Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие
.pdf
основе полного предпорядка, можно единственным способом –
исключить, по крайней мере, одно из перечисленных условий.
Какие же условия можно исключить, чтобы определить возможные функции агрегирования предпочтений?
1. Исключить условие универсальности (C1). В этом случае некоторые порядки предпочтения кандидатов окажутся недопустимыми.
2. Исключить условие транзитивности (С2). Доказано, что
исключение этого условия не позволяет существенно улучшить решение задачи. Именно, существуют функции агрегирования, удовлетворяющие всем прочим условиям, при этом в них отсутствует
диктатор, но имеются так называемые олигархи, иными словами,
существует подмножество избирателей, которые, придя к соглашению, всегда будут определять итог выборов.
3. Исключить условие единогласия (С3). В этом случае, даже
если все избиратели предпочтут кандидата х, а не у, в итоговом списке кандидат у может располагаться выше, чем х, что абсурдно.
4. Исключить условие независимости от посторонних альтернатив (С4). Иными словами, в этом случае выбор лучшего кандидата в
паре также будет зависеть от позиций других кандидатов.
5. Исключить отсутствие диктатора (С5). Этот случай, очевидно,
соответствует диктатуре. Задача имеет решение, однако оно не относится к области общественного выбора.
Таким образом, неразумно исключать условия С2, С3, С5. Сле-
довательно, рассмотрим возможность исключения условий С1 и С4.
Исключение условия универсальности (С1)
Существуют функции агрегирования предпочтений, в которых
определенные порядки предпочтения кандидатов не допускаются.
Может показаться, что в таком случае мы ограничиваем возможность избирателей высказать свое мнение, однако такое ограничение имеет смысл и позволяет исключить слишком большие расхождения между избирателями.
Еще одно ограничение – отношение предпочтения должно
иметь единственный максимум, определенный на основе некоего
скрытого порядка следования альтернатив или кандидатов. Так,
кандидатов можно расположить вдоль оси, идущей слева направо, и
каждый избиратель может выбрать оптимальную для себя точку на
этой оси. Чем дальше кандидаты будут располагаться от этой оптимальной точки, тем меньше будет интерес избирателя к ним.
91
Например даны партии: крайне левая (КЛП), левая (ЛП), центристская (ЦП), правая (ПП) и крайне правая (КПП). Расположим
их вдоль оси, идущей справа налево (КПП > ПП > ЦП > ЛП > КЛП).
В этом случае ни один избиратель не сможет упорядочить партии
следующим образом: КПП > КЛП > ЛП > ПП > ЦП. Такой порядок
противоречит упорядоченности партий справа налево: например,
если избиратель предпочитает КПП, то предпочтение относительно остальных партий определяется полностью. Если бы избиратель
был сторонником центристской партии, то обязательно выполнялось бы соотношение ЦП > ЛП > КЛП, а также соотношение
ЦП > ПП > КПП. Отношение предпочтения с одним максимумом
не определяет порядок следования кандидатов полностью, поэтому
порядок следования, например, партий ЛП и ПП будет зависеть от
избирателя.
Для данного множества кандидатов X = {х
го посредством правила хi ≤X х
, отношение предпочтения с одним
i+1
, …, хn}, упорядоченно-
1
максимумом > определено тогда, когда найдется элемент х* такой,
что если для любых х и х'
1) х <X х' ≤X х*, то х' > х; 2) х* ≤X х' <X х, то х' > х.
Это предпочтение представлено на двух иллюстрациях ниже. Отношение в обоих случаях будет одинаковым:
А <X В <X С <X D <X Е <X F.
В первом случае избиратель предпочитает кандидата х* = А, следовательно, все прочие кандидаты окажутся менее предпочтительными и будут располагаться в порядке удаления от А. Таким образом, первый избиратель упорядочит кандидатов так: А > В > С > D >
> Е > F.
Предпочтение
х
*А В С D Е F
Во втором случае избиратель предпочитает кандидата х* = С,
следовательно, порядок его предпочтений будет таким: C > D > E >
> F, a также С > В > А. На этом бюллетене кандидаты, в соответствии
92
с иллюстрацией, будут располагаться в следующем порядке: C > B >
>D > A > E > F.
