Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие
.pdf
платежной матрицы (при этом, как правило, сохраняются обозначения стратегий, так как полезна проверка найденного решения на всей
исходной матрице, а не только на множестве активных стратегий).
Исключая стратегии, заведомо невыгодные для первого игрока,
действуем следующим образом. Одна из стратегий Получателя является заведомо невыгодной, когда находится другая стратегия,
дающая большие или равные платежи при любом выборе стратегии
Плательщиком. Сравнение удобно организовывать «сверху вниз»,
сравнивая первую, затем – вторую, третью (и т. д.) строки со строками, лежащими ниже нее. Подобным образом удаляются стратегии,
заведомо невыгодные для второго игрока.
Графическое сравнение зависимостей результата игры от вероятности применения игроками чистых стратегий.
Применение описанного ниже приема возможно, только если
один из игроков имеет две альтернативные стратегии (т. е. платежная матрица либо имеет только две строки, либо имеет только два столбца). Данный прием позволяет не только приближенно оценить вероятности применения этой пары стратегий
и цену игры, но и указать ту пару чистых стратегий другого игрока
(из бóльшего их количества), которая составит его смешанную стратегию, т. е. полностью определить множество активных стратегий
в игре. Таким образом проводится упрощение платежной матрицы
до размера m × n = 2×2, если этого не произошло при применении
предыдущих, более простых приемов выявления отношений доминирования между стратегиями.
При реализации этого приема используются непрерывные кусочно-линейные платежные функции, однако такую игру можно
считать конечной, потому что ее условия по-прежнему задаются
платежной матрицей. Многоактная игра, если известно, что один из
игроков имеет лишь две активные стратегии, допускает следующую
интерпретацию на основе теоремы об активных стратегиях. Указанный игрок выбирает вероятности применения двух своих активных
стратегий (сохраняя конкретные решения для каждого акта взаимодействия в тайне), а другой игрок – лишь состав активных стратегий. Полное выявление множества активных стратегий позволяет
получить решение игры для обоих игроков, т. е. не только состав,
но и вероятности применения активных стратегий. Для неактивных
стратегий эти вероятности равны нулю. В играх с «седловой» точкой
лишь пара чистых стратегий, которые являются активными, приме-
21
няется с вероятностями, равными единице; в остальных конечных
играх эти вероятности принимают промежуточные значения, дополняющие друг друга до единицы.
Рассмотрим выявление активных стратегий Плательщика (при
наличии только двух альтернатив у Получателя).
Введем обозначения: x
– вероятность применения Получателем
1
стратегии А1, т. е. доля случаев, когда Получатель намеревается использовать стратегию А1 в общем количестве проводимых игр. Аналогично, x2 – вероятность применения Получателем стратегии А2;
она непосредственно связана с x1 соотношением x1 + x2 = 1. Допустим, что Плательщик наряду с другими своими стратегиями достаточно много раз применяет стратегию В1. Тогда платежи определяются первым столбцом платежной матрицы, средняя величина µB1
таких платежей может быть вычислена так
µВ1 = а11х1 + а21х2 = а11(1 – х2) + а21х2 = а11 + (а21 – а11)х2,
где a11 и a21 – элементы первого столбца платежной матрицы.
Данная зависимость – линейная, на координатной плоскости
(по оси абсцисс откладываем x2, а по оси ординат – среднюю величину платежа) ей соответствует отрезок прямой, соединяющий точки
(0; a11) и (1; a21).
Таким образом, каждая стратегия второго игрока отображается одним отрезком на плоскости. Если одна из стратегий является
заведомо невыгодной для Плательщика по сравнению с другой, то
весь соответствующий отрезок расположен выше другого отрезка.
Отрезки, отвечающие предпочитаемым Плательщиком стратегиям,
пересекаются между собой и образуют ломаную линию, под которой нет других отрезков.
Как и в случае с однократным взаимодействием, Получатель заинтересован в максимизации среднего (по серии игр) наименьшего
из возможных платежей и может использовать для этого выбор вероятности применения своих двух стратегий. Точка (x
; ν) соот-
2опт
ветствует одной из точек пересечения отрезков, характеризующих
чистые стратегии Плательщика. Гарантией того, что своим выбором
стратегии Плательщик не может уменьшить величину среднего платежа, является наглядный факт: ниже данной точки не расположен
ни один отрезок.
С учетом найденной смешанной стратегии Получателя можно
выделить стратегии, которые будут использованы Плательщиком
22
в его смешанной стратегии – именно соответствующие им отрезки
проходят через точку (x
2опт
; ν).
Пример 1.4.1 (графическое сравнение стратегий Плательщика).
