Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие
.pdf
рассматривать как математические модели предпочтений людей, а
выбор функции агрегирования – как способ моделирования синтеза информации, выполняемого людьми. Зная функции, неявно
используемые для принятия решения, можно понять, как связаны
между собой альтернативные варианты, и определить, когда критерии компенсируются, а когда – нет.
При построении модели (системы или компьютерной программы, которая помогает принять решение) мы определяем свойства,
которыми она должна обладать. Это свойства, которые мы либо
сами считаем «хорошими», либо регулярно замечаем в окружающем
нас мире. Однако при построении модели не всегда понятно, какие
свойства в нее следует включить: если мы моделируем поведение
человека или группы людей, следует задаться вопросом: должна ли
модель абсолютно достоверно описывать все принимаемые решения и воспроизводить все разновидности поведения? Далее обсудим
этот вопрос более подробно.
Ранее показано, что свойство транзитивности – это одно из необходимых свойств, которыми должны обладать отношения предпочтения. Транзитивность означает, что если для трех альтернативных
вариантов х, у, z выполняются соотношения х ≥ у и у ≥ z, то должно
выполняться и соотношение х ≥ z. Мы также рассмотрели пример с
сахаром в кофе, где свойство транзитивности не выполняется.
Допустим, что мы купили сахар в достаточно больших крупинках, чтобы разница в одну крупинку сахара в кофе была незаметной, а разница в две крупинки уже ощущалась. В частности, чашка
кофе с одной крупинкой сахара будет для нас предпочтительнее,
чем с тремя крупинками. Однако мы не различаем ни чашки кофе
с одной и двумя крупинками, ни чашки с двумя и тремя крупинками. Следовательно, так как разница в одну крупинку для нас неразличима, выполняется соотношение 3 крупинки ≥ 2 крупинки и
2 крупинки ≥ 1 крупинка, но соотношение 3 крупинки ≥ 1 крупинки уже не будет выполняться, так как в этом случае разница будет
заметна.
Очевидно, что парадоксальность этой ситуации объясняется человеческой природой: стимулы ощущаются только при превышении определенного порога. Следовательно, соблюдение транзитивности в некоторых сценариях оказывается проблематичным.
81
Задачи такого типа в 1956 году рассмотрел математик и социолог
Д. Люче, который ввел понятие безразличия. Основная идея Д. Люче
заключалась в том, чтобы представить ситуацию, в которой упорядочить пары вариантов нельзя.
Предположим, что существует человек, для которого чашка кофе
с одним кубиком сахара предпочтительнее, чем чашка кофе с двумя кубиками сахара. Приготовим 101 чашку кофе, куда добавим
(1+i/100)x граммов сахара, где i = 0, 1, ..., 100, а х — вес одного кубика сахара. Испытуемый не ощутит разницы между чашками под
номерами i и i+1, однако разница между чашками под номерами
i = 0 и i = 100 будет для него ощутимой.
Формально определим отношение безразличия. Будем называть
альтернативные варианты х и у безразличными тогда и только тогда, когда х не предпочтительнее у, а у не предпочтительнее х. Будем
обозначать строгое предпочтение для пары альтернативных вариантов х и у как х < у, безразличие между х и у как х ~ у. Тогда при х ~ у
не выполняется ни х < у, ни у < х.
Отношения ~ и < должны обладать рядом свойств, при соблюдении которых эта пара отношений называется полупорядком.
Пара отношений ~ и < определяет полупорядок, если выполняются следующие условия:
– отношение < не обладает рефлексивностью, т. е. х < х никогда
не выполняется;
– композиция отношений < ○ ~ ○ < включена в отношение <;
– композиция отношений < ○ < ○ ~ включена в отношение <.
Для двух отношений А, В на множестве X (иными словами, А и В
представляют собой подмножества X × X), композиция отношений
А ○ В определяется так: хА ○ Ву тогда и только тогда, когда существует элемент z множества X такой, что xAz и zBy. Например, композиция х < ○ ~ у определена тогда и только тогда, когда существует
элемент z такой, что х < z и z ~ у.
