Специальные разделы математики. Учебное пособие

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедра «Естественнонаучные дисциплины»











УДК 517 Р64

Розенберг, В. Л. Р64 Специальные разделы математики : учебное пособие / В. Л. Розен-

берг, В. В. Башуров, П. С. Гончарь. – Екатеринбург : УрГУПС, 2024. –

106, [2] с.

ISBN 978-5-94614-582-4

Пособие содержит теоретический и практический материал по трем спе­циальным разделам математики: теории игр, математической статистике и теории принятия решений. Предназначено для методического обеспечения практических занятий студентов магистратуры всех форм обучения. Соответ­ствует ФГОС 3+, учебным планам ОП ВО направления магистратуры 10.04.01 «Информационная безопасность», может быть использовано при изучении в магистратуре и аспирантуре других математических дисциплин, в которых возникают задачи, допускающие игровую формализацию, проблемы, связан­ные с анализом данных и требующие применения статистических методов, а также ситуации, подразумевающие аргументированное принятие решений в различных условиях.

УДК 517

Издано по решению

редакционно-издательского совета университета

Авторы: В. Л. Розенберг, доцент кафедры «Естественнонаучные

дисциплины», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС

В. В. Башуров, доцент кафедры «Естественнонаучные

дисциплины», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС

П. С. Гончарь, доцент кафедры «Естественнонаучные



ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................4

1. ТЕОРИЯ ИГР ............................................................................................. 6

1.3. Антагонистические матричные игры с нулевой суммой выигры­шей. Чистые и смешанные стратегии игроков.

Возможность решения в чистых стратегиях .................................... 15

2.3. Доверительный интервал ................................................................41

2.4. Метод моментов для точечной оценки параметров

распределения ..................................................................................42

2.5. Проверка статистических гипотез ...................................................43

2.6. Однофакторный анализ ...................................................................50

2.7. Регрессионный анализ..................................................................... 56

3.1. Принятие решений: этапы, условия и классификация ..................63

3.2. Многокритериальное принятие решений ...................................... 67

3.3. Модели принятия решений .............................................................80

3

Теория игр (глава 1) применяется при рассмотрении ситуаций, когда интересы взаимодействующих сторон не совпадают и каждая сторона решает задачу достижения наилучшего для себя исхода. При­кладное значение теории игр заключается в том, что она позволяет участнику конфликта (игры) выбирать стратегию, гарантированно приводящую к наилучшему возможному результату, обосновывать компромиссные и кооперативные решения, а также прогнозиро­вать рациональное поведение противника. В пособии описываются основные понятия и формальный аппарат теории игр, приводится классификация игровых задач, основное внимание уделяется ан­тагонистическим матричным играм с нулевой суммой выигрышей, при этом анализируются возможности и условия решения в чистых и смешанных стратегиях игроков.

Математическая статистика (глава 2) – одно из направлений при­кладной математики, занимающееся обработкой данных наблюдений и экспериментов с целью изучения объективно существующих зако­номерностей и взаимосвязей. В пособии формулируются основные статистические проблемы, излагается суть выборочного метода, опи­сываются способы построения точечных и интервальных оценок не­известных параметров распределения, а также методы верификации статистических гипотез. Рассматриваются элементы однофакторного и регрессионного анализа. Приводятся соответствующие примеры. Аналитические вычисления могут быть верифицированы посредст­вом программных средств (например, в Excel).

4

статистики, экономики, менеджмента и психологии с целью изуче­ния закономерностей выбора людьми способов решения проблем и достижения оптимального результата. Основное внимание в пособии фокусируется на методах, моделях и условиях (определенности, ри­ска и неопределенности) принятия решений. В качестве ключевого примера, иллюстрирующего терминологию и конструкции теории, рассматривается прикладная задача многокритериального принятия решения по выбору оптимальной альтернативы на основе отноше­ний предпочтения и функций полезности.

Отмечается очевидная связь задач, рассматриваемых в разделах, вошедших в курс, и их сходство как в теоретической базе, так и в ме­тодах решения. В качестве ключевых дисциплин для успешного из­учения курса выделим математический анализ, алгебру, теорию ве­роятностей, дискретную математику и теорию оптимизации.

5

В зависимости от числа игроков различают игры с двумя, тремя и более участниками. Возможны также игры с бесконечным числом

6

игроков. По количеству стратегий различают конечные и бесконеч- ные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий (например, в игре в орлянку игроки имеют по два возможных хода – они могут выбрать «орел» или «решку»). В бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возмож­ных стратегий. Так, в ситуации «Продавец – Покупатель» каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и коли­чество продаваемого (покупаемого) товара. По свойствам функций выигрыша (зависимостей выигрыша каждого игрока от выбранных им самим и партнерами стратегий) выделяется ситуация, когда вы­игрыш одного из игроков равен проигрышу другого, – это модель прямого конфликта между игроками. Подобные игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми. Игры в «орлянку» или в «очко» – типичные примеры антагонистических игр. Противоположностью играм такого типа являются игры с по- стоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрыва­ют одновременно, так что им выгодно действовать сообща. Между этими крайними случаями имеется множество видов игр с ненулевой суммой, где моделируются и конфликты, и согласованные действия игроков.

7

двумя матрицами одинаковой размерности или одной матрицей, где

8

9

стической матричной игре) выбирает стратегию не рациональным, а каким-либо иным способом. В этом случае рассматривается толь­ко функция выигрыша первого игрока, а «поведение» второго игро­ка, если это возможно, характеризуется вероятностью реализации его возможных состояний (они отождествляются с «выбором» стра­тегий). Для анализа и принятия решений в таких квази-игровых си­туациях используется ряд альтернативных критериев.