Требуется приближенно определить
А1 7 2 8
А2 5 7 4
В1 В2 В3
смешанную стратегию Получателя и
цену игры, выявить состав смешанной стратегии Плательщика и провести упрощение данной платежной матрицы (без заведомо невыгодных стратегий).
Решение
1. Найдем точки для построения графика.
= 0
x
2
x2 = 1
В1
(µ = 7 – 2x2)
(0; 7)
(1; 5)
В2
(µ = 2 + 5x2)
(0; 2)
(1; 7)
В3
(µ = 8 – 4x2)
(0; 8)
(1; 4)
2. Выполним графическое построение.
µ(x2)
9
8
7
B1
6
5
4
3
2
1
0
0 1
B2
B3
B2
М
ν
x
2опт
B1
B3
x
2
3. По результатам построения сделаем выводы.
Нижний край фигуры, под которым нет уже никаких отрезков,
образован отрезками, соответствующими стратегиям Плательщика
В2 (слева) и В3 (справа). Отрезки пересекаются в точке М.
23
Наивысшая точка описанной выше ломаной – точка М с при-
опт
опт
опт
опт
1
2
2
3
1 /3 0,33;
2 / 3 0,67;
4 / 9 0,44;
5 / 9 0,56;
16 /3 5,33.
x
x
y
y
= ≈
= ≈
= ≈
= ≈
ν= ≈
мерными координатами (0,65; 5,3). Она является точкой пересечения отрезков, соответствующих стратегиям Плательщика В2 и В3,
значит, эти стратегии являются активными.
Применение стратегии А1 с вероятностью x
и стратегии А2 с вероятностью x
≈ 0,65 гарантирует Получателю
2опт
≈ 1 – 0,65 = 0,35
1опт
средний платеж в размере ν ≈ 5,3 (или больше, если Плательщик
ошибочно будет применять стратегию В1).
Стратегия В1 предсказуемо не будет использоваться Плательщиком, так как (при найденной смешанной стратегии Получателя)
средняя величина платежа в таких актах взаимодействия окажется
больше значения ν ≈ 5,3, что ему не выгодно. Смешанная стратегия
Плательщика состоит в сочетании его чистых стратегий В2 и В3. Таким образом, достигнуто упрощение условий задачи, и из платежной матрицы можно вычеркнуть столбец, соответствующий стратегии B1 (он выделен в таблице).
В1 В2 В3 В2 В3
А1 7 2
А2 5 7 4 А2 7 4
8
~ А1 2 8
Ответ:
– вероятности применения стратегий Получателя x
x
≈ 0,65;
2опт
≈ 0,35 и
1опт
– цена игры ν ≈ 5,3;
– смешанная стратегия Плательщика состоит в применении его
чистых стратегий В2 и В3, они являются активными (столбец, соответствующий стратегии Плательщика В1, можно исключить из
платежной матрицы, так как эта стратегия не является активной).
Замечания.
Точный результат решения задачи (процесс расчета можно восстановить на основе следующего раздела):
24
Значения вероятности x
µ= +
µ=
2
2
25;
8–4 .xx
ν = µ
могут быть получены из системы уравнений
опт
(а затем x
2опт
= 1 – x
1опт
) и цены игры
2опт
Рассмотрим выявление активных стратегий Получателя (при наличии только двух альтернатив у Плательщика). Введем обозначения: y1 – вероятность применения Плательщиком стратегии В1, т. е.
доля случаев, когда Плательщик намеревается использовать стратегию В1 в общем количестве проводимых игр. Аналогично, y2 – вероятность применения Получателем стратегии В2; она непосредственно связана с y1 соотношением y1 + y2 = 1.
Допустим, что Получатель наряду с другими своими стратегиями
достаточно много раз применяет стратегию А1. Тогда платежи определяются первой строкой платежной матрицы, средняя величина
µA1 таких платежей может быть вычислена так
= а11y1 + а12y2 = а11(1 – y2) + а12y2 = а11 + (а12 – а11)y2,
µ
А1
и a12 – элементы первой строки платежной матрицы.
где a
11
Данная зависимость – линейная, на координатной плоскости
(по оси абсцисс откладываем y2, а по оси ординат – среднюю величину платежа) ей соответствует отрезок прямой, соединяющий точки
(0; a11) и (1; a12).
Таким образом, каждая стратегия Получателя отображается одним отрезком на плоскости. Если одна из стратегий является заведомо невыгодной для Получателя по сравнению с другой, то весь
соответствующий отрезок расположен ниже другого отрезка. Отрезки, отвечающие предпочитаемым Получателем стратегиям, пересекаются между собой и образуют ломаную линию, над которой нет
других отрезков.