Предпочтение
А В х*С D Е F
Отношение, представленное на следующей иллюстрации, не будет иметь один максимум – четко видно, что максимумов – два.
Предпочтение
А В С D Е F
Задача Эрроу имеет решение, если число избирателей нечетно,
а их предпочтения ограничены предпочтением с одним максимумом. Тогда всем остальным условиям удовлетворяет правило большинства голосов (так называемый метод Кондорсе).
Исключение условия независимости от посторонних альтернатив (С4)
Существуют различные методы, в которых условие независимости от посторонних альтернатив не рассматривается. Так, для выбора единственного варианта из возможных применяются методы
Кондорсе и Борда.
Избирательная система, применяемая на выборах, удовлетворяет принципу Кондорсе в следующем случае: если некий кандидат
опережает всех остальных, рассмотренных по отдельности, то этот
кандидат одерживает победу на выборах.
Если говорить более формальным языком, для пары кандидатов х и у кандидат х называется общественно предпочтительным
по отношению к у, если большинство избирателей предпочитают
93
кандидата х, а не у. Следовательно, в соответствии с принципом
Кондорсе победителем станет кандидат, который будет общественно предпочтительным по отношению ко всем остальным.
Кандидат х будет более общественно предпочтительным, чем
кандидат у, тогда и только тогда, когда число избирателей, которые
предпочли кандидата х кандидату у, будет больше числа избирателей, которые предпочли у, а не х.
Метод Кондорсе определяется следующим образом:
1. Избиратель упорядочивает кандидатов в соответствии со сво-
ими предпочтениями.
2. Для каждой пары кандидатов х и у определяется, согласно ли
большинство с тем, что х лучше у. Если большинство предпочитает
х, то х будет общественно предпочтительнее у.
3. Если некий кандидат всегда выигрывает, он и станет победителем по методу Кондорсе.
Теперь покажем, как применить метод Кондорсе в рассмотренной задаче о выборе председателя студенческого совета. Напомним
порядок кандидатов в бюллетенях.
Избиратель 1 Избиратель 2 Избиратель 3 Избиратель 4 Избиратель 5
Вера Надежда Борис Надежда Надежда
Надежда Любовь Вера Вера Вера
Борис Вера Любовь Любовь Борис
Любовь Антон Надежда Антон Любовь
Антон Борис Антон Борис Антон
По методу Кондорсе сначала для каждой пары кандидатов х и у
нужно определить, кто из них предпочтительнее.
Для примера рассмотрим пару кандидатов Антон – Борис. Для избирателей 2 и 4 более предпочтительный кандидат – Антон, для избирателей 1, 3 и 5, напротив, Борис. Имеем 2 голоса за и 3 против. Следовательно, для большинства Борис предпочтительнее Антона. Проведем
аналогичные подсчеты для всех остальных пар кандидатов. Результаты попарного сравнения кандидатов приведены в таблице ниже.
Антон Борис Вера Надежда Любовь
Антон — 2 0 0 0
Борис 3 — 1 1 3
94
Антон Борис Вера Надежда Любовь
Вера 5 4 — 2 4
Надежда 5 4 3 — 4
Любовь 5 2 1 1 —
Заметим, что каждой паре кандидатов соответствует два элемен-
та матрицы: первый указывает, является ли х более общественно
предпочтительным, чем у, второй – наоборот. Разумеется, сумма
этих двух элементов равна числу избирателей. В нашем примере х
будет более общественно предпочтительным, чем у, если за х прого-
лосовало три избирателя или более. Из таблицы видно, что Надежда
оказалась общественно предпочтительнее всех прочих кандидатов.
Следовательно, именно она одержит победу по методу Кондорсе.
Напомним, что этот пример с выборами председателя совета эк-
вивалентен примеру с выбором автомобиля: мы попросту поменяли
автомобили на кандидатов, а критерии – на избирателей. Следовательно, если мы вернемся к проблеме выбора автомобиля, то по
принципу Кондорсе наиболее предпочтительным окажется Волга.
