Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие
.pdf
Y
0
:0
xy
Hr=
826k =−=
набл крит
TT>
0
xy
r ≠
общ
8 23,98 191,84Σ=⋅ =
регр
2
1,08 19,25 8 178,94Σ = ⋅ ⋅=
1
82
регр ост
22
ss>
60
40
20
X
0 20 40 60 80
2. Проверим коррелированность X и Y, используя критерий
Стьюдента. Выдвигаем нулевую гипотезу
. Вычисляем
наблюдаемое значение критерия Стьюдента
⋅−
0,97 8 2
= =
T
набл
−
1 0,97
9,1.
2
По таблице критических точек распределения Стьюдента в зависимости от уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы
находим
гипотеза отвергается,
крит
2,45T =
. Так как
, то нулевая
, выборочный коэффициент корреля-
ции значим, следовательно, X и Y – коррелированные величины.
3. Проверим значимость линейной модели, используя критерий
Фишера.
Выдвигаем нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии. Вычисляем общую сумму
регрессионную сумму
и остаточную
,
сумму, используя основное тождество дисперсионного анализа
ост общ регр
191,84 178,94 12,90Σ =Σ −Σ = − =
.
Вычисляем исправленные регрессионную и остаточную дисперсии
Так как
рия Фишера
2
s
регр
F
набл
178,94
= =
178,94,
, то вычисляем наблюдаемое значение крите-
178,94
= =
2,15
По таблице критических значе-
83,23.
2
s
ост
12,90
= =
−
2,15.
ний распределения Фишера в зависимости от уровня значимости
α = 0,05 и числа степеней свободы k
= 1 и k2 = 8 – 2 = 6 находим
1
61
5,99F =
набл крит
FF>
крит
. Так как
, то нулевая гипотеза отвергается,
значит, линейная модель значима, и вес школьников можно представить в виде линейной зависимости от обхвата груди. Отметим,
что выводы по обоим критериям согласованы.
62
Теория принятия решений (ТПР) – мультидисциплинарная область исследования, вовлекающая понятия и методы математики,
статистики, экономики, менеджмента и психологии с целью изучения закономерностей выбора людьми способов решения проблемы
и достижения оптимального результата.
«Принимать решение» означает делать сознательный выбор между разными способами достижения поставленной цели на основе
сравнительного анализа их возможных последствий. Привычные
действия не требуют специальной реакции. Сознание включается
лишь тогда, когда происходит нарушение сложившегося стереотипа
и продолжение рутинного действия становится невозможным. Подобную блокаду привычного действия принято называть проблемой.
В рамках ТПР различают нормативную теорию, которая описывает
рациональный процесс принятия решения и дескриптивную теорию, описывающую практику принятия решений. Рациональный
процесс решения включает следующие этапы:
1) ситуационный анализ (анализ проблемной ситуации);
2) идентификация проблемы (причин блокады);
3) формирование множества альтернативных способов решения
и множества оценочных критериев, их ранжирование;
4) мониторинг реализации решений, их оценивание;
5) выбор наилучшей альтернативы.
В каждом акте принятия решения существуют объективные факторы (события), влияющие на результат и не зависящие от субъекта,
принимающего решение. Иногда известны их вероятности, иногда
только оценки вероятностей (объективные, на основе статистических данных, или субъективные, на основе оценочных суждений).
В зависимости от типа и объема известной информации различают принятие решений в условиях (1) определенности, (2) риска, (3)
неопределенности; отдельно рассматривают принятие решений в
условиях (4) противодействия. Во всех случаях полагают, что в повседневной жизни проблема принятия решения возникает, когда
нам дается несколько альтернативных вариантов и нужно выбрать
63
только один из них (оптимальный согласно некоторым критериям
качества). Таким образом, выбор производится не случайно, а в соответствии с определенными критериями, при этом ТПР рассматривает совокупность процессов, связанных с выбором наилучшего
варианта из множества доступных альтернатив.
Чтобы проиллюстрировать проблематику принятия решений,
терминологию и возможные методы, подробно рассмотрим содержательный пример. Члены семьи Сидоровых решили поменять свой
импортный автомобиль и теперь выбирают ему замену из нескольких отечественных вариантов: Чайка, Москвич, Лада, Волга и Газель.
