Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Специальные разделы математики. Учебное пособие
.pdf
Выдвигается нулевая гипотеза о равенстве математических ожи-
12
( ) ( ) ... ( )
p
MX MX MX= = =
jj
xxn
jp
x
( )
ост
2
11
j
n
p
ij j
ji
xx
= =
Σ= −
∑∑
jj
( )
общ
2
,ijij
xxΣ= −
∑
общ в
nDΣ=⋅
даний H
:
0
. Проверим выполнение нулевой гипотезы по критерию Фишера. Для этого введем следующие
величины.
Факторная (межгрупповая) сумма квадратов отклонений
p
Σ= −⋅
факт
– выборочная средняя в j-м факторе (группе) (
где
x
j
( )
∑
1
j
=
2
,
1,...,
=
),
– общая выборочная средняя; характеризует разброс значений
относительно общего среднего значения в силу влияния уровней
фактора.
Остаточная (внутригрупповая) сумма квадратов отклонений
отражает влияние случайных причин на разброс значений относительно общего среднего; ее удобно рассчитывать по более простой
формуле
p
,
∑
j
1
=
nD
Σ= ⋅
ост
где Dj – выборочная дисперсия Фj.
Общая сумма квадратов отклонений
включает в себя влияние и фактора, и случайных причин на разброс
значений. Ее также можно вычислить по следующей формуле
– общая выборочная дисперсия по всем наблюдениям. При
где D
в
этом должно выполняться основное тождество дисперсионного
анализа
,
Σ =Σ +Σ
общ факт ост
.
51
Найдем исправленные факторную и остаточную дисперсии по
ост
ост
2
2
s
k
Σ
=
2
k np= −
факт ост
22
ss>
набл крит
FF<
набл крит
FF>
факт ост
22
ss≤
формулам
Σ
s
2
факт
факт
, где k
=
k
1
= p – 1,
1
, где
.
Для проверки нулевой гипотезы рассмотрим величину
2
s
факт
2
ост
,
Fs=
которая является случайной, так как в различных опытах принимает
различные неизвестные заранее значения. При выполнении гипоте-
случайная величина F имеет распределение Фишера, которое
зы H
0
зависит только от числа степеней свободы k
и k2. Если
1
то по данным задачи вычисляем наблюдаемое значение критерия
F
. По таблице критических значений распределения Фишера в
набл
зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k1 и
k
находим критическое значение критерия F
2
крит
. Если
тогда нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается, выборочные средние всех уровней фактора различаются
незначимо, следовательно, фактор (а именно, его уровни) не оказывает существенное влияние на признак X. Иначе, если
нулевая гипотеза отвергается, и фактор оказывает существенное
влияние на исследуемый признак X.
Замечание. Если
, то это означает, что разброс, вызванный случайными причинами, поглощает в себе разброс в силу
влияния фактора, следовательно, фактор незначимо влияет на признак X, и нулевая гипотеза принимается без использования вычисления критерия F.
Задача о влиянии фактора на случайную величину. Проведем выборочное обследование количества опозданий студентов на занятия в зависимости от времени, в течение которого студенты могут
добраться до университета (фактор Ф), где Ф1 – менее 20 минут,
Ф2 – 20–40 минут, Ф3 – 40–60 минут, Ф4 – более часа.
,
,
,
52
Ф
1i
x
2i
x
3i
x
4i
x
∑
2
ij
x
∑
=⋅=
4
=⋅=
4
=⋅=
4
=⋅=
4
4
4
=⋅−=
4
1
1 6 6 9 7
2 7 7 12 9
3 8 11 13 10
4 11 12 14 10
Ф
2
Ф
3
Ф
4
Требуется построить доверительные интервалы для математических ожиданий четырех совокупностей уровней фактора с доверительной вероятностью γ =0,95 и установить, значимо ли влияет время в пути на количество опозданий при уровне значимости α = 0,05.
Решение
1. Построим доверительные интервалы. Для удобства создадим
расчетную таблицу.
