Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие
.pdf
присвоим этому автомобилю значение 100. Если автомобиль оказался слишком дорогим, и мы не можем купить его, присвоим
ему значение 0. Чем доступнее цена, тем выше будет соответствующее значение:
1. Удовлетворенность Ценой (Чайка) = 0.
2. Удовлетворенность Ценой (Москвич) = 100.
3. Удовлетворенность Ценой (Лада) = 100.
4. Удовлетворенность Ценой (Волга) = 30.
5. Удовлетворенность Ценой (Газель) = 60.
Что касается числа мест, Сидоровы решили, что Чайка никак не
годится, так как в ней всего два места, а сиденья Москвича и Газели
не слишком удобны (у Газели даже похуже). По этому критерию автомобили получили следующие значения:
1. Удовлетворенность Числом Мест (Чайка) = 0.
2. Удовлетворенность Числом Мест (Москвич) = 60.
3. Удовлетворенность Числом Мест (Лада) = 100.
4. Удовлетворенность Числом Мест (Волга) = 80.
5. Удовлетворенность Числом Мест (Газель) = 20.
После выполнения аналогичных действий Сидоровыми для всех
остальных критериев полученная информация отражена в следующей таблице.
Число
мест
Чайка 0 20 0 20 0
Москвич 60 0 100 0 50
Лада 100 30 100 50 70
Волга 80 50 30 70 100
Газель 20 40 60 40 0
Безопа-
сность
Цена
Комфорта-
бельность
Объем
багажника
В этой таблице также проявляется отмеченная выше противоречивость критериев, затрудняющая принятие решения. Так, цена
вступает в противоречие с комфортабельностью и безопасностью:
более дорогие автомобили удобнее и безопаснее дешевых. Кроме
того, чем больше мест в автомобиле, тем обычно выше цена.
Между отношениями предпочтения и функциями полезности
можно определить соответствие следующим образом. Функция полезности и называется представлением отношения предпочтения
71
≥ на множестве X, если для любых х, у на множестве X таких, что х ≥ у,
=−∈
выполняется соотношение и(х) ≥ u(у).
Следующее утверждение, восходящее к результату Г. Кантора
1895 года, устанавливает важную связь предпочтений и полезностей.
Теорема. Для данного множества альтернативных вариантов функция полезности, которая является математическим представлением
отношения предпочтения, существует тогда и только тогда, когда
это отношение рационально.
Заметим, что функции полезности, приведенные в таблице для
числа мест, безопасности, комфортабельности и объема багажника,
представляют собой представления предпочтений, приведенных в
предыдущей таблице. В случае с ценой это не так: хотя Москвич и Лада
имеют полезность 100, выполняется соотношение Москвич ≥ Лада,
но не наоборот.
Отношения предпочтения рациональны, так как они обладают
свойствами полноты, транзитивности и рефлексивности (очевидно,
любой автомобиль х удовлетворяет соотношению х ≥ х).
Числовая оценка каждому критерию может быть присвоена на
основе вспомогательной функции, определенной для характеристик автомобиля, связанных с этим критерием. Допустим, чтобы оценить, в какой мере тот или иной автомобиль удовлетворяет
критерию ожидаемой цены, можно применить функцию, которая
вводится для цен. В нашем примере логично указать, что бюджет на
покупку автомобиля составляет 10 тысяч у. е., так что любая цена,
меньшая либо равная 1 тысяче у. е., будет для нас идеальной (то есть
будет удовлетворять нас на 100 %), а цена, превышающая 10 тысяч
у. е., будет совершенно неудовлетворительной (0 %). Для значений
от 1 тысячи до 10 тысяч у. е. используем линейную функцию (что
совершенно необязательно).
Согласно указанной информации математическое выражение
функции полезности цены будет таким
72
( ) (10000 )/ 90, (1000, 10000).
fp x x x
100,
если 10000
0,
если 1000
≤
x
если
≥
x
График этой функции выглядит следующим образом.
100
Удовлетворенность
0
1000 10 000
Цена
Определив функцию полезности, мы можем вычислить удовлетворенность по критерию «цена» для всех автомобилей. Обозначим цену автомобиля через «цена» (Автомобиль), вспомогательную
функцию цены – через fp (цена (Автомобиль)). Функция полезности указывает, в какой мере автомобиль удовлетворяет требованиям
Сидоровых к цене. Получаем
fp (цена (Чайка)) = fp (32000) = 0;
fp (цена (Москвич)) = fp (1000) = 100;
fp (цена (Лада)) = fp (2000) = 800/9;
fp (цена (Волга)) = fp (8000) = 200/9;
fp (цена (Газель)) = fp (4000) = 600/9.