Ранее отмечено, что для любого отношения рационального
предпочтения существует функция полезности, описывающая это
отношение. Д. Люче доказал аналогичный результат для отношений, включающих отношение безразличия. Он связал приведенные
отношения с функцией полезности и показал, что мы предпочитаем
82
один вариант другому тогда, когда разница в полезности превышает
определенное значение. Если же эта разница не превышает порогового значения, варианты будут для нас безразличными. Далее рассмотрим представление отношений предпочтения с безразличием.
Функция полезности U описывает отношение строгого предпочтения > на множестве X, если для любых х, у из X таких, что х > у,
выполняется соотношение U(x) – U(y) > 1.
Теорема Люче, связывающая отношение предпочтения с безразличием и функцию полезности, утверждает, что для данного множе-
ства альтернативных вариантов функция полезности, которая является представлением отношения предпочтения, существует тогда и
только тогда, когда это отношение является полупорядком.
Для данного рационального предпочтения можно определить
сразу несколько описывающих его функций полезности. Более
того, одно и то же предпочтение будет результатом любого монотонного преобразования полезности.
Допустим, что мы рассматриваем безопасность автомобилей и
наши предпочтения таковы: Волга > Газель > Лада > Чайка > Москвич. Полезность определяем так же, как и выше; в порядке убывания: 50, 40, 30, 20, 0. Отметим, что в этом случае можно выбрать
любые другие значения полезности при условии, что варианты будут располагаться в указанном выше порядке.
Когда рассматриваются отношения предпочтения с безразличием, выбор функций полезности ограничен. Так, уже не устраивает
произвольное монотонное преобразование полезности. К примеру,
для рациональных отношений предпочтения можно изменить масштаб функции полезности, умножив или разделив ее значения на
некоторое число и возведя их в квадрат. В любом из этих случаев
предпочтение будет одинаковым. Если же мы рассматриваем предпочтения с безразличием, возможны различные варианты. Пусть отношение х ~ у означает, что либо U(x) – U(y) < 1, либо U(y) – U(x) < 1.
В этом случае корректными значениями функции полезности будут
U(x) = 0,9, U(y) = 1,8. Если же мы определим новую полезность U
как полезность U, увеличенную в 100 раз, то получим U
U
(y) = 180, и отношение х ~ у уже не будет выполняться. Анало-
100
(x) = 90,
100
100
гичная ситуация возникает при возведении полезности в квадрат.
Таким образом, рассмотрены две основные модели: в первой отношение предпочтения обладает транзитивностью, во второй тран-
83
зитивности нет, но наблюдается частичный порядок. Это соответственно, модели рационального предпочтения и полупорядка. Также
существуют модели, в которых выбор имеет случайную составляю-
щую. Иными словами, для данной пары альтернативных вариантов
некий человек или множество людей не всегда выберут один и тот
же вариант – их выбор будет описываться неким распределением
вероятностей. Выше уже отмечено, что для конкретного отношения
предпочтения существует функция полезности определенного вида.
Такие же функции существуют и для случаев, когда предпочтения и
выбор описываются неким распределением вероятностей; при этом
значения полезности также ограничены отношениями предпочтений на основе полупорядков.
Модели представляют собой лишь приближенное, часто абстрактное, описание реального процесса принятия решений. Следовательно, при сравнении результатов моделей с реальностью наблюдаются расхождения. Абсолютная точность достигается лишь
в очень редких случаях. Ошибка, т. е. расхождение между тем, что
происходит на самом деле, и тем, что должно произойти согласно
модели, может быть вызвана более или менее случайными причинами или недостатками самой модели. Во втором случае стоит
заменить модель другой, с новыми свойствами. Однако не всегда
очевидно, когда следует сменить модель – для этого необходимо
определить, что исходные гипотезы нарушаются не случайно, а систематически. Если решения, предлагаемые моделью, ошибочны,
всегда можно попытаться подобрать другую, более сложную модель,
где эти ошибки исправлены, на практике такой подход не всегда
оказывается удачным. Для объяснения ошибок моделей используются понятия систематической ошибки и дисперсии, а проблема выбора модели изучается с помощью автоматического обучения.