Ф
1
i
1 6 36 6 36 9 81 7 49
2 7 49 7 49 12 144 9 81
3 8 64 11 121 13 169 10 100
4 11 121 12 144 14 196 10 100
32 36 48 36 152
x
ij
2
x
1i
270 350 590 730 1540
Ф
2
2
x
2i
Ф
3
2
x
3i
Ф
4
2
x
4i
Всего наблюдаемых значений n = 16, уровней фактора p = 4. Вычисляем групповые средние
1
гр1
32 8,
x
1
x
гр2
36 9,
1
x
гр3
48 12,
1
x
гр4
36 9.
Вычисляем выборочные дисперсии
1
270 8 3,5,
=⋅ −=
D
в21
1
350 9 6,5,
=⋅ −=
D
в22
1
D
=⋅ −=
в24
4
330 9 1,5.
1
в23
590 12 3,5,
D
Вычисляем исправленные выборочные дисперсии
Σ
53
=⋅=
13
i
kn= −=
крит
3,18T =
ii
ii
ss
nn
крит
1
1
2,16
3,18 3, 43
2
s
T
n
=⋅=
1
8 3,43 8 3,43m− < <+
1
4,57 11,43m<<
=⋅=
2
4,33 13,67m<<
=⋅=
3
8,57 15,43m<<
3,5 4,67,
s =⋅=
1
3
4
2
4
2
6,5 8,67,
s =⋅=
2
3
4
2
3,5 4,67,
s =⋅=
3
3
4
2
1,5 2.
s
4
3
Вычисляем исправленные выборочные среднеквадратические отклонения
s
= 2,16, s2 = 2,94, s3 = 2,16, s1 = 1,41.
1
По таблице критических значений распределения Стьюдента
для доверительной вероятности γ = 0,95 и числа степеней свободы
находим
.
Находим доверительные интервалы вероятности 0,95 для математических ожиданий mi по формуле
xT m xT
− < <+
крит крит
i ii
Для первого уровня фактора
Для второго уровня фактора
Тогда
9 4,67 9 4,67;m
Для третьего уровня фактора
Тогда
12 3,43 12 3,43;m
с вероятностью 0,95.
s
крит
2
2
n
T
− < <+
с вероятностью 0,95.
s
3
T
крит
n
3
− < <+
3
с вероятностью 0,95.
.
. Тогда
;
2,94
3,18 4,67.
2
2,16
3,18 3,43.
2
Для четвертого уровня фактора
54
s
крит
4
n
4
T
1, 41
3,18 2,24.
=⋅=
2
Тогда
4
9 2,24 9 2,24m− < <+
4
6,76 11,24m<<
01 2 3 4
:Hm m m m= = =
1
152 9,5
16
x =⋅=
в
1
1540 9,5 6.
6
D =⋅ −=
22 22
с вероятностью 0,95.
;
Проиллюстрируем полученные доверительные интервалы на следующем рисунке.
Группы
IV
III
II
I
0 3 6 9 12 15
x
Построенные интервалы имеют общие для всех точки, значит,
можно предположить, что влияние времени на опоздание в университет незначимо.
2. Проверим предположение о незначимом влиянии с по-
мощью критерия Фишера. Выдвигаем нулевую гипотезу
. Найдем общую среднюю и дисперсию
Вычисляем общую, остаточную и факторную суммы
Σ
Σ
Σ =⋅ − +⋅ − +⋅ − +⋅ − =
факт
Проверяем основное тождество дисперсионного анализа:
96 = 60 + 36. Найдем исправленные факторную и остаточную дисперсии
,
= 16 · 6 = 96,
общ
= 4 · 3,5 + 4 · 6,5 + 4 · 3,5 + 4 · 1,5 = 60,
ост
4 8 9,5 4 9 9,5 4 12 9,5 4 9 9,5 36.
( ) ( ) ( ) ( )
55
36
41
ост
2
60
5.