Представленные числа отличаются от указанных в таблице. Заметим, что различные функции дают разные значения функции
полезности. Сидоровы должны выбрать функцию полезности в соответствии со своими интересами и заполнить таблицу значений
этой функции. Функция полезности цены позволяет оценить любой
автомобиль, цена которого известна, числом из интервала [0, 100].
Применяем прежнюю нотацию. И для любого автомобиля выполняется соотношение
Удовлетворенность Ценой (автомобиль) = fp (цена (автомобиль)).
Значение функции полезности возрастает с уменьшением цены:
чем она меньше, тем выше удовлетворенность. В таком случае говорят, что между ценой и полезностью существует монотонная связь.
Но так бывает не всегда – в качестве примера можно привести
73
удовлетворенность объемом багажника. Сидоровы предпочитают
вместительный багажник – к примеру, багажник объемом 1 м3 бу-
3
дет предпочтительнее багажника объемом 0,25 м
. Однако слишком
большой багажник им не нужен, и начиная с определенного объема,
его размеры будут скорее представлять неудобство. Иными словами, семье нужен вместительный автомобиль, но не фургон. В этом
случае функция полезности уже не будет монотонной в зависимости
от размеров багажника. Выше это соображение отражено присвоением Газели полезности, равной нулю.
Итак, предположим, что оптимальный объем багажника равен
1 м3. При возрастании объема до этой величины удовлетворенность
также возрастает, при превышении этого значения – убывает. Предположим, что удовлетворенность является линейной на двух промежутках по 0,2 м3 и равна нулю за пределами интервала [0,8; 1,2].
Соответствующая функция полезности будет выглядеть так
=−− ∈
( ) 100 500 1, (0,8, 1,2).
fp x x x
если 0,8
0,
если 1,2
0,
≤
x
если
≥
x
График этой функции представлен на рисунке.
100
Удовлетворенность
0
0,8 1,21
Объем
В этих примерах мы оценивали критерии на интервале [0, 100].
Однако можно использовать и другие интервалы, в том числе такие,
которые нельзя выразить в численном виде (например, возможны
оценки «очень мало», «мало», «средне», «много», «очень много»).
74
Рассмотрим процесс принятия решения, когда информация о
критериях выражена в виде отношений предпочтения. В таких случаях совокупное предпочтение определяется на основе отдельных
предпочтений по каждому критерию, после чего выбирается лучший вариант. В соответствии с этим описанием процесс принятия
решения можно разбить на три этапа:
1. Моделирование задачи. Определение альтернативных вариантов, критериев, формирование предпочтений по каждому из них.
В примере с выбором автомобиля эта информация представлена в
виде таблицы.
2. Агрегирование предпочтений. На основе предпочтений по каждому критерию определяется новое совокупное предпочтение,
в котором сводятся воедино предпочтения по разным критериям.
Полученное предпочтение называется агрегированным или общественным.
3. Выбор вариантов. На основе агрегированного предпочтения
выбирается вариант с наивысшей оценкой (оптимальный вариант).
Чтобы проиллюстрировать этот процесс, мы привели таблицу с
предпочтениями для всех критериев выбора автомобиля. В таблице
также указано самое простое из возможных агрегированных предпочтений (именно, сумма мест по критериям), которое определяется на этапе 2. На этапе 3 мы выберем Волгу, так как на основе
полученного агрегированного предпочтения автомобили будут упорядочены так
Волга > Лада > Газель > Москвич > Чайка.
В следующей таблице сведены воедино предпочтения Сидоровых
для всех рассмотренных критериев. Напомним, чем больше знаков
«+», тем предпочтительнее автомобиль по указанному критерию.
Число
мест
Чайка + ++ + ++ + + (7)
Москвич +++ + +++++ + +++ ++ (13)
Лада +++++ +++ ++++ ++++ ++++ ++++ (20)
Волга ++++ +++++ ++ +++++ +++++ +++++(21)
Газель ++ ++++ +++ +++ ++ +++ (14)
Безопа-
сность
Цена
Комфорта-
бельность
Объем
багажника
Агрегир.
предпочт.
75
Если информация о критериях выражена при помощи функций
полезности, то процесс принятия решения в общем виде выглядит
следующим образом:
1. Моделирование задачи. Определение альтернативных вариантов, критериев и полезности каждого варианта по каждому критерию. Этот шаг равносилен построению таблицы критериев и полезностей, как в примере с автомобилями.
2. Агрегирование полезностей. Для каждого варианта на основе раз-
личных критериев подсчитывается его агрегированная полезность.