Систематическая ошибка модели заключается в том, что модель
отражает лишь некоторые аспекты реальности. Так, модель Д. Люче
позволяет выразить безразличие, т. е. характеристику, которую
нельзя представить в модели с рациональными отношениями предпочтения. Аналогично, когда мы выполняем агрегирование полезности при помощи среднего взвешенного, то можем представить
ситуации, в которых критерии имеют разные веса. Если мы применим, в прогностических целях, агрегирование при помощи среднего
арифметического и среднего взвешенного, то в случае со средним
84
взвешенным систематическая ошибка будет меньше. Для данной
функции f, модели D, аппроксимирующей функцию f, и значения
(входного значения функции и модели) систематическая ошибка
x
0
модели D для x0 определяется так
Систематическая Ошибка (D(x
где M(D(x
)) обозначает соответствующее математическое ожидание.
0
)) = M(D(x0)) – f(x0),
0
Еще одна важная характеристика рассматриваемых моделей –
дисперсия итоговых значений. Если дисперсия велика, то в среднем
корректная модель может выдавать значения, достаточно далекие
от нужных. Для данной функции f, модели D, аппроксимирующей
функцию f, и значения x0 (входного значения функции и модели)
дисперсия модели D для x0 определяется согласно классической
формуле
Дисперсия (D(x
)) = M[D(x0) – M(D(x0))]2.
0
В общем случае интерес представляют модели с малой систематической ошибкой и малой величиной дисперсии, то есть модели,
в которых возвращаемое значение в среднем близко к ожидаемому,
а ошибка, как правило, невелика.
Предположим, что компьютерная программа научилась принимать решения на основе нескольких примеров, описанных участником исследования, пытаясь делать это так же, как опрошенный.
Систематическая ошибка будет наблюдаться, если определенные решения, принимаемые программой, всегда будут неудачными; например, потому, что она не «понимает», что цена автомобиля слишком
высока, и, несмотря на высокие оценки по остальным критериям,
участник исследования никогда не выберет этот автомобиль. Для системы характерна высокая дисперсия, если ее решения значительно
отличаются друг от друга. Опишем возможность компромисса между
систематической ошибкой и дисперсией при построении моделей.
Чем сложнее модель, тем меньше ее систематическая ошибка.
Рост сложности означает, что модель имеет больше параметров и
больше возможностей адаптироваться к ситуации или экспериментальным данным. В частности, если необходимо, чтобы компьютерная система воспроизводила решения группы людей, то с увеличением сложности модели ее прогнозы будут все точнее описывать
реальные решения.
85
Транзитивная модель проще, чем модель Д. Люче, поэтому в
системе, созданной на основе модели Д. Люче, систематическая
ошибка может быть меньше, чем в системе, построенной на транзитивной модели. Однако в результате роста сложности определить
систему будет труднее, кроме того, может существенно возрасти дисперсия. При построении компьютерной системы на основе множества данных или результатов экспериментов система будет вести
себя по-разному в зависимости от того, какие данные мы использовали при ее построении. Чем выше сложность модели, тем больше
будут отличаться построенные системы при изменении данных; в
результате возрастет дисперсия. Итак, по мере увеличения сложности систематическая ошибка, как правило, уменьшается, но дисперсия возрастает. Следовательно, если хотим обеспечить приемлемые систематическую ошибку и дисперсию, нужно искать некую
точку равновесия.
В автоматическом обучении при построении моделей на основе исходных данных эффективность работы модели оценивается на
тестовом множестве. Оценка производится следующим образом.
Дается несколько примеров, для которых результат работы модели известен. Эти примеры делятся на две группы: примеры первой
группы используются для построения модели, примеры второй
группы – для последующей оценки. Первая группа называется обучающим множеством, вторая – тестовым множеством. Когда модель определена, мы поочередно рассматриваем все примеры из тестового множества и убеждаемся, что результат работы совпадает с
ожидаемым.
Рассмотрим множество из 100 клиентов автосалона. Для каждого клиента укажем всю информацию о критериях, предпочтениях
и о принятом решении, то есть о том, какой автомобиль он в итоге купил. Разделим это множество данных на две группы. Пусть
в первую группу войдут 70 клиентов, во вторую – 30 оставшихся.