Процесс принятия решения заключается в выборе одного из этих
автомобилей. Сидоровы садятся за круглый стол, чтобы обсудить
будущую покупку. Каждый говорит о своих потребностях, которые
следует учесть. Именно эти факторы определяют критерии, позволяющие выбрать наиболее подходящий вариант. Для членов семьи
значение может иметь количество мест (в семье трое детей), безопасность и цена. Возможно, Сидоровы определили какую-то максимальную цену и не рассматривают более дорогие модели. Также
можно учесть комфортабельность автомобиля, объем его багажника
и даже максимальную скорость. Каждый из этих факторов определяет отдельный критерий, который нужно принимать во внимание
при выборе. Будем считать, что в нашем примере семья рассматривает пять следующих критериев: число мест, безопасность, цена,
комфортабельность и объем багажника.
Довольно часто в реальных ситуациях выбор оптимального варианта сопровождается различными трудностями. Обсудим некоторые из них подробнее.
Проблема № 1: противоречивые критерии. Несколько критериев принятия решения могут противоречить друг другу, и, как правило, нельзя выбрать какой-то один вариант, который будет оптимальным по
всем критериям. Следовательно, нужно найти компромиссное решение.
Например, когда мы рассматриваем автомобили, то может оказаться, что дешевая модель не слишком удобна и не так безопасна,
как остальные. Более того, связь между этими параметрами часто
оказывается обратной: чем безопаснее и комфортабельнее автомобиль, тем меньше нас будет устраивать его цена. Подобные ситуации
возникают в большинстве задач, связанных с принятием решений.
Проблема № 2: риск и неопределенность. В рассматриваемом примере результат действий субъектов, принимающих решение, изве-
64
стен, и мы оцениваем решение на основе этого результата. Иными
словами, при выборе автомобиля заранее известны его цена, объем
багажника и прочие параметры, которые и учитываются при конструировании оценки.
Однако последствия возможных решений не всегда очевидны,
например в ситуации, когда врач должен определить, какое лекарство следует прописать тяжелобольному. Эффективность и побочные
действия разных лекарств различаются, более того, следует предположить и возможность неправильной постановки диагноза.
В классической ТПР различают принятие решений в условиях
неопределенности и принятие решений в условиях риска. Принятие решения в условиях неопределенности означает, что возможные
варианты неизвестны или несопоставимы, как в примере с лекарством. Принятие решения в условиях риска означает, что любое действие ведет к нескольким возможным ситуациям (они называются
состояниями), при этом их вероятности известны, как в ситуациях,
где присутствует случайность (например, в лотерее и спортивных
соревнованиях).
Помимо неопределенности, обычно описываемой при помощи
вероятностей, рассматриваются и другие виды неопределенности.
В реальных задачах доступная информация может иметь самую
разную природу и порой оказывается нечеткой или неточной. Неопределенность может описываться не только распределением вероятностей, но и другими способами, в частности в терминах теории
нечетких множеств. Различие между классическими и нечеткими
множествами заключается в том, что в случае с классическими множествами элементы базового множества либо принадлежат им, либо
нет, в то время как для нечетких возможна частичная принадлежность.
Чтобы отличить задачи принятия решений в условиях риска или
неопределенности от задач, в которых риск и неопределенность отсутствуют, будем называть последние задачами принятия решений
в условиях определенности. Именно задачам этой группы уделяется
основное внимание в данном разделе пособия.
Проблема № 3: противодействие. Эта проблема возникает в случа-
ях, когда наши решения вступают в конфликт с решениями других
людей, которые являются нашими оппонентами и, следовательно,
пытаются противодействовать нам. Классические примеры подобных случаев — игры, основные классы которых рассматривались в
первом разделе пособия.
65
В процессе принятия решений возникают различные трудности,
задачи обладают особыми характеристиками, поэтому в ТПР выделяют несколько разделов. Далее мы перечислим эти разделы и отметим их специфику.
С одной стороны, выделяют задачи многокритериального при-
нятия решений – к ним относится задача о выборе автомобиля. В
таких задачах имеется несколько альтернативных вариантов, каждый из которых оценивается по ряду критериев. Число вариантов
и критериев является конечным. Существуют два подхода к многокритериальному принятию решений. В первом из них предполагается, что принятие решения можно формализовать, т. е. разработать
средства для его формального описания и алгоритм решения. Во
втором подходе изучаются методы, позволяющие зафиксировать и
проанализировать различия между критериями и точками зрения на
процесс решения.