В примере из предыдущего раздела найдено решение по принци-
пу Кондорсе, однако так происходит не всегда. В некоторых ситуациях определить победителя по принципу Кондорсе невозможно,
например, если общественное предпочтение не отдается ни одному
кандидату. Рассмотрим тривиальный пример с тремя избирателями
и тремя кандидатами: Антоном, Борисом и Верой. Предпочтения
избирателей таковы.
Избиратель 1: Антон > Борис > Вера.
Избиратель 2: Борис > Вера > Антон.
Избиратель 3: Вера > Антон > Борис.
Теперь, определив для каждой пары кандидатов х и у предпочте-
ния, получим, что каждый кандидат опережает лишь одного другого, поэтому в соответствии с принципом Кондорсе на этих выборах
не будет победителя. Общественное предпочтение в этом случае
описывается отношением предпочтения, которое не является рациональным (т. е. не является полным предпорядком) по причине
отсутствия транзитивности.
Подобная ситуация, когда определить победителя невозмож-
но, известна как парадокс Кондорсе и заключается в следующем:
95
для каждого кандидата найдется другой, которого предпочтет большинство. В нашем примере имеем:
– если мы рассмотрим Антона, то большинство предпочтет Веру;
– если мы рассмотрим Веру, то большинство предпочтет Бориса;
– если мы рассмотрим Бориса, то большинство предпочтет Антона.
Существует ряд методов, которые удовлетворяют принципу
Кондорсе и при этом также позволяют найти решение в случаях,
когда решения, соответствующего принципу Кондорсе, не существует. Один из таких методов – метод Коупленда.
В методе Коупленда победителем считается кандидат, который
опережает большинство соперников (необязательно всех).
1. Каждый избиратель упорядочивает кандидатов согласно сво-
им предпочтениям.
2. Для каждой пары кандидатов х и у определяется, согласно ли
большинство с тем, что х лучше у. Если большинство предпочитает
х, то х будет общественно предпочтительнее у.
3. Для каждого кандидата определяется число соперников, кото-
рых он опережает – по мнению большинства.
4. Выбирается кандидат, одержавший верх над большинством
соперников.
Метод Коупленда допускает ничейные исходы, как, например,
в предыдущем примере с тремя избирателями и тремя кандидатами —
Антоном, Борисом и Верой. Можно заметить, что в этом случае
каждый кандидат, по мнению избирателей, опережает только одного соперника. Следовательно, по методу Коупленда все три кандидата будут равны.
В этом методе учитывается положение, которое занимает каж-
дый кандидат в избирательных бюллетенях. Формально правило
Борда определяется так:
1. Избиратель упорядочивает кандидатов согласно своим пред-
почтениям. Обозначим число кандидатов через n.
2. Для каждого бюллетеня первому кандидату присвоим значе-
ние n, второму кандидату – n–1, третьему – n–2 и так далее до последнего.
3. Для каждого кандидата вычислим сумму значений (баллов),
присвоенных на предыдущем шаге.
96
4. Выбирается победитель – кандидат с наибольшей суммой.
В примере с выборами председателя совета получим следующие
баллы.
Антон
Борис
Вера
Надежда
Любовь
Избира-
тель 1
1 2 1 2 1
3 1 5 1 3
5 3 4 4 4
4 5 2 5 5
2 4 3 3 2
Избира-
тель 2
Избира-
тель 3
Избира-
тель 4
Избира-
тель 5
Считая сумму баллов для каждого кандидата, фиксируем, по
правилу Борда, победу Надежды с результатом 21 балл.
Рассмотрим различие между методом Кондорсе и правилом Бор-
да. В приведенном выше примере результаты, полученные по методу Кондорсе и правилу Борда, совпадают, однако так происходит не
всегда, поскольку правило Борда не удовлетворяет принципу Кондорсе. Предположим, что трем избирателям нужно выбрать одного
из четырех кандидатов: Антона, Бориса, Веры и Надежды. Избиратели заполнили бюллетени следующим образом.
Избиратель 1: Борис > Антон > Вера > Надежда.
Избиратель 2: Антон > Вера > Надежда > Борис.