Первая группа станет обучающим множеством, вторая – тестовым.
Далее передадим данные о 70 клиентах компьютерной программе,
которая построит нашу модель принятия решений клиентами. Эта
программа будет задавать клиентам ряд вопросов и рекомендовать
автомобиль в зависимости от полученных ответов. Чтобы оценить
ее работу, проверим данные о 30 оставшихся клиентах (т. е. тестовое
множество) и посмотрим, какими окажутся рекомендации. Так как
выбор этих 30 клиентов известен, мы сможем определить, верное ли
решение приняла разработанная модель. Чем сложнее модель, тем
86
больше результаты ее работы будут совпадать с решениями 70 клиентов из обучающего множества. Систематическая ошибка уменьшится, но отклонение результатов для оставшихся 30 клиентов,
скорее всего, возрастет, т. е. увеличится дисперсия.
В этом разделе опишем несколько способов определения агрегированных предпочтений и агрегированных полезностей для принятия решений по выбору оптимального варианта в многокритериальных задачах.
Теория общественного выбора – это дисциплина, которая изучает
агрегирование предпочтений, т. е. определение совокупного предпочтения, учитывающего все элементы исходного множества предпочтений.
Проблема агрегирования возникает, когда выражается мнение по
различным критериям при помощи отношений предпочтения. В таком случае выбрать оптимальный вариант можно, например, объединив множество отношений предпочтения в одно агрегированное
отношение (как в примере с покупкой автомобиля).
Подобные проблемы возникают и в других контекстах, например, когда группа людей (каждый со своими предпочтениями)
должна принять общее решение. В качестве типичного примера
можно привести голосование на выборах. Рассмотрим рейтинговое
голосование как один из методов общественного выбора (в этом
случае альтернативными вариантами будут различные кандидаты).
Отметим, что в теории общественного выбора, как правило, говорят об избирателях и кандидатах, которые, соответственно, аналогичны критериям и альтернативным вариантам в многокритериальных задачах принятия решений. В обоих случаях, несмотря на
разницу в областях применения, используются одни и те же математические модели и методы агрегирования. Рассмотрим избирателей, которые располагают кандидатов в порядке предпочтения, и
свяжем этот процесс с критериями упорядочения альтернативных
вариантов. Чтобы проиллюстрировать соответствие между этими
двумя типами задач, используем следующий пример. Пять членов
студенческого совета (пять избирателей) должны выбрать предсе-
87
дателя. Кандидаты – Антон, Борис, Вера, Надежда и Любовь. Пять
избирателей должны записать в своих бюллетенях кандидатов в порядке предпочтения. Результаты голосования оказались такими.
Избиратель 1 Избиратель 2 Избиратель 3 Избиратель 4 Избиратель 5
Вера Надежда Борис Надежда Надежда
Надежда Любовь Вера Вера Вера
Борис Вера Любовь Любовь Борис
Любовь Антон Надежда Антон Любовь
Антон Борис Антон Борис Антон
Представим результаты в виде списка избирателей и кандидатов
и укажем, какое место занял каждый кандидат в списках избирателей. Получим следующую таблицу.
Антон
Борис
Вера
Надежда
Любовь
Избира-
тель 1
5 4 5 4 5
3 5 1 5 3
1 3 2 2 2
2 1 4 1 1
4 2 3 3 4
Избира-
тель 2
Избира-
тель 3
Избира-
тель 4
Избира-
тель 5
Эта таблица эквивалентна приведенной ниже таблице для пяти
критериев выбора автомобиля.
Антон /
Чайка
Борис /
Москвич
Вера /
Лада
Надежда /
Волга
Любовь /
Газель
Избира-
тель 1 /
Число мест
+ ++ + ++ +
+++ + +++++ + +++
+++++ +++ ++++ ++++ ++++
++++ +++++ ++ +++++ +++++
++ ++++ +++ +++ ++
Избира-
тель 2 /
Безопасность
Избира-
тель 3 /
Цена
Избира-
тель 4 /
Комфорта-
бельность
Избира-
тель 5 /
Объем
багажника
88
Потребуем, чтобы метод работал следующим образом: если все
предпочитают вариант х, а не у, то в итоге вариант х должен быть
предпочтительнее у. Методы агрегирования можно определить разными способами. Так, можно указать множество условий, которые
кажутся «естественными», и установить, какие методы удовлетворяют этим условиям. Такому подходу соответствует теория Эрроу, которая определяет, какие именно условия «кажутся естественными».