3. Упорядочение вариантов. Варианты упорядочиваются по агрегированной полезности, вычисленной на предыдущем шаге.
4. Выбор вариантов. Выбор наилучшего варианта (или вариантов).
Агрегированное значение проще всего вычислить как обычную
среднюю (в некотором смысле) полезность. Проиллюстрируем описанный процесс на примере среднего арифметического. Именно
так рассчитаем агрегированную полезность для каждого автомобиля, обозначим ее функцией Агрегированная Полезность и дополним
таблицу, приведенную выше.
Число
мест
Чайка 0 20 0 20 0 8
Москвич 60 0 100 0 50 42
Лада 100 30 100 50 70 70
Волга 80 50 30 70 100 66
Газель 20 40 60 40 0 32
Безопа-
сность
Цена
Комфорта-
бельность
Объем
багажника
Агрегир.
полезность
Теперь переходим к упорядочению вариантов. Согласно значениям агрегированной полезности, которые включают всю необходимую информацию, автомобили в порядке предпочтения будут
располагаться следующим образом:
Лада > Волга > Москвич > Газель > Чайка.
Следовательно, на основе всей доступной информации наиболее
предпочтительным автомобилем для семьи Сидоровых будет Лада.
Отметим изменения в выборе и во всей цепочке по сравнению с результатами, полученными на основе агрегирования предпочтений.
76
Очевидна значимость роли субъективного фактора при выборе оптимального варианта.
В предыдущем разделе выбор наилучшего варианта был сделан на
основе функции, которая представляет собой среднее значение полезностей по разным критериям. Простейшая из таких функций —
среднее арифметическое, однако агрегировать значения полезности
можно и другими способами. Далее рассмотрим несколько ситуаций, в которых среднее арифметическое неприменимо.
1. Не все критерии одинаково важны. Общепринято, что при выборе автомобиля безопасность важнее, чем удобство. Допустим, что
даны два автомобиля, А1 и А2, с одинаковой ценой, объемом багажника и числом мест, при этом первый безопаснее, но не столь комфортабелен, второй – наоборот. В такой ситуации предпочтительным скорее окажется более безопасный автомобиль, но выразить
это предпочтение при помощи среднего арифметического нельзя.
Проиллюстрируем этот пример простой таблицей.
Число
мест
А1 100 70 100 20 80 74
А2 100 20 100 70 80 74
Безопас-
ность
Цена
Комфорта
бельность
Объем
багажника
Агрегир.
Полезность
Скорее всего, в такой ситуации предпочтут автомобиль А1, однако если применить среднее арифметическое, то общие оценки автомобилей будут одинаковыми.
2. Существуют определяющие критерии. При выборе автомобиля определяющим критерием обычно является цена. Если цена
слишком высока, то уже не важно, насколько хорош автомобиль по
остальным критериям. Иными словами, мы не сможем купить недоступно дорогой автомобиль ни при каких условиях. Так как среднее арифметическое допускает некоторую взаимную компенсацию
значений, в подобных ситуациях оно оказывается неприменимым.
3. Взаимная компенсация критериев. Мы указали, что среднее
арифметическое допускает некоторую компенсацию значений, но
не позволяет представить все возможные разновидности компенсации. Если мы оптимистичны, то хорошей оценки по единственному критерию может оказаться достаточно для того, чтобы предпочесть определенный вариант. Если, наоборот, пессимистичны,
77
то отдадим предпочтение варианту со средними оценками по всем
критериям.
4. Взаимодействие критериев. Некоторые пары рассматриваемых
критериев могут быть избыточными, например, комфортабельность
и удобство. Также могут присутствовать критерии с высокой степенью корреляции. При использовании среднего арифметического
варианты, получившие высокие оценки по таким критериям, получают преимущество. В подобных ситуациях среднее арифметическое следует заменить другими функциями агрегирования.
Как сказано выше, проблема принятия решения возникает в
силу противоречивости критериев. В результате, как правило, выделяются пары вариантов, в которых первый вариант лучше по
одному критерию, а второй – по другому. В подобных случаях мы
не можем определить, какой вариант лучше, не располагая дополнительной информацией. Однако, в некоторых ситуациях для двух
данных вариантов можно определить лучший – он будет предпочтительнее второго по всем критериям. В нашем примере с автомобилями подобная ситуация возникает при рассмотрении Москвича и
Лады, Чайки и Лады. Напомним оценки этих автомобилей по всем
критериям.
Чайка
Москвич
Лада
Число
мест
0 20 0 20 0
60 0 100 0 50
100 30 100 50 70
Безопас
ность
Цена
Комфорта-
бельность
Объем
багажника
Очевидно, Лада всегда получает как минимум те же оценки, что
Москвич или Чайка. Это означает, что Москвич или Чайка ни при
каких обстоятельствах не будут предпочтительнее Лады.