16 4
s = =
−
2
факт ост
2
ss>
набл
12
2,4
5
F = =
1
413k = −=
2
16 4 12k = −=
набл крит
FF<
в
xy
r
0
:0
xy
Hr=
2
s = =
факт
12,
−
Так как
Фишера
, то вычисляем наблюдаемое значение критерия
. По таблице критических значений распреде-
ления Фишера в зависимости от уровня значимости α = 0,05 и числа
3,49.F
степеней свободы
Так как
и
находим
, то нулевая гипотеза о равенстве математиче-
крит
=
ских ожиданий принимается, и групповые средние различаются незначимо. Следовательно, влияние времени на количество опозданий не существенно.
Пусть изучается система признаков (X, Y). В результате n неза-
висимых испытаний получены значения признаков, изображенных
в таблице:
X x
Y y
1
1
Требуется изучить связь между признаками X и Y, а именно, коррелированность и линейную зависимость, а также найти выборочное
уравнение прямой регрессии y = ax + b, где а и b – выборочные коэффициенты регрессии Y на X, которые являются оценками теоретических
коэффициентов регрессии.
Для определения коррелированности признаков X и Y необходимо проверить нулевую гипотезу о значимости выборочного коэффи-
циента корреляции
критерия рассматривается величина
x
2
y
2
. Выдвигаем гипотезу
в
rk
Tr=
xy
,
2
в
−
1
( )
xy
… x
… y
. В качестве
n
n
где k = n – 2. Величина T является случайной, так как зависит от резуль-
татов испытаний. При выполнении гипотезы H
56
она имеет распределе-
0
ние Стьюдента, которое зависит только от числа степеней свободы k.
в
вв
ii
i
xy
xy
x y nxy
r
n
−
=
σσ
∑
x
в
x
σ
в
y
σ
набл крит
TT<
набл крит
TT>
22
11
nn
ii
∑∑
0
0
Ra
Rb
∂ ∂=
∂ ∂=
2
i i ii
i ii
ii
ii
x a xb xy
x a nb y
+=
+=
∑∑∑
∑∑
2
2
2
i i i ii
i i ii
ii
ii
x y x xy
b
nx x
−
=
−
∑∑ ∑∑
∑∑
в
в
в2
2
ii i i
y
i ii
xy
x
ii
ii
n xy x y
ar
nx x
−
σ
= =
σ
−
∑ ∑∑
∑∑
По результатам испытаний вычисляем наблюдаемое значение T
набл
, где
–
выборочный коэффициент корреляции (является оценкой теоретического
коэффициента корреляции r
знаков (X, Y)),
и
– выборочные среднеквадратические отклонения. Критические
точки T
крит
и y – выборочные средние по каждому признаку,
распределения Стьюдента находятся из специальных таблиц
генеральной совокупности системы при-
xy
в зависимости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы k. Если
, то нулевая гипотеза о равенстве нулю коэф-
фициента корреляции принимается, выборочный коэффициент корреляции незначим, признаки X и Y некоррелированы. Если
то нулевая гипотеза отвергается, следовательно, коэффициент корреляции не равен нулю, значит, признаки X и Y коррелированны.
Для построения прямой регрессии y = ax + b требуется определить
параметры a и b. Для их нахождения используем метод наименьших
квадратов, т. е. ищем минимальное значение функции суммы квадратов отклонений
, () .
R a b y x y ax b y
= − = +−
( ) ( ) ( )
ii i i
= =
Точки экстремума функции двух переменных R(a,b) находим из
системы уравнений.
,
или
Решая систему, получаем искомые параметры
,
.
.
57
Уравнение прямой линии регрессии Y на X запишется
в
регр
2
x
a nDΣ=
( )
ост
2
1
()
n
ii
i
y yx
=
Σ= −
∑
( )
общ
2
1
n
i
i
yy
=
Σ= −
∑
в
y
D
в
σ
y
yyr xx
в
−= −
xy
в
σ
x
( )
.
Аналогично находим уравнение прямой линии регрессии X на Y
в
σ
в
xxr yy
−= −
x
xy
в
σ
y
( )
.