Как и в случае с однократным взаимодействием, Плательщик
заинтересован в минимизации среднего (по серии игр) наибольшего из возможных платежей и может использовать для этого выбор
вероятности применения своих двух стратегий. Точка (y
; ν) соот-
2опт
ветствует одной из точек пересечения отрезков, характеризующих
чистые стратегии Получателя. Гарантией того, что своим выбором
стратегии Получатель не может увеличить величину среднего платежа, является наглядный факт: выше данной точки не расположен
ни один отрезок.
25
С учетом найденной смешанной стратегии Плательщика можно выделить стратегии, которые будут использованы Получателем
в его смешанной стратегии – именно соответствующие им отрезки
проходят через точку (y
Пример 1.4.2 (графическое сравнение стратегий Получателя). Требуется приближенно определить
смешанную стратегию Платель-
2опт
; ν).
В1 В2
А1 7 5
А2 2 7
А3 8 4
щика и цену игры, выявить состав
смешанной стратегии Получателя
и провести упрощение данной платежной матрицы (она получена
транспонированием матрицы из примера 1.4.1).
Решение
1. Найдем точки для построения графика.
y2 = 0 y2 = 1
А1 (µ = 7 – 2y
А2 (µ = 2 + 5y
А3 (µ = 8 – 4y
)
2
)
2
)
2
(0; 7) (1; 5)
(0; 2) (1; 7)
(0; 8) (1; 4)
2. Выполним графическое построение:
(y2)
µ
9
А2
А3
А2
L
M
А1
А3
ν
8
7
А1
6
5
4
3
2
26
1
0
0
y
2 опт
y
2
1
3. По результатам построения сделаем выводы.
опт
опт
опт
опт
1
2
1
2
5 / 7 0,71;
2 / 7 0,29;
2 / 7 0,29;
5 / 7 0,71;
39 /7 5,56.
x
x
y
y
= ≈
= ≈
= ≈
= ≈
ν= ≈
Верхний край фигуры, над которым нет уже никаких отрезков,
образован отрезками, соответствующими стратегиям Получателя А3,
А1 и А2 (слева направо). Эти отрезки пересекаются в точках L и M.
Низшая точка описанной выше ломаной – точка М с примерными координатами (0,7; 5,6). Она является точкой пересечения отрезков, соответствующих стратегиям Получателя А1 и А2, значит, эти
стратегии являются активными.
Применение стратегии В1 с вероятностью y
стратегии В2 с вероятностью y
≈ 0,7 гарантирует Плательщику
2опт
≈ 1 – 0,7 = 0,3 и
1опт
средний платеж в размере ν ≈ 5,6 (или меньше).
Стратегия А3 использоваться Получателем не будет, так как (при
найденной смешанной стратегии Плательщика) средняя величина
платежа в таких актах взаимодействия окажется невыгодной, так
как меньше значения ν ≈ 5,6. Смешанная стратегия Получателя состоит в сочетании его чистых стратегий А1 и А2. Таким образом, из
платежной матрицы можно вычеркнуть строку, соответствующую
стратегии A3 (она выделена в таблице).
В1 В2 В1 В2
А1 7 5 А1 7 5
А2 2 7 ~ А2 2 7
А3
8 4
Ответ:
– вероятности применения стратегий Плательщика B1 –
y
≈ 0,3 и B2 – y
1опт
2опт
≈ 0,7;
– цена игры ν ≈ 5,6;
– смешанная стратегия Получателя состоит в применении его
чистых стратегий А1 и А2, стратегии являются активными (строку, соответствующую неактивной стратегии Получателя А3, можно
исключить из платежной матрицы).
Замечания
Точный результат решения задачи:
27
Значения вероятности применения стратегий Плательщи-
µ=
µ= +
2
2
7–2 ;
25.yy
ка B2 y
= 1 – y
y
1опт
(а затем и применения стратегий Плательщика B1
2опт
) и цены игры ν = µ
2опт
могут быть получены из си-
опт
стемы уравнений
Аналитический поиск смешанных стратегий игроков и цены игры
в простых случаях.
Ограничимся рассмотрением платежных матриц размера
m × n = 2 × 2, не имеющих «седловой» точки. Такие матрицы довольно часто могут быть получены в результате последовательного
упрощения разнообразных, более сложных задач, с помощью приемов, описанных выше.
И первый, и второй игроки (Получатель и Плательщик) при при-
менении их смешанных стратегий должны достичь средней величины платежа ν (причем α < ν < β в серии многократных игр).
Смешанная стратегия Получателя состоит в применении его
стратегии А1 с вероятностью x1 и стратегии А2 с вероятностью x2;
смешанная стратегия Плательщика состоит в применении его стратегии В1 с вероятностью y1 и стратегии В2 с вероятностью y2. Эти
вероятности являются искомыми величинами. Между собой они
попарно связаны соотношениями x1 + x2 = 1, y1 + y2 = 1.