Избиратель 3: Борис > Антон > Вера > Надежда.
Сначала определим результат по методу Кондорсе. Для этого
нужно рассмотреть пары кандидатов и определить, какой кандидат
является наиболее общественно предпочтительным. Нетрудно видеть, что, так как общественное предпочтение наблюдается в случае,
когда мнения двух или более избирателей совпадают, большинство
сходится на том, что лучший кандидат – это Борис. Поскольку большинство считает, что Борис лучше, чем Антон, Вера и Надежда, следовательно, Борис одержит победу в выборах по методу Кондорсе.
Теперь определим исход выборов по правилу Борда. В этом слу-
чае каждому кандидату нужно присвоить определенное число баллов в соответствии с предпочтениями избирателей. Кандидаты получат следующие баллы: Антон – 3 + 4 + 3 = 10, Борис – 4 + 1 + 4 = 9,
Вера – 2 + 3 + 2 = 7, Давид – 1 + 2 + 1 = 4.
Так как по правилу Борда выигрывает кандидат с наибольшей
суммой баллов, победу одержит Антон. Поскольку победителем по
97
методу Кондорсе стал Борис, мы видим, что в общем случае исходы выборов, определенные по правилу Борда и по методу Кондорсе, будут отличаться. Если мы обратим внимание на предпочтения
избирателей, то увидим, что Антон, который оказался победителем
по правилу Борда, занимает высокое место во всех предпочтениях.
Победитель по методу Кондорсе, Борис, в бюллетене второго избирателя оказался на последнем месте. Это означает, что Антона считают хорошим кандидатом все избиратели, а вот Бориса – не все.
В этом смысле правило Борда описывает скорее общее согласие
(согласованность разных порядков предпочтения), а в методе Кондорсе основное внимание уделяется кандидату с лучшей позицией.
Отметим, что, помимо метода Кондорсе и правила Борда, существуют и другие методы агрегирования предпочтений.
Выше было показано, что в процессе принятия решений необ-
ходимо использовать функции агрегирования, объединяющие значения полезности, которые мы присваиваем каждому критерию.
Очевидно, существует множество таких функций, различающихся
в зависимости от требований к процессу принятия решения. Одной
из естественных функций агрегирования является среднее арифметическое, возможны и другие варианты. Напомним ситуации, в которых среднее арифметическое оказывается неприменимым.
1. Не все критерии одинаково важны. В качестве примера крите-
риев разной важности можно привести безопасность и комфортабельность при выборе автомобиля.
2. Существуют определяющие критерии. Покупатель не выберет
автомобиль со слишком высокой ценой, сколь бы привлекательными ни были прочие характеристики.
3. Взаимная компенсация критериев. Компенсация критери-
ев будет наибольшей, если для того, чтобы сделать выбор в пользу
определенного варианта, будет достаточно хорошей оценки всего
по одному критерию.
4. Взаимодействие критериев. Такие критерии, как «комфорта-
бельность» и «удобство», либо избыточны, либо между ними наблюдается высокая корреляция.
Существуют функции агрегирования, позволяющие представить
все эти ситуации. Рассмотрим некоторые из них на все том же примере с автомобилями. В некоторых случаях изменение функции не
приведет к изменению результата (итогового выбора). В целом пред-
98
ставленные функции обладают разными свойствами, поэтому иногда порядок следования вариантов будет отличаться. Для каждой из
этих функций можно найти частный случай, когда пара объектов на
границе Парето поменяется местами.
1. Не все критерии одинаково важны. Среднее взвешенное.
Для корректировки значимости различных критериев чаще все-
го используется расчет среднего взвешенного. Если дано n критериев C
, …, Cn, то для каждого альтернативного варианта имеем n
1
значений полезности u1, …, un. Тогда среднее взвешенное значение
(weighted mean, WM) этих критериев будет равно:
WM(u
, …, pn) – веса, или важность критериев. Веса должны быть
где (p
1
, …, un) = ∑i ui pi ,
1
положительными, их сумма равна 1.