С другой стороны, рассматривают задачи многообъектного принятия решений, в которых множество альтернативных вариантов
не является конечным. В задачах такого типа один из вариантов
представляет собой переменную, которая может принимать произвольное значение на определенном интервале. Пример такой
переменной – цена при продаже автомобиля, которая может принимать любое значение, скажем от 0 до 32 тысяч у. е. Еще один
пример – объем выпуска продукции. В таких случаях используются
принципиально иные методы, по сравнению с выбором из конечного множества альтернатив. Задачи с непрерывными переменными
изучаются в теории многообъектного принятия решений. Как правило, они формулируются в виде задач оптимизации и решаются
методами математического программирования, в частности, симплекс-методом в случае задачи линейного программирования.
Таким образом, в соответствии с вышесказанным мы можем
классифицировать различные задачи, связанные с принятием решений, следующим образом:
1) принятие решений в условиях определенности:
а) многообъектное принятие решений (бесконечное множество
вариантов);
б) многокритериальное принятие решений (конечное множество вариантов);
66
2) принятие решений в условиях риска и неопределенности;
3) принятие решений в условиях противодействия.
В рамках принятия решений в условиях определенности кратко
поясним специфику многообъектного варианта, основное внимание уделим многокритериальному принятию решений.
Когда множество альтернативных вариантов бесконечно, методы многокритериального принятия решений неприменимы, так
как они основаны на перечислении различных вариантов и их сравнении согласно имеющимся критериям. В этом случае формулируются задачи математической оптимизации; прежде всего, определяется функция, которую необходимо максимизировать (аналог
функции прибыли) или минимизировать (аналог функции затрат).
Кроме того, как правило, при выборе варианта необходимо учитывать ряд ограничений. Математические задачи такого типа решаются методами теории оптимизации.
В качестве примера укажем задачу о выборе одного из двух сортов
угля для выработки электроэнергии на угольной электростанции.
Каждый сорт имеет свою энергоемкость и свои недостатки (выбросы углекислого газа). Целью является получение максимального
объема энергии при соблюдении ограничений на объем выбросов.
Здесь рассматриваются непрерывные переменные, поскольку сочетание двух сортов угля может быть любым (при условии, что объем
угля каждого сорта будет положительным и ограниченным сверху).
Другой пример – задача о построении оптимального плана производства продукции нескольких видов для получения максимальной прибыли от ее реализации при соблюдении технологических
условий и ограничений на объемы сырья.
Когда мы рассматриваем множество альтернативных вариантов,
наши предпочтения выражаются двумя основными способами: с
помощью отношений предпочтения и с помощью функций полезно-
сти. Оба варианта можно использовать, например, для упорядочения автомобилей согласно нашим предпочтениям относительно
цены. Отметим, что функции полезности обычно трактуются как
математические (и количественные) представления отношений
предпочтения.
67
При выборе одного из двух вариантов, например, автомобилей
Лада или Газель, отношение предпочтения позволяет указать, что
Лада нравится нам больше, чем Газель, но это предпочтение имеет
не количественный, а качественный характер: мы не можем указать,
насколько больше он нам нравится.
Отношение предпочтения называется полным, если для каждой
пары вариантов всегда известен предпочтительный выбор; в противном случае отношение неполное. Отношение предпочтения может быть неполным из-за недостатка информации: к примеру, мы
не можем сказать, какая машина удобнее, поскольку ими не пользовались, а чужим отзывам не доверяем. Иногда отношение можно дополнить подробным анализом всех возможных вариантов (мы
можем протестировать все автомобили). Но даже в таких случаях
избежать неполноты часто не удается.
Как правило, ожидается, что отношение предпочтения обладает
свойством транзитивности: если автомобиль А предпочтительнее В, а
В – предпочтительнее С, то А предпочтительнее С. Хотя это условие
кажется совершенно ожидаемым и логичным, при опросах с целью
изучения предпочтений оказывается, что оно выполняется не всегда.
Продемонстрируем проблему транзитивности на примере. Допустим, мы хотим выпить кофе. Возможно, мы не заметим разницы
между чашкой кофе без сахара и чашкой кофе, куда бросили всего одну крупинку сахара. Аналогично, мы не почувствуем разницы
между чашкой кофе с одной и с двумя крупинками. Можно сделать
вывод: мы не заметим разницы между чашкой кофе, куда добавили определенное число крупинок, и чашкой, куда добавили на одну
крупинку больше. Однако, наверняка мы заметим разницу между
чашкой кофе без сахара и чашкой кофе, куда насыпали килограмм
сахара. Очевидно, в этом случае свойство транзитивности не выполняется.
Ниже будем предполагать, если не оговорено особо, что свойство
транзитивности выполняется всегда.