Предположим, что Плательщик достаточно много раз применя-
ет свою стратегию В1. Тогда для средней величины платежа должно
выполняться равенство ν = a11x1 + a21x2, где a
и a21 – элементы пер-
11
вого столбца платежной матрицы.
В качестве альтернативы примем, что Плательщик достаточно
много раз применяет свою стратегию В2. Тогда для средней величины платежа должно выполняться равенство: ν = a12x1 + a22x2, где a12
и a22 – элементы второго столбца платежной матрицы.
Рассмотрим с точки зрения Плательщика две взаимно альтерна-
тивные возможности, которые может предоставить ему Получатель:
при условии применения Получателем стратегии А1 средняя величина выплат не должна превзойти значения цены игры ν = a11y1 + a12y2,
где a
и a12 – элементы первой строки платежной матрицы; а при
11
условии применения Получателем стратегии А2 средняя величина
выплат должна составить ν = a21y1 + a22y2, где a
и a22 – элементы
21
второй строки платежной матрицы.
28
Из полученных равенств составим систему уравнений для нахо-
ν= +
ν= +
+=
11 1 21 2
12 1 22 2
12
1: ;
2: ;
1;
B ax ax
B ax ax
xx
ν= +
ν= +
+=
11 1 12 2
21 1 22 2
12
1: ;
2: ;
1.
A ay ay
A ay ay
yy
α= = = β= = = max(min( )) max(0;2) 2, min(max( )) min(4;6) 4,
ij ij
jj
ii
aa
ждения всех искомых величин, вероятностей применения стратегий
и цены игры:
ν= +
ax ax
11 1 21 2
ν= +
ax ax
12 1 22 2
+=
xx
12
ν= +
ay ay
11 1 12 2
ν= +
ay ay
21 1 22 2
+=
yy
12
;
;
1;
;
;
1.
Полученная система уравнений почти всегда является совмест-
ной и вырожденной, что позволяет искать решения задачи для Получателя и Плательщика «по отдельности» (цена игры ν должна совпасть).
Замечания.
Приближенное графическое решение таких систем описано в
предыдущем разделе. При несовместности системы или заведомо
некорректных результатах (все вероятности по определению должны быть положительными) следует вернуться к вопросу о выявлении заведомо невыгодной стратегии или заново вычислить и сравнить верхнюю и нижнюю цены игры.
Пример 1.4.3 (аналитическое решение
игры с платежной матрицей 2×2). Найти
смешанные стратегии игроков и цену игры,
если дана платежная матрица.
А1
А2
Решение
1. Убедимся, что данная матрица не имеет «седловой» точки:
α < β.
Действительно, нижняя и верхняя цены игры не совпадают.
В1 В2
0 6
4 2
29
2. Составим и решим системы уравнений для поиска смешанных
ν= +
ν= +
+=
12
12
12
1: 0 4 ;
2: 6 2 ;
1;
B xx
B xx
xx
ν= +
ν= +
+=
12
12
12
1: 0 6 ;
2: 4 2 ;
1.
A yy
A yy
yy
= =
= =
ν=
1
2
2 / 4 0,25;
3 / 4 0,75;
3;
x
x
= =
= =
ν=
1
2
1 / 2 0,5;
1 / 2 0,5;
3.
y
y
стратегий Получателя и Плательщика:
Решая системы, находим искомые величины:
3. Проведем проверку найденной смешанной стратегии Получа-
теля. Предположим, что Плательщик достаточно много раз применяет свою стратегию В1. В таких случаях средняя величина платежа
µ
В остальных случаях Плательщик применяет свою стратегию В2.
Тогда средняя величина платежа
µ
Проведем проверку найденной смешанной стратегии Платель-
щика. Предположим, что Получатель достаточно много раз применяет свою стратегию А1. В таких случаях средняя величина платежа
µ
В остальных случаях Плательщик применяет свою стратегию А2.
Тогда средняя величина платежа
µ
Ответ:
– вероятности применения стратегий Получателя x
x2 = 0,75;
– вероятности применения стратегий Плательщика y1 = 0,5 и
y2 = 0,5;
– цена игры ν = 3.
30
= 0,25 · 0 + 0,75 · 4 = 3 = ν > α = 2.
B1
= 0,25 · 6 + 0,75 · 2 = 3 = ν > α.
B2
= 0,5 · 0 + 0,5 · 6 = 3 = ν < β = 4.
A1
= 0,5·4 + 0,5 · 2 = 3 = ν < β.
A2
= 0,25 и
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]