Для определения значимости линейной зависимости Y от X
в виде уравнения регрессии используется критерий Фишера. Рассмотрим следующие величины.
Регрессионная сумма квадратов отклонений
n
()
Σ= −
регр
yx y
( )
∑
1
=
i
2
i
характеризует отклонения наблюдений от среднего значения, объясняемых моделью регрессии. Регрессионную сумму удобно считать
по формуле
где
характеризует разброс значений в силу случайных причин, т. е. разброс, не объясненный линейной зависимостью.
характеризует исходный разброс данных. Иначе
где
58
,
в
D
– выборочная дисперсия признака X.
x
Остаточная сумма квадратов отклонений
Общая сумма квадратов отклонений
общ
y
в
,
nDΣ=
– выборочная дисперсия признака Y.
Введенные три суммы должны удовлетворять основному тожде-
общ регр ост
Σ =Σ +Σ
регр
регр
2
1
s
k
Σ
=
ост
ост
2
2
s
k
Σ
=
22
ss
набл
F
крит
F
набл крит
FF<
набл крит
FF>
регр ост
22
ss≤
ству дисперсионного анализа
.
Найдем исправленные регрессионную и остаточную дисперсии
по формулам
, где k1 = 1,
, где k2 = n – 2.
Для проверки нулевой гипотезы о значимости выборочного коэффициента регрессии рассмотрим величину
2
s
регр
ост
,
2
Fs=
которая является случайной, так как зависит от заранее неизвестных испытаний. При выполнении гипотезы H
она распределена по
0
закону Фишера с k1 и k2 степенями свободы (значение k1 равно единице для двумерной случайной величины (X, Y)). Если
>
регр ост
то по данным задачи вычисляем наблюдаемое значение критерия
. По таблице критических значений распределения Фишера
в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k1
и k
находим
2
. Если
, то нулевая гипотеза принима-
ется, выборочный коэффициент регрессии незначим, признаки X и
Y не связаны линейной зависимостью. Если
, то нулевая
гипотеза отвергается, следовательно, теоретический коэффициент
регрессии не равен нулю, значит, признаки X и Y можно связать линейной зависимостью в виде уравнения регрессии Y на X.
Замечание. Если
, то это означает, что разброс, вызванный случайными причинами, поглощает в себе разброс в силу
влияния регрессионной модели, следовательно, модель линейной
регрессии незначима, и нулевая гипотеза принимается без использования вычисления критерия F.
Задача о зависимости системы случайных величин. Пусть известны результаты медосмотра восьми школьников: обхват груди X(см)
и вес Y (кг), которые записаны в следующую таблицу:
,
59
X 76 80 82 84 85 86 88 91
8
в
19,25 4,39
x
σ= =
( )
−=⋅ −
yx
1,08 44,17.
Y 40 41 43 45 47 48 52 55
Требуется записать уравнение линейной регрессии Y на X и проверить по критериям Стьюдента и Фишера наличие коррелированности и линейной зависимости при уровне значимости α = 0,05.
Решение
1. Составим выборочное уравнение линейной регрессии Y на X.
Вычислим выборочные средние
1
=⋅ ++ =
x
76 ... 91 84,
( )
8
1
=⋅ ++ =
40 ... 55 46,38.
y
( )
8
Вычисляем выборочные дисперсии и среднеквадратические отклонения
1
в 2 22
76 ... 91 84 19,25;
=⋅ ++ − =
D
в 22 2
D
y
( )
x
8
1
40 ... 55 46,38 23,98;
=⋅ ++ − =
( )
в
σ= =
,
23,98 4,90.
y
Вычисляем выборочный коэффициент корреляции
⋅ + + ⋅ −⋅ ⋅
76 40 ... 91 55 8 84 46,38
в
= =
r
xy
⋅⋅
8 4,39 4,90
0,97.
Тогда выборочное уравнение линейной регрессии Y на X запишется
46,38 0,97 84 ,
= −
yx
4,90
4,39
( )
На плоскости XOY изобразим точками полученные в результате
наблюдений пары значений и построим линию регрессии.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]