодействия [8. С. 4].
скую подсистемы сложной эколого-экономической системы, то необходимо дифференцировать характер колебаний компонентов этих подсис-
(от англ. cluster – гроздь) [25. С. 133]. Актуальность их диаг-
Продолжая характеристику аттракторов и их фазовых портретов,
рамках которой различают вынужденную синхронизацию
Синхронизацию рассматривают как одно из фундаментальных
Если за парциальные системы взять экологическую и экономиче-
то точке на поверхности кучи ста-
спровоцировать новую лавину
временами, частотами и
155
тем – естественных и искусственных – как набор хаотичных и предельных автоколебаний, имеющих разные временные амплитуды колебаний,
разную корреляционную размерность и управляемость в достижении цели эволюции системы.
На наш взгляд, с учетом такого диапазона возможных траекторий
колебаний одного аттрактора, складывающегося из амплитуд колебаний
разнородных, но взаимодействующих компонентов сложной ЭЭС, наиболее
достоверно будет трактовать характер аттрактора ЭЭС как аттрак-
тора со стохастическими автоколебаниями.
Стохастические осцилляторы – нелинейные диссипативные системы, в которых колебания возникают под действием «шума» (сигнал
внешнего воздействия), различают два типа стохастических осцилляторов:
- возбудимые осцилляторы – характерна генерация импульсов в
условиях, когда сигнал внешнего воздействия превышает некоторый пороговый уровень
колебания, представляющие собой случайную последовательность импульсов;
- бистабильные осцилляторы – представляет собой нелинейную
систему с двумя устойчивыми состояниями, присутствие шума приводит
к случайным переключениям системы из одного состояния в другое, что
очень напоминает как циклы биологической эволюции, так и цикличность экономического развития от состояния
расцвета и экономического «чуда».
С открытием и доказательством возможности существования хаотических (непериодических) колебаний как особых решений в динамических системах возникла проблема синхронизации таких колебаний, однако, общей теории синхронизации хаотических колебаний пока не создано, причины этого – широкий спектр различных характеристик хаотических колебаний,
неопределенности фазы и частоты хаотических колебаний [8. С. 4].
Одной из важных характеристик эффекта синхронизации является
повышение степени упорядоченности сигнала в результате синхронизации.
Пример синхронизации периодических автоколебаний: до наступления эффекта синхронизации в системе наблюдаются двухчастотные
колебания, образом которых является двумерный тор. В режиме синхро
низации реализуется режим устойчивых периодических колебаний, которому отвечает предельный цикл. Предельный цикл имеет метрическую
размерность равную единице, а тор – двойке. Такой же эффект синхронизации имеет место при синхронизации квазипериодических и хаотиче-
, в результате такая система совершает стохастические
спада, кризиса к состоянию
отсутствие единого понимания сути эффекта и наличие
-
156
ских автоколебаний, стохастическая синхронизация также приводит к
увеличению степени упорядоченности режима колебаний
Для ЭЭС, совмещающей в своей эволюции экологические и экономические законы и порядки, под аттрактором следует понимать
двойственное состояние системы (устойчивое – неустойчивое, цикличное –
нецикличное одновременно), которое может притягивать к себе траектории разной направленности в зависимости от доминирующих внешних
факторов и эластичности элементов системы к «начальным условиям»
(определение автора).
Это позволяет говорить об актуальности любого типа аттрактора
при постоянных флуктуациях и разных целях эволюции разных субъектов системы. Только согласование единой цели эволюции (или приведение разных целей к определенному согласованию) позволит выстроить
единый фазовый портрет аттрактора ЭЭС. Сложность
достижения единой цели эволюции состоит в том, что в ЭЭС соединены естественные и
искусственные компоненты, для одних присуща самоорганизация, для
других высока зависимость от внешнего воздействия и манипулируемость поведения.
Э. Лоренц считается одним из пионеров теории хаоса (анализа нелинейных систем) и последователей А. Пуанкаре, Ж. Адамара. Видными
учеными, развивающими теорию хаоса в XXI веке, были Г. Биргхоф,
A. Колмогоров, M. Каретник, Й. Литлвуд, С. Смэйл, Б. Мандельброт
(«эффект Ноя» и «эффект Иосифа», работа «Фрактальная геометрия
природы»), Дж. Глеик, Л. Ландау и Ланлау – Хопф теория турбулентности,
Д. Руедд, Ф. Тейкнс, Ван дер Поль, П. Ивес, Й. Уэд, М. Фейгенбаум и др
.
Отличие хаотических колебаний от стохастических состоит в разной корреляционной размерности (D
), вычисление которой удобно для
c
анализа временных рядов на предмет поиска в этих рядах сложных закономерностей:
constrC
D
c
log
))(log(
r
,
где C(r) – корреляционный интеграл – вероятность того, что временной ряд со-
держит пару точек, расстояние между которыми не превышает r:
1
)(
rС
N
2
;1,
jiji
,
)(
XXr
ji
где r – расстояние;
(z) – функция Хевисайда;
N – число наблюдений;
Xi, Xj – элементы выборки [123].
157
В 1963 году Э. Лоренц обнаружил подобные хаотические режимы
в нелинейной системе, описывающей атмосферную конвекцию, что опровергло постулат классической механики о том, что движение системы с
малым числом степеней свободы при отсутствии случайных внешних
воздействий должно быть упорядоченным и предсказуемым. Одновременно в нелинейных системах было обнаружено явление самоорганизации, отнесенное
тию теории динамического хаоса и синергетики [14].