Такое отношение между альтернативными вариантами называется доминированием по Парето. Формальное определение доминирования по Парето звучит так: для двух векторов и = (u1 ..., иn)
и v = (v1 ..., vп), соответствующих оценкам двух вариантов по n критериям, говорят, что вектор u доминирует над вектором v, если для
любого критерия i выполняется соотношение vi ≤ иi, а также найдется как минимум одно значение j, для которого vj < иj.
78
Очевидно, можно аналогично определить доминирование для
случаев, когда требуется найти наименьшее значение, например
при минимизации затрат.
Отметим, что Москвич и Чайка не связаны отношением доминирования: ни один из этих автомобилей не доминирует над другим.
Следовательно, единственными отношениями такого типа будут: Чайка < Лада; Москвич < Лада. Лада всегда будет победителем в
соревновании с Москвичом и Чайкой.
В теории принятия решений интерес представляют недоминируемые варианты, только их следует принимать во внимание при
выборе. В примере с автомобилями недоминируемые варианты
таковы: Лада, Волга, Газель. Очевидно, что эти варианты являются недоминируемыми потому, что каждый из них по сравнению с
остальными оказывается более выгодным, по крайней мере, по одному из критериев: Лада выгоднее остальных автомобилей по цене,
Волга – по объему багажника, Газель опережает Ладу по безопасности, а Волгу – по цене.
Множество недоминируемых вариантов называется множеством
Парето, или границей Парето.
Если мы рассматриваем единственный критерий, то граница Парето будет состоять из одного варианта с наивысшей оценкой. Если
какой-то вариант, входящий в множество Парето, имеет более высокую оценку по одному критерию, то он обязательно будет иметь
более низкую оценку по какому-то другому критерию.
Приведем строгое определение границы Парето: для данного
множества альтернатив U, выраженных векторами и = (u
..., ип), ко-
1
торые содержат оценки по n критериям, границей Парето называется множество таких u из U, что не существует никакого другого v из
U, доминирующего над u.
Элементы границы Парето называются оптимумами по Парето.
Автоматическое обучение – раздел искусственного интеллекта, в котором рассматриваются алгоритмы и методы, позволяющие
повышать эффективность работы систем. Алгоритмы автоматического обучения извлекают из имеющегося набора данных ряд правил и закономерностей, которые могут быть полезны для принятия
решений или классификации. Пример автоматической системы
классификации – система, которая отправляет в папку «Спам»
нежелательные электронные письма. Среди алгоритмов и методов
79
автоматического обучения различают обучение с учителем, обучение без учителя и обучение с подкреплением. В обучении с учителем
для каждого элемента множества данных определен результат, который должна «выучить» система. Например, если мы хотим создать
систему определения спама, то для каждого элемента этого множества сообщений будет указано, является ли сообщение спамом или
нет. При обучении без учителя подобные результаты неизвестны. В
примере с множеством сообщений при обучении без учителя алгоритм должен самостоятельно найти отличия между сообщениями,
при этом информация о том, какие сообщения являются спамом,
отсутствует. При обучении с подкреплением существует система
поощрения и/или наказания, которая применяется по окончании
работы алгоритма. «Наказание» задействуется тогда, когда система
неверно классифицирует сообщение, а результат ее работы необходимо исправить вручную. Автоматическое обучение с учителем
связано с построением статистических моделей. В качестве примера
статистической модели можно привести линейную регрессию, рассмотренную во втором разделе данного пособия. С точки зрения обучения эта модель описывает метод обучения с учителем, в котором
результат выражен в числовом виде.
Для создания компьютерной программы, способной автоматически принимать решения при многокритериальном выборе, можно
использовать информацию о том, как решения принимают люди.
Можно сначала подготовить таблицы, как при выборе автомобиля. Значения в них определяются функциями, подобными тем, что
приведены для цены и объема багажника. Далее нужно опросить несколько человек и узнать их предпочтения. На основе информации в
таблицах и сведений о предпочтениях система автоматического обучения определяет такой способ агрегирования полезности, который
точнее всего описывает принятые решения. Построенную систему
можно назвать моделью принятия решений опрошенных людей. На
нее влияют выбранные примеры, форма таблиц и другие свойства.
Затем происходит апробация модели на новой выборке субъектов.
В задаче принятия решения, описанной выше, присутствуют две
взаимосвязанные цели: во-первых, рекомендации по выбору оптимальной альтернативы, во-вторых, моделирование процесса принятия решения человеком. Отметим, что функции полезности можно
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]