С точки зрения математики отношение предпочтения – это бинарное отношение на пространстве альтернатив X. Тогда отношение предпочтения представляет собой подмножество X × X. Если
пара элементов (х, у) принадлежит этому подмножеству, то говорят,
68
что элемент х предпочтительнее элемента у. Будем обозначать это
отношение предпочтения х ≥ у (или у ≤ х).
Отношение предпочтения является полным тогда и только тогда,
когда для любой пары х, у на множестве X либо х ≥ у, либо y ≥ x.
Отношение предпочтения является транзитивным тогда и только тогда, когда для любых х, у, z на множестве X при х ≥ у и y ≥ z
справедливо соотношение х ≥ z.
Отношение предпочтения является рефлексивным, если для любого х на множестве X справедливо х ≥ x.
В теории принятия решений отношение предпочтения, обладающее тремя указанными свойствами, называется рациональным. В
общем случае отношение, обладающее этими свойствами, в математике называется полным предпорядком. Можно заметить, что последнее свойство (рефлексивности) необязательно, так как выводится
из первого (свойства полноты).
Вернемся к примеру с автомобилями. Итак, Сидоровым нужно
решить, как упорядочить автомобили по каждому из пяти рассматриваемых критериев: число мест, безопасность, цена, комфортабельность и объем багажника. Предположим, что члены семьи
осмотрели все автомобили. Кроме того, доступна следующая информация:
1. Чайка – двухместный вариант, изготовленный в 1960 году по
индивидуальному заказу. Указано, что автомобиль находится в хорошем состоянии и стоит 32 тысячи условных единиц (у. е.).
2. Москвич 1980 года выпуска находится не в лучшем состоянии
и стоит 1 тысячу у. е.
3. Лада была выпущена в 1990 году и стоит 2 тысячи у. е.
4. Волга была изготовлена в 1970 году и стоит 8 тысяч у. е.
5. Газель – фургон, выпущенный в 2000 году, ценой 4 тысячи у. е.
Сидоровы обсудили преимущества и недостатки всех автомобилей по пяти рассматриваемым критериям и расположили их в
порядке предпочтения, как указано ниже. Будем обозначать отношение предпочтения знаком – ≥. Так, если автомобиль A предпочтительнее B, то A ≥ B. Пусть имеют место следующие оценки:
1. По числу мест: Лада ≥ Волга ≥ Москвич ≥ Газель ≥ Чайка.
2. По безопасности: Волга ≥ Газель ≥ Лада ≥ Чайка ≥ Москвич.
3. По цене: Москвич ≥ Лада ≥ Газель ≥ Волга ≥ Чайка.
69
4. По комфортабельности: Волга ≥ Лада ≥ Газель ≥ Чайка ≥ Мо-
сквич.
5. По объему багажника: Волга ≥ Лада ≥ Москвич ≥ Газель ≥
Чайка.
Эта информация представлена в таблице ниже. Чем предпочтительнее автомобиль, тем больше знаков «+» в соответствующей
ячейке таблицы.
Число
мест
Чайка + ++ + ++ +
Москвич +++ + +++++ + +++
Лада +++++ +++ ++++ ++++ ++++
Волга ++++ +++++ ++ +++++ +++++
Газель ++ ++++ +++ +++ ++
Безопа-
сность
Цена
Комфорта-
бельность
Объем
багажника
Задача заключается в том, чтобы выбрать лучший автомобиль
на основе приведенной информации. Упорядочить автомобили от
лучшего к худшему по большинству указанных критериев поможет
так называемая теория общественного выбора. Ниже покажем, как
это делается, а пока отметим, что некоторые критерии противоречат
друг другу: Москвич – лучший автомобиль по цене, но худший по
безопасности и комфортабельности; Волга – напротив, лучший по
безопасности и комфортабельности, но второй по дороговизне. A
Чайка получила низкие оценки почти по всем критериям (очевидно, что Сидоровым не очень понравился раритетный автомобиль,
выпущенный в 1960 году).
Очевидно, что если учитывается только один критерий, то подобных трудностей не наблюдается. Так, если нас интересует только
цена, то можно упорядочить автомобили по этому критерию и купить самый дешевый.
Функции полезности позволяют оценить предпочтения количественно, так как дают числовую оценку всех рассматриваемых
вариантов. Присвоим значение 100 автомобилю, который полностью удовлетворяет нас по некоторому критерию, значение 0
– автомобилю, который нас совершенно не удовлетворяет. Так,
если цена некоторого автомобиля устраивает нас на все 100 %,
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]