Впрочем, позднее Эрроу доказал, что не существует модели общественного выбора, удовлетворяющей всем таким условиям.
В теореме Эрроу предполагается, что число избирателей конечное и больше единицы, а число кандидатов равно трем или более.
Разумеется, в случае с единственным избирателем окончательное
решение принимает именно этот избиратель, и проблема выбора
отсутствует. Если же кандидатов всего двое, то для принятия решения будет достаточно простого большинства голосов. Следовательно, имеем следующее условие, которое обозначим С0.
С0: а) число избирателей конечно и больше единицы;
б) число кандидатов больше либо равно трем.
Первое условие, которое мы рассмотрим, касается возможных
вариантов упорядочения кандидатов в бюллетенях избирателей.
Допускается любой полный предпорядок (или рациональное отношение предпочтения), иными словами, избиратель может расположить кандидатов в любом порядке. Избиратель может даже указать,
что несколько кандидатов для него одинаково предпочтительны.
Будем называть описанное условие условием универсальности и
обозначим его через С1.
С1 – универсальность. Избиратели могут указать любой порядок
кандидатов при условии, что этот порядок будет полным предпорядком.
Второе условие: результат агрегирования также должен представлять собой упорядоченный список кандидатов, обладающий теми
же свойствами, что и списки, составленные избирателями, причем
несколько кандидатов в списке также могут быть одинаково предпочтительными. Результат агрегирования будет представлять собой
полный предпорядок. Будем называть описанное условие условием
транзитивности и обозначим его через С2.
С2 – транзитивность. Результат агрегирования – полный предпорядок.
89
Третье условие – единогласие. Если все избиратели предпочитают одного кандидата другому, при агрегировании предпочтений
эти два кандидата должны располагаться в том же порядке. В нашем
примере все избиратели предпочитают Надежду Антону, и, в соответствии с условием единогласия, в итоговом списке Надежда также
будет располагаться выше, чем Антон.
С3 – единогласие. Если все избиратели предпочитают кандидата х кандидату у, то в результате агрегирования эти два кандидата
должны располагаться в соответствующем порядке.
Четвертое условие – независимость от посторонних альтернатив. Согласно этому условию при рассмотрении пары кандидатов
прочие кандидаты не повлияют на предпочтение избирателей в этой
паре. К примеру, решение о том, кто из двух кандидатов предпочтительнее, Вера или Надежда, должно быть продиктовано исключительно мнением избирателей о них, а не мнением о других кандидатах. Таково условие С4.
С4 – независимость от посторонних альтернатив. Агрегированное предпочтение для пары кандидатов х, у зависит только от предпочтений избирателей для пары х, у.
Пятое условие гласит: функция агрегирования не должна всегда
совпадать с мнением какого-то конкретного избирателя. Это условие называется отсутствием диктатора. Избиратель называется диктатором, если всякий раз, когда он предпочитает кандидата х другому кандидату у, в результате агрегирования кандидат х оказывается
наиболее предпочтительным вне зависимости от мнения остальных
избирателей.
С5 – отсутствие диктатора. Ни один избиратель не может быть
диктатором.
Согласно теореме Эрроу о невозможности коллективного выбора не существует функции агрегирования предпочтений, которая бы
удовлетворяла всем перечисленным условиям, т. е. если число избирателей конечно и больше единицы, а число кандидатов больше
либо равно трем, то не существует метода агрегирования предпочтений, который (а) был бы применим к любому множеству полных
предпорядков, (б) определял бы полный предпорядок, (в) удовлетворял бы условиям единогласия, независимости от посторонних
альтернатив и отсутствия диктатора. Несмотря на то, что все перечисленные условия кажутся вполне естественными, не существует
такой функции, которая удовлетворяла бы всем им одновременно.
Найти метод, который позволил бы выбрать лучшего кандидата на
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]