Однако как соотносится детерминированный хаос как высшее проявление нелинейности и те феномены, которые этой нелинейностью порождаются – мультистабильность, фрактальность и мультифрактальность, виртуальность и самоорганизация, и как они вписываются в процесс – движение системы?
Если систематизировать отличительные
систем, то получим следующий перечень, позволяющий определить,
вследствие чего для таких систем могут быть характерны мультистабильность, мультифрактальность, виртуальность:
- нарушение принципа суперпозиции (результат одного из воздействий на систему при наличии другого воздействия оказывается не таким,
каким он был бы при отсутствии последнего), в соответствии с которым
считалось,
[40. С. 228];
- многовариантность путей эволюции, включая наличие альтерна-
тивных; с позиций нелинейности эволюция сложных систем не предопределена, открыта в будущее, внутренние преобразования систем порождают такие их состояния, когда открываются разнообразные возможности, разнообразные пути дальнейшего развертывания процессов. Подобные состояния характеризуются как
- конструктивную роль в познании нелинейных процессов играют
представления о неустойчивости и флуктуациях, при этом неустойчивость связывают с точками бифуркации, а флуктуации, даже весьма малые, определяют ветвь, по которой будет развиваться система, так как
неустойчивость системы проявляется в чувствительности к флуктуациям
[125. С. 108];
- возникновение новых свойств из
правлений течения процессов, появления непредвиденных новых структур, что особенно заметно на примере биологических систем: «Чем выше
уровень усложненности системы, чем такая система совершеннее, тем
отчетливее выступают «нелинейные» эффекты, и это, в первую очередь,
относится к биологическим иерархиям. Их важнейшей особенностью
является возникновение новых свойств, которые
к универсальным, что способствовало активному разви-
признаки нелинейных
что аддитивность причин приводит к аддитивности следствий
точки бифуркации;
-за неожиданных изменений на-
никак не могут быть
158
выделены или предсказаны на основе прямого проявления свойств тех
элементов, из которых построена рассматриваемая иерархическая система» [10];
- наличие порога чувствительности на воздействия, флуктуации,
ниже которого системы нечувствительны к воздействиям, выше которого
эффекты от флуктуаций многократно усиливаются;
ЭЭС как нелинейная система, для которой
характерен детерминированный хаос
Феномены, проявляющиеся в структуре и движении ЭЭС
мультистабильность
(множественность
состояний)
многовариантность путей
эволюции
нарушение принципа
суперпозиции
возникновение новых свойств,
непредвиденных новых структур
необратимость и случайность
неустойчивость и чувствительность
к малым флуктуациям
Признаки нелинейных систем
виртуальность
(«призраки»
движения)
самоорганизация
и турбулентность
свобода как выбор оптимального
мультифрактальность
(по примеру треугольника
Серпинского)
из множества возможного
рождение нового –
новых точек роста
разрушение отжившего,
умирающего
Функции хаоса
Рис. 49. Взаимосвязь феноменов ЭЭС и характеристик нелинейности и хаоса
- необратимость протекания материальных процессов – наглядно
проявляется в эволюции биологических систем. «Необратимость существует либо на всех уровнях, либо не существует ни на одном уровне. Она
не может возникнуть, словно чудо, при переходе с одного уровня на другой… Необратимость есть тот механизм, который создает порядок из
хаоса» [126. С. 251, 257];
159
- случайность как характеристика нелинейного мира, «нелинейно-
го мышления»: причины не всегда могут быть разумно соотнесены со
своими следствиями, во взаимосвязях в материальном мире существуют
своего рода иррациональные, несоизмеримые, независимые соотношения
(рис. 49).
Исследователи выделяют три природные функции хаоса, три его
предназначения [14]:
1) свобода как выбор оптимального из множества возможного – в
этом
видится управляемость системой – в выборе наилучшего вектора ее
развития;
2) рождение нового – новых точек роста, новых интеллектуальных
идей и новаций, новых видов материалов и технологий – опять же функция, идеально подходящая для жизнедеятельности человека как управляющего и управляемого субъекта-объекта системы;
3) разрушение отжившего, умирающего – присущая всему природному, и
ЭЭС состоит в определении вектора движения тех компонентов, элемен-
тов, для которых ни ресурсов, ни цели для продолжения траектории развития не «предусмотрено».
вование и развитие всего сущего, всего мироздания. Это функции, определяющие траекторию жизненного
моделью идеального газа в состоянии термодинамического равновесия, учитывая, что оба термина происходят от одного корня, и изначально именно представление о внутреннем состоянии газов порождает наше представление о хаосе и его природе, условиях его образования. Представим
именно на контрасте очевидна природа хаоса и его связь с порядком
(рис. 50).
мосвязью с порядком, можно утверждать, что в ЭЭС в рамках жизненного цикла системы будет встречаться и хаос и порядок, и бифуркация
аттрактор на соответствующей траектории эволюции системы как динамичной и нелинейной, для компонентов которой присущи двойственные
характеристики и смены состояний на противоположные, либо одновременно наличие ряда противоположных свойств у разных элементов системы.
человеческому обществу в том числе, функция, смысл которой для
Эти функции являются универсальными, определяющими сущест-
цикла системы, продукта, человека.
Продолжая рассмотрение хаоса, интересно его соотнесение с
результаты сопоставления хаоса и порядка, так как
В соответствии с представленным определением хаоса и его взаи-
и
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]