В примере с выбором автомобиля Сидоровы могут посчитать са-
мым важным критерием безопасность (и присвоить этому критерию
вес в 0,5 от общего значения), затем – объем багажника, чтобы перевозить чемоданы во время путешествий (0,3), далее цену (0,1), число
мест (0,05) и комфортабельность (0,05).
Используя приведенную выше таблицу функций полезности,
вычислим агрегированную полезность тестируемых автомобилей:
– Агрегированная Полезность (Чайка) = (0,05 × 0 + 0,50 × 20 +
+ 0,10 × 0 + 0,05 × 20 + 0,30 × 0) = 11.
– Агрегированная Полезность (Москвич) = (0,05 × 60 + 0,50 × 0 4 +
+ 0,10 × 100 + 0,05 × 0 + 0,30 × 50) = 28.
– Агрегированная Полезность (Лада) = (0,05 × 100 + 0,50 × 30 +
0,10 × 100 + 0,05 × 50 + 0,30 × 70) = 53,5.
– Агрегированная Полезность (Волга) = (0,05 × 80 + 0,50 × 50 +
+0,10 × 30 + 0,05 × 70 + 0,30 × 100 = 65,5.
– Агрегированная Полезность (Газель) = (0,05 × 20 + 0,50 × 40 +
0,10 × 60 + 0,05 × 40 + 0,30 × 0) = 29.
Результатом этих расчетов будет следующий порядок следования
вариантов: Волга > Лада > Газель > Москвич > Чайка. Лучшим вариантом вновь оказалась Волга.
2. Существование определяющих критериев. Среднее геометриче-
ское.
Если функция полезности равна нулю в случае, когда не выпол-
няется какой-то определяющий критерий, то иногда этой нулевой
оценки достаточно, чтобы агрегированная полезность равнялась
нулю. Для описания такой ситуации можно использовать среднее
99
геометрическое (geometric mean, GM). Оно всегда равно нулю, если
нулю равно одно из исходных значений. Среднее геометрическое
определяется так
GM(u
, …, un) = (u1 ×…× un)
1
1/n
,
В примере с автомобилями получим следующие результаты:
1/5
– Агрегированная Полезность (Чайка) = (0 × 20 × 0 × 20 × 0)
– Агрегированная Полезность (Москвич) = (60 × 0 × 100 × 0 × 50)
= 0;
1/5
=
= 0;
– Агрегированная Полезность (Лада) = (100 × 30 × 100 × 50 × 70)
1/5
=
= 63.71;
– Агрегированная Полезность (Волга) = (80 × 50 × 30 × 70 × 100)
1/5
=
= 60.93;
– Агрегированная Полезность (Газель) = (20 × 40 × 60 × 40 × 0)
1/5
=
= 0.
Семья выберет Ладу, вторым вариантом будет Волга. Все осталь-
ные автомобили имеют полезность, равную нулю.
3. Взаимная компенсация критериев. Порядковые статистики.
Если один из вариантов получил хорошие оценки по достаточ-
ному числу критериев, его можно принять и в случае, когда оценки
по другим критериям невысоки. Для описания такой ситуации используют порядковые статистики.
К примеру, если полагаем, что некоторый вариант можно счесть
хорошим всего по какому-то одному критерию, то агрегированным
значением полезности будет наибольшее среди значений полезности по одиночным критериям.
– Максимальная Полезность (Чайка) = max (0, 20, 0, 20, 0) = 20.
– Максимальная Полезность (Москвич) = max (60, 0, 100, 0, 50)
= 100.
– Максимальная Полезность (Лада) = max (100, 30, 100, 50, 70) = 100.
– Максимальная Полезность (Волга) = max 80, 50, 30, 70, 100) = 100.
– Максимальная Полезность (Газель) = max (20, 40, 60, 40, 0) = 60.
По этому критерию однозначный выбор невозможен (три авто-
мобиля получили максимальные оценки). Если необходимо сделать
выбор с высокой степенью компенсации критериев, следует выбрать второе по убыванию значение функции полезности:
– Полезность-2 по порядку (Чайка) = 2-й max(0, 20, 0, 20, 0) = 20;
– Полезность-2 по порядку (Москвич) = 2-й max(60, 0, 100, 0, 50) =
= 60;
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]